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【竞赛及提前招生】2013年黄冈市某重点高中实验班招生数学试题


2013 年黄冈市某重点高中实验班招生数学试题
一.填空题(每题 5 分,共 40 分)
1. 得分 评卷人

1 5? 2 6
2

?
6

1 7?4 3
12

?.
11 10

2.( x ? x ? 2) ?

a12 x ? a11x ? a10 x ? ?... ? a1 x ? a0 , 则 a12 ? a10 ? a8 ? a6 ? a4 ? a2 ? .
2 3.如果函数 y=b 与函数 y ? x ? 3 x ? 1 ? 4 x ? 3 的图象恰好有三个交点,则 b=.

4.已知 x 为实数,则 8 ? x ? 5.关于 x 的方程

x ? 2 的最大值是



6x x2 ? ? 2 ? a ? 0 有实数根,则 a 的取值范围是 2 x ?1 x2 ? 1
( x ? 3) 2 ? 9 ? ( x ? 1) 2 ? 4 ,则 f ( x) 的最大值是




6.已知 f ( x) ?

7.如下左图,动点 C 在⊙O 的弦 AB 上运动,AB= 2 3 ,连接 OC,CD⊥OC 交⊙O 于 D, 则 CD 的最大值为_____________.

8. 如右上图, 已知 P 是正方形 ABCD 外一点, 且 PA=3, PB=4, 则 PC 的最大值是___________.

二.选择题(每小题 5 分,共 40 分)
9.记 A ?
2012

得分

评卷人

?
k ?1

1?

1 1 ? ,再记 ?A? 表示不超过 A 的最大整 2 k ( k ? 1) 2

数,则 ? A? ? ()

A.2010 B.2011 C.2012 D.2013

10.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的 x 与 y 的部分对应值如下表:
2

第 1 页共 7 页

x y
2

-3 11

-2

-1 1

0 -1

1 -1

2 1

3 5 ).

且方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根分别为 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) ,下面说法错误 的是( .. A. x ? ?2, y ? 5 ;B.1 ? x2 ? 2 ;C.当 x1 ? x ? x2 时, y ? 0 ;D.当 x ?

1 时, y 有最 2

小值. 11.如图,从 1× 2 的矩形 ABCD 的较短边 AD 上找一点 E,过这点剪下两个正方形,它们的 边长分别是 AE、DE,当剪下的两个正方形的面积 之和最小时,点 E 应选在() . A.AD 的中点;B.AE:ED= ( 5 ? 1) : 2 ; C.AE:ED= 2 : 1 ;D.AE:ED= ( 2 ? 1) : 2 . 12.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA、OB 为直径作两个半圆.向直角扇形 OAB 内随机取一点,则该点刚好来自阴影部分的 概率是

A.1 ?

2

?

1 1 B. ? 2 ?

C.

2

?

D.

1

?

13.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.

8? 3

B.3π

C.

10? 3

D.6π

[来源:学科网]

︵ 14.如右图,以半圆的一条弦 AN 为对称轴将AN 折叠过来和直径 MN 交于点 B,如果 MB: BN=2:3,且 MN=10,则弦 AN 的长为() A. 3 5 B. 4 5 C. 4 3 D . 5 3

15.两列数如下: 7,10,13,16,19,22,25,28,31,......
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7,11,15,19,23,27,31,35,39,...... 第 1 个相同的数是 7,第 10 个相同的数是() A.115 B.127 C.139 D.151

16.如图,△ AOB 和△ ACD 均为正三角形,且顶点 B、D 均在双曲线 y ?

4 ( x ? 0) 上,则图中 S△ OBP=. x

A. 2 3 B. 3 3 C . 4 3 D . 4

三.解答题
17.(本题满分 10 分)如图,已知锐角△ ABC 的面积为 1,正方形 DEFG 是△ ABC 的一个内接三角形,DG∥BC,求正方形 DEFG 面 积的最大值. 解: 得分 评卷人

18. (本题满分 10 分) A、 B 两个水管同时开始向一个空容器内注水. 如 3 得分 评卷人 图是 A、B 两个水管各自的注水量 y(m )与注水时间 x(h)之间的 函数图像,已知 B 水管的注水速度是 1m3/h,1 小时后,A 水管的注水 量随时间的变化是一段抛物线,其顶点是(1,2) ,且注水 9 小时, 容器刚好注满.请根据图像所提供的信息解答下列问题: (1)直接写出 A、B 注水量 y(m3)与注水时间 x(h)之间的函数解解析式,并注明自变 量的取值范围; yA=( ) ,yB= ?

? x (0 ? x ? 1) ?

(2)求容器的容量;

(3)根据图象,通过计算回答,当 yA>yB 时,直接写出 x 的取值范围.
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19. (本题满分 10 分)已知 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+(3a-1)x+2a2-1=0 的两个实 数根,使得(3x1-x2) (x1-3x2)=-80 成立.求实数 a 的所有可能值.

20.(本题满分 10 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市 得分 评卷人 的交通状况. 在一般情况下, 大桥上的车流速度 v(单位: 千米/小时) 是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时, 车流速度为 60 千米/小时, 研究表明: 当 0≤x≤200 时, 车流速度 v 是车流密度 x 的 一次函数. (Ⅰ)当 0≤x≤200 时,求 v 与 x 之间的函数的表达式 v(x); (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/ 每小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时) .

2013 年春黄冈市 X 重点高中分配生素质测评数学试题
参考答案与评分标准(解答题只给出一种解法,其他合理方法,参照给分)

题号 答案 题号 答案

1
2? 2

2

3
? 6,? 25 4

4
2 3

5
?3? a ? 2

6
5

7
3

8
3? 4 2

? 32
10 C

9 D

11 A

12 A

13 B

14 B

15 A

16 D

第 4 页共 7 页

17.解:过 A 作 AN⊥BC 交 DG 于 M,交 BC 于 N,设 AN=h, DE=x=MN=DG,则 △ ADG∽△ ABC,故

h 1 BC ? h ? 1, BC ? ,由 DG∥BC 知 2 2

x h?x DG AM ,即 ? ,∴ ? 2 h BC AN h

x?

2h h ?2
2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分)

记正方形 DEFG 的面积为 S,则

S ? x2 ? (

2h 2 ) h ?2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 分)
2
2

? ? ? 2 ? ? S ?? ?h? 2 ? ? ? h? ?

2

? ? ? ? ? ? ? 2 ?2 1 2 ? ?? ?? . . . . . . . . (14 分) ? ? (此时 h ? 2 ) 2 2 ?? ? ?2 2? 2? ? h? ? ?2 2 ? ? ? ?? ? h ? ?? ?

说明:如学生用不等式或根的判别式求出正确结果,同样参照给分. 18.解: (1) y A ? x(0 ? x ? 9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 分)

?2 x, (0 ? x ? 1) ? yB ? ?1 ( x ? 1) 2 ? 2, (1 ? x ? 9) ? ?8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分)

说明:yB 的分段函数式中自变量的取值范围只要在 x=1 处连续即给全分. (2)容器的总空量是 x ? 9 时, f ( x) ? x ? (3) 5 ? 2 2 ? x ? 5 ? 2 2

1 ( x ? 1) 2 ? 2 ? 9 ? 10 ? 19(m3 ) 8

. . . (10 分)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 分)

19.解:由已知有 ? ? (3a ? 1) ? 4(2a ? 1) ? a ? 6a ? 5 ? (a ? 5)( a ? 1) ? 0 . . . (1 分)
2 2 2

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∴ a ? 5或 a ? 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3 分) 由根与系数关系知 x1 ? x2 ? 1 ? 3a, x1 x2 ? 2a ? 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分)
2

故 (3x1 ? x2 )( x1 ? 3x2 ) ? 3( x1 ? x2 ) ? 10 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 16 x1 x2 . . . . . . . . . . . . . . (9 分)
2

2

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) ? 3(1 ? 3a) 2 ? 16(2a 2 ? 1) ? ?5a 2 ? 18a ? 19 ? ?80 .

∴ a1 ? 3 (舍)或 a2 ? ?

33 33 .∴所求的实数 a ? ? ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 分) 5 5

说明: a1 ? 3 未舍扣 1 分. 20.解: (Ⅰ)由题意: 当 0 ? x ? 20时, v( x) ? 60 当 20 ? x ? 200时, 设v( x) ? ax ? b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 分)

1 ? a?? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 解得 ? 再由已知得 ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ?
∴ v( x) ?

1 200 x? 3 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 分)

(0 ? x ? 20), ?60, ? 故函数 v ( x ) 的表达式为 v( x) ? ? 1 (200 ? x), (20 ? x ? 200) ? ?3 (0 ? x ? 20), ?60 x, ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ( x) ? ? 1 . . . . . . (10 分) x(200 ? x), (20 ? x ? 200) ? ?3
当 0 ? x ? 20 时,当 x ? 20 时,其最大值为 60× 20=1200. . . . . . . . . . . . . (12 分) 当 20 ? x ? 200 时,

1 1 10000 10000 f ( x) ? x(200 ? x) ? ? ( x ? 100)2 ? ? 3 3 3 3
10000 ? 3333 3
. . . . . . . . . . . (16 分)

当 x ? 100 ,取得最大值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15 分) 综上,当 x ? 100 时, f ( x) 的最大值为

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即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.

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