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广东省佛山市普通高中2012届高三教学质量检测(一)理科数学试题


广东省佛山市普通高中 2012 届高三教学质量检测(一) 理科数学
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域内; 如需改

动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知 i 是虚数单位, m 、 n ? R ,且 m ? i ? 1 ? n i ,则 A. ?1 B. 1 C. ?i

m ? ni ? m ? ni
D. i

2.下列函数中既是奇函数,又在区间 ? ?1,1? 上是增函数的为 A. y ? x A. 10
2

B. y ? sin x B. 15

C. y ? ex ? e? x C. 20 B.必要而不充分条件

D. y ? ? x3 D. 30

3.设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 5 项和 S5 ? 4. “关于 x 的不等式 x ? 2ax ? a ? 0 的解集为 R ”是“ 0 ? a ? 1 ” A.充分而不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示, 则这个三棱柱的左视图的面积为 A. 6 3 B. 8 C. 8 3 D. 12 6.已知点 P 是抛物线 x ? 4 y 上的一个动点,则点 P 到点 M (2,0) 的距离与点 P 到该抛物线准线的距离
2

之和的最小值为 A.

17 2

B. 5

C. 2 2

D.

9 2

7.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出 100 名司机,已知抽到的司机年龄都 在 ? 20, 45? 岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示,利用这个残缺的

频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是 A. 31.6 岁 B. 32.6 岁 C. 33.6 岁 D. 36.6 岁 8.对于非空集合 A, B ,定义运算: A ? B ? {x | x ? A ? B, 且x ? A ? B}, 已知 M ? {x | a ? x ? b}, N ? {x | c ? x ? d} ,其中 a、b、c、d 满足 a ? b ? c ? d ,

ab ? cd ? 0 ,则 M ? N ?
A. (a, d ) ? (b, c) B. (c, a] ? [b, d ) C. (a, c] ? [d , b) D. (c, a) ? (d , b)

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团) 高一 高二 合唱社 45 15 粤曲社 30 10 书法社

a
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人,结果合唱社 被抽出 12 人,则 a ? _______________. 10.函数 y ?

3 sin x ? sin( x ? ) 的最小正周期是 ___________. 2

?

? 0 ? x ? 2, ? 11.已知不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域的面积为 4 ,则 k 的值为__________. ?kx ? y ? 2 ? 0 ?

b ? 4 ,则 12.已知向量 a ? ( x, 2) , b ? (1, y ) ,其中 x ? 0, y ? 0 .若 a ?
13.对任意实数 a , b ,函数 F (a, b) ?

1 2 ? 的最小值为 x y

.

g ( x) ? x ? 1 ,那么函数 G( x) ? F ? f ( x), g ( x) ? 的最大值等于
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

1 (a ? b? | a ? b |),如果函数 f ( x) ? ? x2 ? 2x ? 3, 2
.

14. (坐标系与参数方程)在极坐标系下,已知直线 l 的方程为 ? cos( ? ? 的距离为__________. 15.(几何证明选讲)如图, P 为圆 O 外一点,由 P 引圆 O 的切线 PA 与圆 O 切于 A 点,引圆 O 的割线 PB 与圆 O 交于

?
3

)?

1 ? ,则点 M (1, ) 到直线 l 2 2
B

C 点.已知 AB ? AC , PA ? 2, PC ? 1 .则圆 O 的面积为

.
P

C A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a、b、c ,满足 A ? C ? 2 B ,且 cos( B ? C ) ? ? (1)求 cos C 的值; (2)若 a ? 5 ,求△ ABC 的面积. 17. (本题满分 14 分)
? 如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BCA ? 90 , PB ? BC ? CA ? 2 , E 为 PC 的中

11 . 14

点,点 F 在 PA 上,且 2 PF ? FA . (1)求证:平面 PAC ? 平面 BEF ; (2)求平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角的平面角 (锐角)的余弦值.

18. (本题满分 13 分) 佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管,已知这种灯管使用寿命 ? (单位:月)服从正 态分布 N (? , ? 2 ) ,且使用寿命不少于 12 个月的概率为 0.8 ,使用寿命不少于 24 个月的概率为 0.2 . (1)求这种灯管的平均使用寿命 ? ; (2)假设一间功能室一次性换上 4 支这种新灯管,使用 12 个月时进行一次检查,将已经损坏的灯管换 下(中途不更换),求至少两支灯管需要更换的概率. 19. (本题满分 12 分) 已知圆 C1 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1, 圆 C2 : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 , 动点 P 到圆 C1 , C2 上点的距离的最小值相等. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)点 P 的轨迹上是否存在点 Q ,使得点 Q 到点 A(?2 2,0) 的距离减去点 Q 到点 B(2 2,0) 的距离 的差为 4 ,如果存在求出 Q 点坐标,如果不存在说明理由. 20. (本题满分 14 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax . (1) 若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 P ?1, ?2? 处的切线方程; (2) 若 f ( x ) 无零点,求实数 a 的取值范围;
2 (3) 若 f ( x ) 有两个相异零点 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? e .

21. (本题满分 14 分)

* 2 设 n ? N ,圆 Cn : x2 ? y 2 ? Rn (Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M ,与曲线 y ?

x 的交点为

1 N ( , yn ) ,直线 MN 与 x 轴的交点为 A(an ,0) . n
(1)用 n 表示 Rn 和 an ; (2)求证: an ? an?1 ? 2 ; (3)设 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , Tn ? 1 ?

1 1 1 7 S ? 2n 3 ? ? ? ? ,求证: ? n ? . 2 3 n 5 Tn 2

2012 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题: (每题 5 分,共 40 分) 题号 选项 1 D 2 B 3 B 4 A 5 A 6 B 7 C 8 C

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. 30 10. 2? 11. 1 12.

9 4

13. 3

14.

3 ?1 2

15.

9 ? 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解: (1)∵ A ? C ? 2B ,且 A ? B ? C ? ? ,∴ B ? ∵ cos( B ? C ) ? ?

?

3

???????1 分

11 5 3 2 ,∴ sin(B ? C ) ? 1 ? cos ( B ? C ) ? 14 14

???????3 分

∴ cos C ? cos ? ?? B ? C ? ? B ? ? ? cos( B ? C ) cos B ? sin( B ? C ) sin B

??

11 1 5 3 3 1 ? ? ? ? 4 2 14 2 7
2

???????6 分

(2)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos C ? 在△ ABC 中,由正弦定理 ∴c ?

4 3 7

???????8 分

a sin C ?8 sin A

,

c b a ? ? sin C sin B sin A b sin A b? ?5 a

???????10 分

三角形面积 S ?

1 1 3 ac sin B ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 . 2 2 2

???????12 分

17. (本题满分 14 分) (1)证明:∵ PB ? 底面 ABC ,且 AC ? 底面 ABC , ∴ AC ? PB
? 由 ?BCA ? 90 , 可得 AC ? CB

???????1 分 ??????????2 分 ??????????3 分 ??????????4 分 ??????5 分 ??????????6 分 ??????????7 分

又? PB ? CB ? B ,∴ AC ? 平面 PBC 注意到 BE ? 平面 PBC , ∴ AC ? BE

? PB ? BC , E 为 PC 中点,∴ BE ? PC

? PC ? AC ? C , BE ? 平面 PAC
而 BE ? 平面 BEF , ∴ 平面PAC ? 平面BEF

(2)方法一、如图,以 B 为原点、 BC 所在直线为 x 轴、 BP 为 z 轴建立空间直角坐标系.

则 C (2,0,0) , A(2,2,0) , P(0,0,2) , E (1,0,1)

??????????8 分 ??????????10 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 2 2 4 BF ? BP ? PF ? BP ? PA ? ( , , ) . 3 3 3 3 ?? 设平面 BEF 的法向量 m ? ( x, y, z) .
由 m ? BF ? 0, m ? BE ? 0 得

?? ??? ?

?? ??? ?

2 2 4 x? y? z ?0, 3 3 3

即 x ? y ? 2 z ? 0 ?????(1)

x?z ?0

?????(2)

取 x ? 1 ,则 y ? 1, z ? ?1 , m ? (1,1, ?1) . 取平面 ABC 的法向量为 n ? (0,0,1)

??

????????12 分

?? ? ?? ? m? n 3 则 cos ? m, n ? ?? ? ? ? , 3 | m || n |
故平面 ABC 与平面 PEF 所成角的二面角(锐角)的余弦值为 方法二、取 AF 的中点 G , AB 的中点 M ,连接 CG, CM , GM ,

3 . 3

?????14 分

? E为PC的 中 点 , 2 PF ? AF ,∴ EF / / CG .
, ∴ CG / / 平面BEF . ? CG ? 平面BEF, EF ? 平面B E F 同理可证: GM // 平面BEF .

?????8 分 ?????9 分

又 CG ? GM ? G , ∴ 平面CMG / / 平面BEF .????10 分

则 平面CMG 与平面 ABC 所成的二面角的平面角 (锐角) 就等于平面 ABC 与平面 BEF 所成的二面角 的平面角(锐角) 已知 PB ? 底面ABC , AC ? BC ? 2 , CM ? 平面 ABC ∴ CM ? PB ,∴ CM ? AB 又 PB ? AB ? B ,∴ CM ? 平面 PAB 由于 GM ? 平面 PAB , ∴ CM ? GM 而 CM 为 平面CMG 与平面 ABC 的交线, 又? AM ? 底面 ABC , GM ? 平面 CMG ????11 分

? ?AMG 为二面角 G ? CM ? A 的平面角

????12 分

根据条件可得 AM ?

2 , AG ?

1 2 PA ? 3 3 3

在 ?PAB 中, cos?GAM ?

AB 6 ? AP 3 6 3
????13 分

在 ?AGM 中,由余弦定理求得 MG ?

cos?AMG ?

AM 2 ? GM 2 ? AG 2 3 ? 2 AM ? GM 3 3 . 3
????14 分

故平面 ABC 与平面 PEF 所成角的二面角(锐角)的余弦值为 18. (本题满分 13 分)

解:(1)∵ ? ? N (? , ? 2 ) , P(? ? 12) ? 0.8 , P(? ? 24) ? 0.2 , ∴ P(? ? 12) ? 0.2 ,显然 P(? ? 12) ? P(? ? 24) 由正态分布密度函数的对称性可知, ? ? ???????3 分

12 ? 24 ? 18 , 2
???????5 分 ???????6 分 ???????10 分

即每支这种灯管的平均使用寿命是 18 个月; (2)每支灯管使用 12 个月时已经损坏的概率为 1 ? 0.8 ? 0.2 , 假设使用 12 个月时该功能室需要更换的灯管数量为? 支,则? ? B(4,0.2) , 故至少两支灯管需要更换的概率 P ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1)
0 1 ? 1 ? C4 0.84 ? C4 0.83 ? 0.21 ?

113 (写成 ? 0.18 也可以). 625

???????13 分

19. (本题满分 13 分) 解: (1)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) , 圆 C1 的圆心 C1 坐标为 (4, 0) ,圆 C2 的圆心 C2 坐标为 (0, 2) , 因为动点 P 到圆 C1 , C2 上的点距离最小值相等, 所以 | PC1 |?| PC2 | ,
2 2 即 ( x ? 4) ? y ?

????????2 分 ????????3 分 ????????4 分 ????????5 分

x 2 ? ( y ? 2) 2 ,化简得 y ? 2 x ? 3 ,

因此点 P 的轨迹方程是 y ? 2 x ? 3 ; (2)假设这样的 Q 点存在, 因为 Q 点到 A(?2 2,0) 点的距离减去 Q 点到 B(2 2,0) 点的距离的差为 4,

所以 Q 点在以 A(?2 2,0) 和 B(2 2,0) 为焦点,实轴长为 4 的双曲线的右支上, 即 Q 点在曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( x ? 2 ) 上, 4 4

????????9 分

? y ? 2x ? 3 ? 又 Q 点在直线 l : y ? 2 x ? 3 上, Q 点的坐标是方程组 ? x 2 y 2 的解,????????11 分 ?1 ? ? ?4 4
消元得 3x ? 12 x ? 13 ? 0 , ? ? 12 ? 4 ? 3 ?13 ? 0 ,方程组无解,
2 2

所以点 P 的轨迹上不存在满足条件的点 Q . 20. (本题满分 14 分) 解: 方法一在区间 ? 0, ??? 上, f ?( x) ?

????????13 分

1 1 ? ax ?a ? . x x

????????1 分

(1)当 a ? 2 时, f ?(1) ? 1 ? 2 ? ?1 ,则切线方程为 y ? (?2) ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 1 ? 0 ????3 分 (2)①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 是区间 ? 0, ??? 上的增函数,

Q f (1) ? ?a ? 0 , f (ea ) ? a ? aea ? a(1 ? ea ) ? 0 ,

? f (1) ? f (ea ) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 ? 0, ??? 有唯一零点.
②若 a ? 0 , f ( x) ? ln x 有唯一零点 x ? 1 . ③若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得: x ?

????6 分 ????7 分

1 . a

在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是增函数; 在区间 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数; 故在区间 ? 0, ??? 上, f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? ln 由 f ( ) ? 0, 即 ? ln a ? 1 ? 0 ,解得: a ? 故所求实数 a 的取值范围是 ( , ??) . 方法二、函数 f ( x ) 无零点 ? 方程 ln x ? ax 即 a ?

1 a

1 a

1 a

1 ? 1 ? ? ln a ? 1 . a

1 a

1 . e
????9 分

1 e

ln x 在 ? 0, ??? 上无实数解 x

????4 分

ln x 1 ? ln x ,则 g ?( x) ? x x2 1 ? ln x ? 0 得: x ? e 由 g ?( x) ? 0 即 x2
令 g ( x) ?

????6 分

在区间 (0, e) 上, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 是增函数; 在区间 (e, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 是减函数; 故在区间 ? 0, ??? 上, g ( x) 的极大值为 g (e) ?

1 . e

????7 分

注意到 x ? (0,1) 时, g ( x) ? ? ??,0? ; x ? 1 时 g (1) ? 0 ; x ? ?1, ?? ? 时, g ( x) ? ? 0, ? e

? ?

1? ?

ln x 1 在 ? 0, ??? 上无实数解 ? a ? . x e 1 即所求实数 a 的取值范围是 ( , ??) . e
故方程 a ? [注:解法二只说明了 g ( x) 的值域是 ? ??, ? ,但并没有证明.] e

????9 分

? ?

1? ?

(3) 设 x1 ? x2 ? 0, Q f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, ?ln x1 ? ax1 ? 0,ln x2 ? ax2 ? 0

?ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 ) , ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 )
原不等式 x1 ? x2 ? e2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2

? a( x1 ? x2 ) ? 2 ?

ln x1 ? ln x2 x 2( x1 ? x2 ) 2 ? ? ln 1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
????12 分



x1 x 2( x1 ? x2 ) 2(t ? 1) . ? t ,则 t ? 1 ,于是 ln 1 ? ? ln t ? x2 x1 ? x2 t ?1 x2
2(t ? 1) (t ? 1) , t ?1

设函数 g (t ) ? ln t ? 求导得: g ?(t ) ? ?

1 4 (t ? 1)2 ? ?0 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2

故函数 g (t ) 是 ?1, ?? ? 上的增函数, ? g (t ) ? g (1) ? 0 即不等式 ln t ?

2(t ? 1) 2 成立,故所证不等式 x1 ? x2 ? e 成立. t ?1

????????14 分

21. (本题满分 14 分)

1 1 ), x 上可得 N ( , n n 1 2 1 n ?1 n ?1 2 又点在圆 Cn 上,则 Rn ? ( ) ? ? 2 , Rn ? , n n n n
解: (1)由点 N 在曲线 y ?

????????1 分 ????????2 分

从而直线 MN 的方程为

x y ? ? 1, an Rn

????????4 分

由点 N ( ,

1 n

1 1 1 n ?1 代入 ? ? 1 ,将 Rn ? ) 在直线 MN 上得: n nan n n ? Rn
1 1 ? 1? . n n
????????6 分

化简得: an ? 1 ?

(2) ?1 ?

1 1 1 1 ? 1, 1 ? ? 1 ,??n ? N * , an ? 1 ? ? 1 ? ? 2 n n n n

????????7 分

又?1 ?

1 1 1 1 , ? 1? , 1? ? 1? n n ?1 n n ?1
????????9 分

1 1 1 1 ? an ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1? ? an?1 n n n ?1 n ?1
(3)先证:当 0 ? x ? 1 时, 1 ? ( 2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ? 事实上, 不等式 1 ? ( 2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ?

x . 2

x 2

x ? [1 ? ( 2 ? 1) x]2 ? 1 ? x ? (1 ? ) 2 2

? 1 ? 2( 2 ? 1) x ? ( 2 ? 1) 2 x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? x2 4
2

x2 4

? (2 2 ? 3) x ? ( 2 ? 1) 2 x 2 ? 0 ?

后一个不等式显然成立,而前一个不等式 ? x ? x ? 0 ? 0 ? x ? 1. 故当 0 ? x ? 1 时, 不等式 1 ? ( 2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ?

x 成立. 2
????????11 分

1 1 1 , ?1 ? ( 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 ? n n 2n 1 1 1 3 (等号仅在 n=1 时成立) ? 2 ? 2 ? ? an ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? n n n 2n
求和得: 2n ? 2 ? Tn ? S n ? 2n ?

3 ? Tn 2
????????14 分

S ? 2n 3 7 ? ? 2? n ? 5 Tn 2


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