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2011解析几何高考真题汇编详解


问题鸟慈善夏令营数学

2011 解析几何
2.(2011 广东, 19, 14 分) 设圆 C 与两圆(x+ 切. (Ⅰ) 求 C 的圆心轨迹 L 的方程; (Ⅱ) 已知点 M , F( ) 2+y2=4, (x) 2+y2=4 中的一个内切, 另一个外

, 0) , 且 P 为 L 上动点. 求||MP|-|FP||的最大值

及此时点 P 的坐

标. 2. 3.(2011 福建, 17, 13 分) 已知直线 l:y=x+m, m∈R. (Ⅰ) 若以点 M(2, 0) 为圆心的圆与直线 l 相切于点 P, 且点 P 在 y 轴上, 求该圆的方程; (Ⅱ) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l', 问直线 l'与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明理由. 3. 4.(2011 陕西, 17, 12 分) 如图, 设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点, 点 D 是 P 在 x 轴上的投影, M 为 PD 上一点, 且|MD|= |PD|. (Ⅰ) 当 P 在圆上运动时, 求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 求过点(3, 0) 且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度.

4. 5.(2011 辽宁, 20, 12 分) 如图, 已知椭圆 C1 的中心在原点 O, 长轴左、 右端点 M, N 在 x 轴上, 椭圆 C2 的短轴为 MN, 且 C1, C2 的离心率都为 e. 直线 l⊥MN, l 与 C1 交于两点, 与 C2 交于 两点, 这四点按纵坐标从大到小依次为 A, B, C, D. (Ⅰ) 设 e= , 求|BC|与|AD|的比值; (Ⅱ) 当 e 变化时, 是否存在直线 l, 使得 BO∥AN, 并说明理由.

5. 6.(2011 四川, 21, 12 分) 椭圆有两顶点 A(-1, 0) 、B(1, 0) , 过其焦点 F(0, 1) 的直线 l 与椭圆 交于 C、D 两点, 并与 x 轴交于点 P. 直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (Ⅰ) 当|CD|= 时, 求直线 l 的方程;
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(Ⅱ) 当点 P 异于 A、B 两点时, 求证:

· 为定值.

6. 7.(2011 全国, 21, 12 分) 已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C:x2+ =1 在 y 轴正半轴上的焦点, 过 F 且斜率为- 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点, 点 P 满足 + + =0. (Ⅰ) 证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ) 设点 P 关于点 O 的对称点为 Q, 证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.

7. 8. (2011 北京, 19, 14 分) 已知椭圆 G: +y2=1. 过点(m, 0) 作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A, B 两点. (Ⅰ) 求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ) 将|AB|表示为 m 的函数, 并求|AB|的最大值. 8. 9.(2011 天津, 18, 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P(a, b) (a>b>0) 为动点, F1、F2 分别为 椭圆 + =1 的左、右焦点. 已知△F1PF2 为等腰三角形. (Ⅰ) 求椭圆的离心率 e; (Ⅱ) 设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点, 满足 轨迹方程. 9. 10.(2011 重庆, 20, 12 分) 如图, 椭圆的中心为原点 O, 离心率 e= . (Ⅰ) 求该椭圆的标准方程; (Ⅱ) 设动点 P 满足: = +2 , 其中 M, N 是椭圆上的点, 直线 OM 与 ON 的斜率之积为- , · =-2, 求点 M 的

, 一条准线的方程为 x=2

问:是否存在两个定点 F1, F2, 使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在, 求 F1, F2 的坐标;若不存在, 说明 理由.

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10. 11.(2011 江西, 20, 13 分) P(x0, y0) (x0≠±a) 是双曲线 E: - =1(a>0, b>0) 上一点, M、N 分别 是双曲线 E 的左、右顶点, 直线 PM, PN 的斜率之积为 . (Ⅰ) 求双曲线的离心率; (Ⅱ) 过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A, B 两点, O 为坐标原点, C 为双曲 线上一点, 满足 =λ + , 求 λ 的值. 11. 12.(2011 安徽, 21, 13 分) 设 λ>0, 点 A 的坐标为(1, 1) , 点 B 在抛物线 y=x2 上运动, 点 Q 满 足 =λ 迹方程. , 经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M, 点 P 满足 =λ , 求点 P 的轨

12. 13.(2011 浙江, 21, 15 分) 已知抛物线 C1:x2=y, 圆 C2:x2+(y-4) 2=1 的圆心为点 M. (1) 求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离; (2) 已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点) , 过点 P 作圆 C2 的两条切线, 交抛物线 C1 于 A, B 两点. 若过 M、P 两点的直线 l 垂直于 AB, 求直线 l 的方程.

13. 14.(2011 课标, 20, 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0, -1) , B 点在直线 y=-3 上, M 点满足 ∥ · = · , M 点的轨迹为曲线 C. (Ⅰ) 求 C 的方程; (Ⅱ) P 为 C 上的动点, l 为 C 在 P 点处的切线, 求 O 点到 l 距离的最小值. 14. 15. (2011 湖北, 20, 14 分) 平面内与两定点 A1(-a, 0) 、A2(a, 0) (a>0) 连线的斜率之积等于非 零常数 m 的点的轨迹. 加上 A1、A2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ) 求曲线 C 的方程, 并讨论 C 的形状与 m 值的关系; (Ⅱ) 当 m=-1 时, 对应的曲线为 C1:对给定的 m∈(-1, 0) ∪(0, +∞) , 对应的曲线为 C2. 设 F1、
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F2 是 C2 的两个焦点. 试问:在 C1 上, 是否存在点 N, 使得△F1NF2 的面积 S=|m|a2. 若存在, 求 tan∠F1NF2 的值;若不存在, 请说明理由. 15. 16.(2011 江苏, 18, 16 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, M, N 分别是椭圆 + =1 的顶点, 过坐标原点的直线交椭圆于 P, A 两点, 其中点 P 在第一象限. 过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 C. 连结 AC, 并延长交椭圆于点 B. 设直线 PA 的斜率为 k. (Ⅰ) 若直线 PA 平分线段 MN, 求 k 的值; (Ⅱ) 当 k=2 时, 求点 P 到直线 AB 的距离 d; (Ⅲ) 对任意的 k>0, 求证:PA⊥PB.

16. 17.(2011 湖南, 21, 13 分) 如图, 椭圆 C1: + =1(a>b>0) 的离心率为 , x 轴被曲线 C2:y=x2-b

截得的线段长等于 C1 的长半轴长. (Ⅰ) 求 C1, C2 的方程; (Ⅱ) 设 C2 与 y 轴的交点为 M, 过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A, B, 直线 MA, MB 分 别与 C1 相交于点 D, E. (i) 证明:MD⊥ME; (ii) 记△MAB, △MDE 的面积分别为 S1, S2. 问:是否存在直线 l, 使得 = ?请说明理由.

17. 18. (2011 山东, 22, 14 分) 已知动直线 l 与椭圆 C: + =1 交于 P(x1, y1) , Q(x2, y2) 两不同点, 且△OPQ 的面积 S△OPQ= , 其中 O 为坐标原点.

(Ⅰ) 证明: + 和 + 均为定值; (Ⅱ) 设线段 PQ 的中点为 M, 求|OM|· |PQ|的最大值; (Ⅲ) 椭圆 C 上是否存在三点 D, E, G, 使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG= 状;若不存在, 请说明理由. 18.
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?若存在, 判断△DEG 的形

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19.(2011 广东, 21, 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 上, 给定抛物线 L:y= x2. 实数 p, q 满足 p2-4q≥0, x1, x2 是方程 x2-px+q=0 的两根, 记 φ(p, q) =max{|x1|, |x2|}. (Ⅰ) 过点 A 有 φ(p, q) = ; (p0≠0) 作 L 的切线交 y 轴于点 B. 证明:对线段 AB 上的任一点 Q(p, q) ,

(Ⅱ) 设 M(a, b) 是定点, 其中 a, b 满足 a2-4b>0, a≠0. 过 M(a, b) 作 L 的两条切线 l1, l2, 切点 分别为 E , E' , l1, l2 与 y 轴分别交于 F, F'. 线段 EF 上异于两端点的点集记为 ; . 当点(p, q) 取遍 D 时, 求 φ(p, q) 的最小值(记为

X. 证明:φ(a, b) ∈X?|p1|>|p2|?φ(a, b) = (Ⅲ) 设 D= φmin) 和最大值(记为 φmax) . 19.

答案和解析
[答案] 1.解法一:(Ⅰ) 证明:如图, 以 O 为原点, 以射线 OP 为 z 轴的正半轴, 建立空间直角坐 标系 O-xyz.

则 O(0, 0, 0) , A(0, -3, 0) , B(4, 2, 0) , C(-4, 2, 0) , P(0, 0, 4) , 可得 · =0, 所以 ⊥ , 即 AP⊥BC. (Ⅱ) 设 =λ , λ≠1, 则 =λ(0, -3, -4) . = + = +λ =(-4, -2, 4) +λ(0, -3, -4) =(-4, -2-3λ, 4-4λ) , =(-4, 5, 0) , =(-8, 0, 0) . 设平面 BMC 的法向量 n1=(x1, y1, z1) , 平面 APC 的法向量 n2=(x2, y2, z2) .

=(0, 3, 4) ,

=(-8, 0, 0) , 由此







可取 n1=

.




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可取 n2=(5, 4, -3) . =0,

由 n1· n2=0, 得 4-3· 解得 λ= , 故 AM=3.

综上所述, 存在点 M 符合题意, AM=3. 解法二:(Ⅰ) 证明:由 AB=AC, D 是 BC 的中点, 得 AD⊥BC. 又 PO⊥平面 ABC, 得 PO⊥BC. 因为 PO∩AD=O, 所以 BC⊥平面 PAD, 故 BC⊥PA. (Ⅱ) 如图, 在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M, 连结 CM, 由(Ⅰ) 知 AP⊥BC, 得 AP⊥平面 BMC. 又 AP?平面 APC, 所以平面 BMC⊥平面 APC.

在 Rt△ADB 中, AB2=AD2+BD2=41, 得 AB= 在 Rt△POD 中, PD2=PO2+OD2, 在 Rt△PDB 中, PB2=PD2+BD2, 所以 PB2=PO2+OD2+DB2=36, 得 PB=6. 在 Rt△POA 中, PA2=AO2+OP2=25, 得 PA=5. 又 cos∠BPA= = ,

.

从而 PM=PBcos∠BPA=2, 所以 AM=PA-PM=3. 综上所述, 存在点 M 符合题意, AM=3. 1. [答案] 2.设两已知圆的圆心分别为 C1, C2, 对应的半径分别为 r1, r2, 则 C1(r1=r2=2. 于是有|C1C2|=2 >4=r1+r2, 故此两已知圆相离. (Ⅰ) 设圆 C 的圆心 C(x, y) , 半径为 r, 由题设知:r>2, 于是有 或 ∴||CC1|-|CC2||=4, 即圆心 C 的轨迹 L 是以 C1, C2 为焦点, 4 为实轴长的双曲线, , 0) , C2( , 0) ,

∴L 的方程为

-

=1, 即 -y2=1. , 0) 恰为双曲线的右焦点, M 在两支之间, 且 MF=2;

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 及题设知:F(

当点 P、M、F 不共线时, ||MP|-|FP||<|FM|=2;

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当点 P、M、F 共线时, 直线 MF 的方程为 y=

(x-

) , 即 y=-2(x-

).



知 15x2-32

x+84=0,

得 或 若 P 在 x 轴上方有|MP|+|FP|=|FM|=2, 得||MP|-|FP||<2, 若 P 在 x 轴下方有||MP|-|FP||=|FM|=2. ∴||MP|-|FP||的最大值为 2;此时点 P 的坐标为 2. [答案] 3.解法一:(Ⅰ) 依题意, 点 P 的坐标为(0, m) . 因为 MP⊥l, 所以 × 1=-1, ,.

解得 m=2, 即点 P 的坐标为(0, 2) . 从而圆的半径 r=|MP|= 故所求圆的方程为(x-2) 2+y2=8. =2 ,

(Ⅱ) 因为直线 l 的方程为 y=x+m, 所以直线 l'的方程为 y=-x-m. 由 得 x2+4x+4m=0.

Δ=42-4× 4m=16(1-m) . (1) 当 m=1, 即 Δ=0 时, 直线 l'与抛物线 C 相切; (2) 当 m≠1, 即 Δ≠0 时, 直线 l'与抛物线 C 不相切. 综上, 当 m=1 时, 直线 l'与抛物线 C 相切;当 m≠1 时, 直线 l'与抛物线 C 不相切. 解法二:(Ⅰ) 设所求圆的半径为 r, 则圆的方程可设为(x-2) 2+y2=r2.

依题意, 所求圆与直线 l:x-y+m=0 相切于点 P(0, m) , 则 解得 所以所求圆的方程为(x-2) 2+y2=8. (Ⅱ) 同解法一. 3.
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[答案] 4.(Ⅰ) 设 M 的坐标为(x, y) , P 的坐标为(xP, yP) ,

由已知得 ∵P 在圆上, ∴x2+ =25, 即 C 的方程为 + =1.

(Ⅱ) 过点(3, 0) 且斜率为 的直线方程为 y= (x-3) , 设直线与 C 的交点为 A(x1, y1) , B(x2, y2) , 将直线方程 y= (x-3) 代入 C 的方程, 得 + ∴x1= |AB|= = = = . =1, 即 x2-3x-8=0. , x2= . ∴线段 AB 的长度为

注:求 AB 长度时, 利用韦达定理或弦长公式求得正确结果, 同样给分. 4. [答案] 5.(Ⅰ) 因为 C1, C2 的离心率相同, 故依题意可设 C1: + =1, C2: + =1, a>b>0.

设直线 l:x=t(|t|<a) , 分别与 C1, C2 的方程联立, 求得 A ,B . (4 分) a, 分别用 yA, yB 表示 A, B 的纵坐标, 可知|BC|∶|AD|= = = . (6 分)

当 e= 时, b=

(Ⅱ) t=0 时的 l 不符合题意. t≠0 时, BO∥AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等, 即

=

, 解得 t=-

=-

· a.

因为|t|<a, 又 0<e<1, 所以 <1, 解得 <e<1. <e<1 时, 存在直线 l, 使得 BO∥AN. (12

所以当 0<e≤ 分) 5.

时, 不存在直线 l, 使得 BO∥AN;当

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[答案] 6.(Ⅰ) 因椭圆焦点在 y 轴上, 设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0) , 由已知得 b=1, c=1, 所以 a= , 椭圆方程为 +x2=1,

直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符. 设直线 l 的方程为 y=kx+1, 将其代入椭圆方程化简得(k2+2) x2+2kx-1=0. 设 C(x1, y1) , D(x2, y2) , 则 x1+x2=|CD|= 由已知得 · = , x1· x2=. = , 解得 k=± . .

所以直线 l 的方程为 y= x+1 或 y=- x+1. (6 分) (Ⅱ) 证明:直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符. 设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0 且 k≠±1) , 所以 P 点坐标为 设 C(x1, y1) , D(x2, y2) , 由(1) 知 x1+x2=直线 AC 的方程为 y= 得 = . 与 异号. , x1· x2=, (x-1) , 将两直线方程联立, 消去 y .

(x+1) , 直线 BD 的方程为 y=

因为-1<x1, x2<1, 所以

=

=

·

=

=

=

.

又 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2) +1= =∴ ∴ · , 与 同号,

与 y1y2 异号, = , 解得 x=-k.

因此 Q 点坐标为(-k, y0) . · = · (-k, y0) =1.
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故 6.

· 为定值. (12 分)

[答案] 7.(Ⅰ) F(0, 1) , l 的方程为 y=设 A(x1, y1) , B(x2, y2) , P(x3, y3) , 则 x1= x1+x2= , x2= , y1+y2=, (x1+x2) +2=1,

x+1, 代入 x2+ =1 并化简得 4x2-2

x-1=0. (2 分)

由题意得 x3=-(x1+x2) =所以点 P 的坐标为 经验证, 点 P 的坐标 (Ⅱ) 由 P -

, y3=-(y1+y2) =-1. , -1 , , -1 满足方程 x2+ =1, 故点 P 在椭圆 C 上. (6 分) , 1 , PQ 的垂直平分线 l1 的方程为 y=, AB 的垂直平分线 l2 的方程为 x. ①

, -1 和题设知, Q

设 AB 的中点为 M, 则 M y= x+ . ②

由①、②得 l1、l2 的交点为 N |NP|= |AB|= |AM|= |NA|= · |x2-x1|= , |MN|= = , = , ,

. (9 分)

=

,

故|NP|=|NA|. 又|NP|=|NQ|, |NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|NQ|, 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心, NA 为半径的圆上. (12 分) 7. [答案] 8.(Ⅰ) 由已知得 a=2, b=1, 所以 c= = . , 0) , ( , 0) , 离心率为 e= = .

所以椭圆 G 的焦点坐标为(-

(Ⅱ) 由题意知, |m|≥1. 当 m=1 时, 切线 l 的方程为 x=1, 点 A, B 的坐标分别为

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. 此时|AB|= . 当 m=-1 时, 同理可得|AB|= . 当|m|>1 时, 设切线 l 的方程为 y=k(x-m) .



得(1+4k2) x2-8k2mx+4k2m2-4=0. , x1x2= .

设 A, B 两点的坐标分别为(x1, y1) , (x2, y2) , 则 x1+x2= 又由 l 与圆 x2+y2=1 相切, 得 所以|AB|= = = = . , 所以|AB|= =1, 即 m2k2=k2+1.

由于当 m=± 1 时, |AB|=

, m∈(-∞, -1]∪[1, +∞) .

因为|AB|=

=

≤2, 且当 m=± 时, |AB|=2, 所以|AB|的最大值为 2.

8. [答案] 9.(Ⅰ) 设 F1(-c, 0) 、F2(c, 0) (c>0) . 由题意, 可得|PF2|=|F1F2|, 即 =2c. 整理得 2 + -1=0, 得 =-1(舍) , 或 = , 所以 e= .

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知 a=2c, b= c, 可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2, 直线 PF2 方程为 y= (x-c) . A, B 两点的坐标满足方程组 消去 y 并整理, 得 5x2-8cx=0, 解得 x1=0, x2= c, 得方程组的解

不妨设 A

, B(0, -

c) . = =(x, y+ c) .

设点 M 的坐标为(x, y) , 则

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由 y= =(x, 将 y=

(x-c) , 得 c=xx) . 由

y. 于是

= · x+ >0, 所以 x>0. xy-15=0(x>0) .

, · x=-2, 化简得 18x2-16 xy-15=0.

· =-2, 即 y, 得 c=

代入 c=x-

因此, 点 M 的轨迹方程是 18x2-16 9. [答案] 10.(Ⅰ) 由 e= = 解得 a=2, c= , b =a -c =2,
2 2 2

=2

,

故椭圆的标准方程为 + =1.

(Ⅱ) 设 P(x, y) , M(x1, y1) , N(x2, y2) , 则由 (x, y) =(x1, y1) +2(x2, y2) =(x1+2x2, y1+2y2) , 即 x=x1+2x2, y=y1+2y2.

=

+2



因为点 M, N 在椭圆 x2+2y2=4 上, 所以 +2 =4,

+2 =4,

故 x2+2y2=( +4 +4x1x2) +2( +4 +4y1y2) =( +2 ) +4( +2 ) +4(x1x2+2y1y2) =20+4(x1x2+2y1y2) . 设 kOM, kON 分别为直线 OM, ON 的斜率, 由题设条件知 kOM· kON= 因此 x1x2+2y1y2=0, 所以 x +2y =20. 所以 P 点是椭圆 + =1 上的点. 设该椭圆的左、右焦点为 F1, F2, 则由椭圆的定 = , 因此两焦点的坐标为 F1(, 0) ,
2 2

=- .

义|PF1|+|PF2|为定值, 又因 c= F2( 10. , 0) .

[答案] 11.(Ⅰ) 点 P(x0, y0) (x0≠±a) 在双曲线 - =1 上, 有 - =1. 由题意又有 可得 a2=5b2, c2=a2+b2=6b2, 则 e= = (Ⅱ) 由 .

·

= ,

得 4x2-10cx+35b2=0, 设 A(x1, y1) ,

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B(x2, y2) , 则 设 =(x3, y3) , =λ +

① , 即

又 C 为双曲线上一点, 即 -5 =5b2, 有(λx1+x2) 2-5(λy1+y2) 2=5b2, 化简得 λ2( -5 ) +( -5 ) +2λ·(x1x2-5y1y2) =5b2. ② 又 A(x1, y1) , B(x2, y2) 在双曲线上, 所以 -5 =5b2, -5 =5b2.

由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c) (x2-c) =-4x1x2+5c(x1+x2) -5c2=10b2, 得 λ2+4λ=0, 解得 λ=0 或 λ=-4. 11. [答案] 12.由 =λ 知 Q, M, P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上, 故可设 P(x, y) , Q(x, y0) , M(x, x2) , 则 x2-y0=λ(y-x2) , 即 y0=(1+λ) x2-λy. ① 再设 B(x1, y1) , 由 ② 将①式代入②式, 消去 y0, 得 =λ , 即(x-x1, y0-y1) =λ(1-x, 1-y0) , 解得

③ 又点 B 在抛物线 y=x2 上, 所以 y1= , 再将③式代入 y1= . 则 (1+λ) 2x2-λ(1+λ) y-λ=[(1+λ) x-λ]2, (1+λ) 2x2-λ(1+λ) y-λ=(1+λ) 2x2-2λ(1+λ) x+λ2, 2λ(1+λ) x-λ(1+λ) y-λ(1+λ) =0. 因 λ>0, 两边同除以 λ(1+λ) , 得 2x-y-1=0. 故所求点 P 的轨迹方程为 y=2x-1. 12. [答案] 13.(Ⅰ) 由题意可知, 抛物线的准线方程为 y=- , 所以圆心 M(0, 4) 到准线的距离是 . (Ⅱ) 设 P(x0, ) , A(x1, ) , B(x2, ) , 由题意得 x0≠0, x0≠±1, x1≠x2. 设过点 P 的圆 C2 的切

线方程为 y- =k(x-x0) ,

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即 y=kx-kx0+ . ①



=1,

即( -1) k2+2x0(4- ) k+( -4) 2-1=0.

设 PA, PB 的斜率为 k1, k2(k1≠k2) , 则 k1, k2 是上述方程的两根, 所以 k1+k2=

, k1k2=

. 将①代入 y=x2 得 x2-kx+kx0- =0, 由于 x0 是此方程的根, 故 x1=k1-x0, x2=k2-x0,

所以 kAB=

=x1+x2=k1+k2-2x0=

-2x0,

kMP= . 由 MP⊥AB, 得

kAB· kMP= 程为 y=± x+4.

·

=-1, 解得 =

. 即点 P 的坐标为

, 所以直线 l 的方

13. [答案] 14.(Ⅰ) 设 M(x, y) , 由已知得 B(x, -3) , A(0, -1) . 所以 =(-x, -1-y) , =(0, -3-y) , 再由题意可知( + ) · =0, 即(-x, -4-2y) · (x, -2) =0. 所以曲线 C 的方程为 y= x2-2. (Ⅱ) 设 P(x0, y0) 为曲线 C:y= x2-2 上一点, 因为 y'= x, 所以 l 的斜率为 x0. 因此直线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0) , 即 x0x-2y+2y0- =0.
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=(x, -2) .

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则 O 点到 l 的距离 d=

.

又 y0=

-2, 所以 d=

=

≥2,

当 x0=0 时取等号, 所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 14. [答案] 15.(Ⅰ) 设动点为 M, 其坐标为(x, y) , 当 x≠±a 时, 由条件可得
2 2 2

·

=

·

=

=m,

即 mx -y =ma (x≠±a) , 又 A1(-a, 0) 、A2(a, 0) 的坐标满足 mx2-y2=ma2, 故依题意, 曲线 C 的方程为 mx2-y2=ma2. 当 m<-1 时, 曲线 C 的方程为 +
2 2

=1, C 是焦点在 y 轴上的椭圆;

当 m=-1 时, 曲线 C 的方程为 x +y =a2, C 是圆心在原点的圆; 当-1<m<0 时, 曲线 C 的方程为 + 当 m>0 时, 曲线 C 的方程为 =1, C 是焦点在 x 轴上的椭圆; =1, C 是焦点在 x 轴上的双曲线.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, 当 m=-1 时, C1 的方程为 x2+y2=a2; 当 m∈(-1, 0) ∪(0, +∞) 时, C2 的两个焦点分别为 F1(-a , 0) , F2(a , 0) . 对于给定的 m∈(-1, 0) ∪(0, +∞) , C1 上存在点 N(x0, y0) (y0≠0) 使得 S=|m|a2 的充要条件是

由①得 0<|y0|≤a. 由②得 |y0|= 当 0< . ≤a, 即 ≤m<0, 或 0<m≤ 时,

存在点 N, 使 S=|m|a2; 当 当 m∈ 由 =(-a =(a >a, 即-1<m< ∪ -x0, -y0) , -x0, -y0) ,
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, 或 m> 时,

时, 不存在满足条件的点 N.

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可得 令| 则由

· |=r1, | ·

= -(1+m) a2+ =-ma2. |=r2, ∠F1NF2=θ, =r1r2cos θ=-ma2, , =- ma2tan θ,

可得 r1r2=-

从而 S= r1r2sin θ=于是由 S=|m|a2, 可得- ma2tan θ=|m|a2, 即 tan θ=综上可得: 当 m∈ 当 m∈ 当 m∈ 15. .

时, 在 C1 上, 存在点 N, 使得 S=|m|a2, 且 tan∠F1NF2=2; 时, 在 C1 上, 存在点 N, 使得 S=|m|a2, 且 tan∠F1NF2=-2; ∪ 时, 在 C1 上, 不存在满足条件的点 N. , 故 M(-2, 0) , N(0, ) , 所以线段 MN 中点的坐标为

[答案] 16.(Ⅰ) 由题设知, a=2, b=

. 由于直线 PA 平分线段 MN, 故直线 PA 过线段 MN 的中点, 又直线 PA 过坐标原点,

所以 k=

=

.

(Ⅱ) 直线 PA 的方程为 y=2x, 代入椭圆方程得 +

=1, 解得 x=± , 因此 P

,A

.

于是 C

, 直线 AC 的斜率为

=1, 故直线 AB 的方程为 x-y- =0.

因此, d=

=

. . 记 μ= , 则 P(μ,

(Ⅲ) 证法一:将直线 PA 的方程 y=kx 代入 + =1, 解得 x=±
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μk) , A(-μ, -μk) . 于是 C(μ, 0) . 故直线 AB 的斜率为 =0, 解得 x= 因此 B 或 x=-μ. . = , 其方程为 y= (x-μ) , 代入椭圆方程得(2+k2) x2-2μk2x-μ2(3k2+2)

于是直线 PB 的斜率 k1=

=

=- .

因此 k1k=-1, 所以 PA⊥PB. 证法二:设 P(x1, y1) , B(x2, y2) , 则 x1>0, x2>0, x1≠x2, A(-x1, -y1) , C(x1, 0) . 设直线 PB, AB 的斜 率分别为 k1, k2. 因为 C 在直线 AB 上, 所以 k2= = = . 从而

k1k+1=2k1k2+1=2·

·

+1=

+1=

=

=0.

因此 k1k=-1, 所以 PA⊥PB. 16. [答案] 17.(Ⅰ) 由题意知 e= = 解得 a=2, b=1. 故 C1, C2 的方程分别为 +y2=1, y=x2-1. (Ⅱ) (i) 证明:由题意知, 直线 l 的斜率存在, 设为 k, 则直线 l 的方程为 y=kx. 由 得 x2-kx-1=0. , 从而 a=2b, 又 2 =a,

设 A(x1, y1) , B(x2, y2) , 则 x1, x2 是上述方程的两个实根, 于是 x1+x2=k, x1x2=-1. 又点 M 的坐标为(0, -1) , 所以 kMA· kMB= · =

= = =-1. 故 MA⊥MB, 即 MD⊥ME. (ii) 设直线 MA 的斜率为 k1, 则直线 MA 的方程为 y=k1x-1.



解得

或 -1) .

则点 A 的坐标为(k1,

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又直线 MB 的斜率为- , 同理可得点 B 的坐标为 .

于是 S1= |MA|· |MB|= 由 得(1+4 ) x2-8k1x=0,

· |k1|·

·

=

.

解得



则点 D 的坐标为

.

又直线 ME 的斜率为- , 同理可得点 E 的坐标为

. 于是 S2= |MD|· |ME|

= 因此 = 由题意知,

. . = .

解得 =4, 或 = .

又由点 A, B 的坐标可知, k=

=k1- , 所以 k=± .

故满足条件的直线 l 存在, 且有两条, 其方程分别为 y= x 和 y=- x. 17. [答案] 18.(Ⅰ) 证明:(1) 当直线 l 的斜率不存在时, P, Q 两点关于 x 轴对称, 所以 x2=x1, y2=-y1. 因为 P(x1, y1) 在椭圆上,
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因此 + =1. ① 又因为 S△OPQ= 由①、②得|x1|= 此时 + =3, , 所以|x1|· |y1|= , |y1|=1, + =2. . ②

(2) 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=kx+m, 由题意知 m≠0, 将其代入 + =1 得 (2+3k2) x2+6kmx+3(m2-2) =0, 其中 Δ=36k2m2-12(2+3k2) (m2-2) >0, 即 3k2+2>m2, (*) 又 x1+x2=所以|PQ|= = , x1x2= · , , · ,

因为点 O 到直线 l 的距离为 d= 所以 S△OPQ= |PQ|· d= = 又 S△OPQ=
2

·

. ,

整理得 3k +2=2m2, 且符合(*) 式, 此时 + =(x1+x2) 2-2x1x2 = 2

-2×

=3,

+ = (3- ) + (3- ) =4- ( + ) =2. 综上所述, + =3, + =2, 结论成立. , |PQ|=2|y1|=2, 因此

(Ⅱ) 解法一:(1) 当直线 l 的斜率不存在时, 由(1) 知|OM|=|x1|= |OM|· |PQ|= × 2= .

(2) 当直线 l 的斜率存在时, 由(1) 知: =,
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=k |OM|2= |PQ|2=(1+k2)
2

+m=+

+m=
2

= , + = = 3, ,

=

=

=2 2+

所以|OM|2· |PQ|2= × 3-

× 2× 2+ =2+

= 3-

2+



2

=

.

所以|OM|·|PQ|≤ , 当且仅当 3-

, 即 m=± 时, 等号成立.

综合(1) (2) 得|OM|· |PQ|的最大值为 . 解法二:因为 4|OM|2+|PQ|2=(x1+x2) 2+(y1+y2) 2+(x2-x1) 2+(y2-y1) 2=2[( + ) +( + ) ]=10. 所以 2|OM|·|PQ|≤ = =5. 时等号成立.

即|OM|·|PQ|≤ , 当且仅当 2|OM|=|PQ|= 因此|OM|· |PQ|的最大值为 .

(Ⅲ) 椭圆 C 上不存在三点 D, E, G, 使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG=

. ,

证明:假设存在 D(u, v) , E(x1, y1) , G(x2, y2) 满足 S△ODE=S△ODG=S△OEG= 由(Ⅰ) 得 u2+ =3, u2+ =3, 解得 u2= = = ;v2= = =1, 因此 u, x1, x2 只能从± 中选取, v, y1, y2 只能从± 1 中选取. 因此 D, E, G 只能在 ± , ± 1 这四点中选取三个不同点, 而这三点的两两连线中必有一条过原点, 与 S△ODE=S△ODG=S△OEG= 矛盾, + =3;v2+ =2, v2+ =2, + =2,

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D, E, G. 18. [答案] 19.(Ⅰ) 证明:由题设知:y'= , 切线 AB 的方程为 yq= p, p=0 的两根, 即 x1= , x2=p- ,
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= (x-p0) , 即 y=

x-

, ∴

于是 x1, x2 是方程 x2-px+

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∴ - =

2

- p-

2

=p(p0-p) , B 0, -

.

当 p0<0 时有 p0<p<0, 得 - >0;当 p0>0 时有 0<p<p0, 得 - >0, 即|x1|>|x2|. φ(p, q) =|x1|= , 且|p|<|p0|. , F' 0, . 且|a|<|p1|,

(Ⅱ) 证明:由(Ⅰ) 知 F 0, -

(1) 若 M(a, b) ∈X, 由(1) 知 M 在线段 EF 上, 且 φ(a, b) =

若|a|<|p2|, 由(1) 知 M 在线段 E'F'上, 则 M 在 y 轴上, 这与 a≠0 矛盾, 故|a|≥|p2|, 得|p1|>|p2|; (2) 若|p1|>|p2|, 有<, 点 F 0, . . 在 F' 0, 的下方, 则交点 M 在线段 EF 上,

即 M(a, b) ∈X, 得 φ(a, b) =

由上述(1) (2) 知:M(a, b) ∈X?|p1|>|p2|?φ(a, b) =

(Ⅲ) 由





知:p∈[0, 2], q∈[-1, 1].

由题设知:q≤p-1, 于是有 p2≥(q+1) 2≥4q, 即 D 内任何一点对应方程均有解. 由 x1+x2=p>0 知 φ(p, q) = φ(p, q) = , q= . q≤p-1, q≥ (p+1) 2= (u, p) (p-u-2) (p+u-2) ≤0, 2- ≥p . , 设 u= , 所以

区域 D= (p, q)

如图画出区域, 将直线 l:p+u=0 平行移动, 当 l 与直线 BC 重合时, p+u=2, 得 φ(p, q) min=1; 当 l 与曲线相切时, 由 p=2- 和 p'=-u=-1, 得切点 A 1, , 于是有 φ(p, q) max= .

19.

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