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等差等比数列对比性质表

时间:2013-03-31


等差数列与等比数列性质的比较

等差数列性质 1、定义

等比数列性质

an+1 -an =d (n ? 1) ; an -an-1 =d (n ? 2)

an+1 =q(n ? 1) an



an =q(n ? 2) an-1

2、通项 公式

an ? a1 ? (n ? 1)d an ? am ? (n ? m)d (下标之差个 d )

a ? a ?q a ? a ?q
n 1 n m

n ?1

n?m

( q 的下标之差次幂)

sn ?
3、 n 项 前 和

n(a1 ? an ) n(a2 ? an?1 ) ? ? ... 2 2

q=1 , Sn =na1 ; q ? 1,Sn = a1 (1-q n ) 1-q a -a q = 1 n 1-q

(首末项和公式; 优点可用下标和性质)

Sn ? na1 ?

n(n ?1) d 2

(基本量和公式;优点:可直观的得到 Sn与n 的关系)

4、中项

a +b 1.三数 a, A, b 成等差数列 ? A ? ; 2

A b ? a A 2 2.三数 a、A、b 成等比数列 ? A =ab
1.三数 a、A、b 成等比数列 ? 但反之不成立 若 m+n=p+q,则

5、 下标和 公式

a ?a ?a ?a 特别地,若 m+n=2p,则 a ? a ? 2 a
若 m+n=p+q,则
m n p q m n

p

a ?a ? a ?a 特别地,若 m+n=2p,则 a ? a ? a
m n p q

2 p

m

n

6、 首尾项 性质

等差数列的第 k 项与倒数第 k 项的和等 于首尾两项的和, 即:

等比数列的第 k 项与倒数第 k 项的积等 于首尾两项的积, 即:

a ?a ?a ?a
1 n 2

n ?1

? ? ? ak ? an ?( k ?1)

a ?a ? a ?a
1 n 2

n ?1

? ? ? ak ? an ?( k ?1)

{an } 为等差数列,若 m,n,p 成等差数列,


{

a ,a ,a
m n

p

成等差数列

a

n

}为等比数列,若 m,n,p 成等差数

列,则 等比数列{

a ,a ,a
m n

p

成等比数列

(两个等差数列的和仍是等差数列) 等差数列{ {

(两个等比数列的积、商也是等比数列)

?a

n

? ?bn }仍为等差数。

a },{ b },则数列
n n

a },{ b },则数列{ a ? b }
n n
n n

a { n } 仍为等比数列。 bn
从等比数列中等间距依次抽取的项 (即 项的下标成等差数列)也成等比数列。

从等差数列中等间距依次抽取的项 (即 项的下标成等差数列)也成等差数列。 7、结论

s ,s
m

2m

? sm , s3m ? s2m ,?成等差数
2

s ,s
m

2m

? sm , s3m ? s2m ,?成等比数

列,公差为 m d 1.当项数为偶数 2 n 时,

列,公比为

q

m

1.当项数为偶数 2 n 时,
n

2. 当 项 数 为 奇 数 2n ? 1 时 ,

s s偶 ? s奇 ? nd ; s
奇 偶

奇 偶

? a a

s



? qs



2.当项数为奇数 2n ? 1 时,

n ?1

s



? a1 ? q s偶

s ?s

? a中
1

等差数列与等比数列性质的比较

s

2 n ?1

? (2n ? 1) a中
n n ?1
①定义法:

s s
②等差中项概念; 8、等差(等 比)数列的判 断方法

奇 偶

?

①定义法: an ? an ?1 ? d ?n ? 2?

an ?q an ?1

2an ? an ?1 ? an ?1 ?n ? 2?

②等差中项概念; an an?2 ? an?12 (an ? 0) ③函数法:an ? cqn ( c, q 均为不为 0 的常 数, n ? N? ),则数列 ?an ? 是等比数列. ④数列 {a n } 的前 n 项和形如 且 q≠1), 则数列 ?an ? 是公比不为 1 的等比 数列.

③函数法:an ? pn ? q(p ,q为常数) 关于 n 的 一次函数 ? 数列{an } 是首项为 p+q,公差为 p ? ? 0 ? 的等差数列; ④数列 {a n } 的前 n 项和形如

Sn ? an ? bn
2

Sn ? Aqn ? A ( A,q 均为不等于 0 的常数

(a,b 为常数),那么数列 {a n } 是等差数列, 9、共性

非零常数列既是等差数列又是等比数列

2


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