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双曲线


双曲线
【知识梳理】 (一).双曲线的标准方程及其几何性质 1.双曲线的定义 我们把平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|)的点的轨 迹叫做双曲线.这两个定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点, 两焦点间的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距. 注:① M ?x, y ? 为双曲线上的动点 ?
o M

F1



F2

MF1 ? MF 2 ? 2a ( a 为常数) ? F1 F2 ? 2c ( c 为常数)
②令 b ? c ? a (其中 b ? 0 ) ,则有 c ? a ? b (其中 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 且 a , b , c 均为常数) 2. 双曲线的标准方程及其几何性质
2 2 2 2 2 2

标准方程

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? a2 b2

y2 x2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? a2 b2

图 形





x≥a 或 x≤-a,y∈R
对称轴:坐标轴; 对称中心:原点

x∈R,y≤-a,y≥a
对称轴:坐标轴; 对称中心:原点

对称性 顶点坐标 焦点坐标 焦距 性 质 离心率 渐近线

|F1F2|=2c.

b y=± x a

a y=± x b

e?

c ∈ a


实虚轴 等轴双曲线

(离心率越大, 双曲线的 “张口” 越 , 反之, 则双曲线的 “张口” 越 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|= ; 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|= ; a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它的离心率 e ?

1

(二).定义法求双曲线标准方程的方法 1.几何法:根据双曲线的定义所满足的几何关系求解 2.待定系数法: (1)根据双曲线的焦点的位置,利用标准方程应用待定系数法求解 (2)根据双曲线的统一方程: mx2 ? ny2 ? 1?m ? n ? 0? 应用待定系数法求解 (3)渐近线方程为 y ? ? 【双基自测】 1.(辽宁)双曲线

b x2 y2 x 的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? ?? ? 0? a a b

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为( 16 9



A. (? 7, 0) , ( 7, 0) B. (0, ? 7) , (0,7)

0) , (5, 0) D (0, ? 5) , (0, 5) C. (?5,

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是( 4 9 3 2 A. y ? ? x B. y ? ? x 2 3
2.双曲线 3 (海南)双曲线

) C.

9 y?? x 4

D.

4 y?? x 9

x2 y2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为(A) 2 3 (B)2 (C) 3 (D)1 4 12
1 ,则 m ? 5

4.(辽宁)已知双曲线 9 y2 ? m2 x2 ? 1(m ? 0) 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 A.1 B.2 C.3 D.4

5.双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则_____________. 6. 方程

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的范围是___________. k ?3 k ?3

7.已知中心在原点,焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ? 率为___________.

1 x ,则此双曲线的离心 2

8. 设 △ ABC 是等腰三角形, ?ABC ? 120 ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心 率为( A. ) B.

1? 2 2

1? 3 2

C. 1 ? 2

D. 1 ? 3

【考点探究】 考点一 双曲线的定义及其标准方程

P 到 F1 , F2 的距离差的绝对 【例 1】 (1)已知焦点 F 1 (5,0), F 2 (?5,0) ,双曲线上的一点
值等于 6 ,求双曲线的标准方程;

2

(2)求与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程; 25 5
9 4

(3)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点 P 1, P 2 坐标分别为 (3, ?4 2), ( ,5) , 求双曲线的标准方程。 (4) 求与双曲线

x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过 A 2 3, ? 3 点的双曲线方程及离心率. 16 9

?

?

【变式 1】根据下列条件,求双曲线方程:

?1? 与双曲线
? 2 ? 与双曲线 ? 3? 以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 ?3, 2 3 ; 9 16
x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 3 2, 2 ; 16 4

?

?

?

?

x2 y 2 ? ? 1 的长轴端点为焦点,且过点 P 4 2,3 ; 25 9

?

?

? 4 ? 经过点 ? ?

15 ? ,3 ? ,且一条渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 ; ?4 ?

? 5? 双曲线中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为
考点二 双曲线的离心率

2 ,且过点 4, ? 10

?

?

【例 2】 (1)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° a2 b2


的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A.( 1,2) (2) 过双曲线 M: x ?
2

B. (1,2)

C. ?2,???

D.(2,+∞)

y2 ? 1的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线 b2
) D.

分别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( A. 10
2

B. 5
2

C.

10 3

5 2


x y π (3)已知双曲线 2 - =1(a> 2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为( a 2 3 A.2 B. 3 2 6 C. 3 2 3 D. 3

3

【变式 2】1. 中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的 离心率为________. 2. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2, 焦点到渐近线的距离为 6, 则该双曲线的离心率 为 3. 设 △ ABC 是等腰三角形, ?ABC ? 120 ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心 率为 【达标练习】 1. 设 m 为常数,若点 F ?0,5? 是双曲线

y2 x2 ? ? 1 的一个焦点,则 m ? _______ 9 m2

2. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 曲线右 焦点的距离是_________

x2 y2 ? ? 1 上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 到双 4 12

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线的倾斜角为 1200 ,则 m ? ( 3. 已知双曲线 3 m
A.



3

B. 2 3

C. 3 3

D. 9 )

y2 x2 5 4. 若双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x, 则双曲线焦点 F 到渐近线的距离为( 5 m 3
A.2 B.3 C.4 D.5 )

5. 已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为( A.(1, 5) B.(1, 5] C.( 5,+∞) D.[ 5,+∞)

x2 y2 a b

5 6. 设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个 13 焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( A. 2- 2=1 4 3 )

x2 y2

B.

- 2=1 13 5
2

x2

y2

C. 2- 2=1 D. 2- 2=1 3 4 13 12

x2 y2

x2

y2

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? (1, 2) ,则 k 的取值范围是 7. 双曲线 4 k A. (??, 0) B. (?3, 0) C. (?12,0) D. (?60, ?12)
x2 y2 8.设双曲线 2 ? 2 ? 1 (0 ? a ? b) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a , 0) 、 (0 , b) 两点,且原点 a b
到直线 l 的距离为

3 c ,求双曲线的离心率. . 4

4


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