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2015学年第二学期温州十校联合体高二期中联考数学试卷


2015 学年第二学期十校联合体高二期中联考 数学试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,满分 120 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 一、选择题: 本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.若 z+3-2i=4+i,则 z 等于( A

.1+i B.1+3i ) C.-1-i D.-1-3i → 2.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知AB=a, →

AD=b,AA1=c,则用向量 a,b,c 可表示向量BD1等于(
A.a+b+c C.a+b-c B.a-b+c D.-a+b+c





)

1 1 1 * 3.设 f(n)=1+ + +…+ (n∈N ),那么 f(n+1)-f(n)等于( 2 3 3n-1 A.

)

1 3n ? 2

B.

1 1 ? 3n 3n ? 1

C.

1 1 ? 3n ? 1 3n ? 2


D.

1 1 1 ? ? 3n 3n ? 1 3n ? 2

4.设 a, b, c ? (0, ??), 则 a ? A.都小于 2 C.至少有一个不小于 2

1 1 1 ,b ? ,c ? ( b c a

B.都大于 2 D.至少有一个不大于 2

5.设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数, 将 y ? f ( x ) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标 系中,不可能 正确的是 ( ) ...

6.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等, 则直线 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的 正弦值等于( ) 6 10 2 3 A. B. C. D. 4 4 2 2 7.设函数 f (x)=x3-4x-a,0<a<2.若 f (x)的三个零点为 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则 ( )

A.x1<-2

B.x2>0

C.x3<1

D.x3>2

8.如图四边形 ABCD , AB ? BD ? DA ? 2 , BC ? CD ? 当二面角 A ? BD ? C 的大小处于 [ , 值取值范围是( A. [ ? ) B. [

p 5p
6 6

2 .现将 ?ABD 沿 BD 折起,

] 变化过程中,直线 AB 与 CD 所成角的余弦
A

5 2 2 , ] 8 8

2 5 2 , ] 8 8
B C
第 8 题图

2 ] C. [0, 8

5 2 D. [0, ] 8

D

二.填空题: 本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.

9. 已知向量 a ? (3, ?1, 2) , b ? (?6, 2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ________,若 a ∥ b , 则 x ? ________。 10.已知 i 是虚数单位, 若复数 z1 ? 3 ? i , z2 ? 1 ? i ,则 z1 ? z2 =_________, 内所对应的点位于第___________象限。 11.已知 a , b 是不相等的正数, x ?

?

?

?

?

?

?

z1 在复平面 z2

a? b 2

, y ? a ? b ,则 x, y 的大小关系是______。

12. 已知函数 f ( x) ? x cos 2 x ,则 f ?( x ) =_________,曲线 y ? f ( x) 在点 ( 切线倾斜角是_________。

?

, ? ) 处的 2 2

?

2 x 13.已知函数 f ( x) ? x e ,则 f ( x ) 的极大值为____________,若 f ( x ) 在[t,t+1]上

不单调 ,则 t 的取值范围是___________。 ... ??? ? ???? ? ? ? ? OB D ? 14. 设点 O 为四面体 ABCD 外接球的球心, 若| AB |=3, | AD |=4, 则A 15.设定义域为 (0, ??) 的单调函数 f ( x ) ,对任意的 x ? (0, ??) ,都有

=_________。

f [ f (x ) ? lo x ? ] ,若 6 x0 是方程 f ( x) ? f ?( x) ? 4 的一个解,且 2g

x0 ? ( a, a? 1 ) ( a? * N ,则 ) a ? ___________。

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。 16. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)已知 x2-y2+2xyi=2i,求实数 x、y 的值; a (Ⅱ)关于 x 的方程 3x2- x-1=(10-x-2x2)i 有实根,求实数 a 的值. 2

17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? , f ?

x ?1 ? ln x . x
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

?1 ?2

? 1 ?? ? ? 处的切线方程; ? 2 ??

(Ⅱ)求 f ( x) 在 ? , e ? 上的最大值和最小值. 4

?1 ?

? ?

1?? 1?? 1? ? 1? 18. (本小题满分 10 分)当 n≥2,n∈N*时,设 f(n)=? ?1-4??1-9??1-16?…· ?1-n2?. (Ⅰ)求 f(2)、f(3)、f(4)的值; (Ⅱ)猜想 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明。

19. (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AB=BC=2AA1,∠ABC=90° ,D 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:直线 A1B∥平面 ADC1; (Ⅱ)求二面角 C1-AD-C 的余弦值; (Ⅲ)试问线段 A1B1 上是否存在点 E,使直线 AE 与 DC1 成 60° 角? 若存在,确定 E 点位置;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? e x ( x 2 ? ax ? 1) . (Ⅰ)当 a ? R 时,讨论 f (x)的单调性; (Ⅱ)若实数 a 满足 a ? ?1 ,且函数 g(x)=4x3+3(b+4)x2+6(b+2)x (b∈R) 的极小 值点与 f (x)的极小值点相同,求证:g(x)的极小值小于等于 0.

2015 学年第二学期十校联合体高二期中联考

答案及评分标准
一.选择题(每小题 4 分,共 32 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 D 6 A 7 D 8 D

二.填空题(多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 9.10 ,-4 12. cos 2 x ? 2 x sin 2 x , 13 . 10. 4 ? 2i , Ⅰ 11. x ? y

1350

4 , e2

? ?3 , ? 2 ? ??

? 1, ? 0 14.

7 2

15.1

三.解答题(共 52 分) 16. (本小题满分 10 分) 解 (Ⅰ)∵x2-y2+2xyi=2i,

2 2 ? ?x -y =0, ? ∴ -------------2 分 ?2xy=2, ?

?x=1, ?x=-1, ? ? 解得? 或? --------------------------------------------------5 分 ? ? ?y=1, ?y=-1.

(Ⅱ)设方程的实数根为 x=m,则原方程可变为 a 3m2- m-1=(10-m-2m2)i, 2 a ? ?3m2-2m-1=0, ∴? --------------------------------------------------7 分 2 ? ?10-m-2m =0, 71 解得 a=11 或 a=- . --------------------------------------------------10 分 5 17.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ?

1 1 1? x ? ? 2 -------------------------------------------------------------2 分 x2 x x

?1? f ?? ? ? 2 , ?2?

?1? f ? ? ? ?1 ? ln 2 ------------------------------------------------------------3 分 ?2?

所以切线方程为: y ? 1 ? ln 2 ? 2 ? x ? (Ⅱ) f ? ? x ? ?

? ?

1? ? ? y ? 2 x ? 2 ? ln 2 ----------------4 分 2?

[来源:学科网 ZXXK]

1 1 1? x ? ? 2 x2 x x

所以 x ? ? ,1? 时,函数单调递增; x ??1, e? 时,函数单调递减--------------6 分 所以 fmax ? f ?1? ? 0 --------------------------------------------------------------------7 分

?1 ? ?4 ?

?1? f ? ? ? ln 4 ? 3 ?4?
因为 ln 4 ? 3 ? ?

1 f ? e ? ? ? -------------------------------------------------9 分 e

1 ?1? ,所以 f min ? f ? ? ? ln 4 ? 3 ----------------------------------10 分 e ?4?
------------------------------------------------1 分 ------------------------------------------------2 分 -------------------------------------------------3 分

18. (本小题满分 10 分) (Ⅰ) f (2) ?

3 4

4 6 5 f (4) ? 8 f (3) ?
(Ⅱ)猜想 f ( n) ? 证明

n ?1 ? n ? 2, n ? N ? -----------------------------------------------5 分 2n

2+1 3 1 3 (1)当 n=2 时,左边=1- = ,右边= = ,∴n=2 时等式成立.------6 分 4 4 2×2 4

(2)假设当 n=k(n≥2,n∈N*)时等式成立, 1? ? 1? ? 1? ? 1 ? k+1 即? ?1-4? ?1-9? ?1-16? … ?1-k2? = 2k , -----------------------------------------------------7 分 那么当 n=k+1 时,

?1- 1 ? ?k+1? -1 k+2 ?1-1??1-1??1- 1 ?…?1- 12??1- 1 2?=k+1· ? 4?? 9?? 16? ? k ?? ?k+1? ? 2k ? ?k+1?2?= 2k?k+1? =2?k+1?
= ?k+1?+1 . 2?k+1?

2

∴当 n=k+1 时,等式也成立.-----------------------------------------------------------------------9 分 根据(1)和(2)知,对任意 n≥2,n∈N ,等式都成立.--------------------------------------- 10 分 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD. 由 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,得四边形 ACC1A1 为矩形,O 为 A1C 的中点. 又 D 为 BC 的中点,所以 OD 为△A1BC 的中位线, 所以 A1B∥OD. 因为 OD? 平面 ADC1,A1B?平面 ADC1, 所以 A1B∥平面 ADC1.-------------------------------------------------------------4 分 (Ⅱ)解:由 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,且∠ABC=90°,得 BA,BC,BB1 两两垂直. 以 BC,BA,BB1 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz. 设 BA=2,则 B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0), → → 所以AD=(1,-2,0),AC1=(2,-2,1). → ?n·AD =0, ? 设平面 ADC1 的法向量为 n=(x,y,z),则有? ?n·→ AC1=0. ?
?x-2y=0, ? 所以? ? ?2x-2y+z=0.
*

取 y=1,得 n=(2,1,-2).

易知平面 ADC 的一个法向量为 v=(0,0,1). n·v 2 所以 cos〈n,v〉= =- . |n|·|v| 3 因为二面角 C1-AD-C 是锐二面角, 2 所以二面角 C1-AD-C 的余弦值为 .----------------------------------------------------8 分 3 (Ⅲ)解: 假设存在满足条件的点 E. 因为点 E 在线段 A1B1 上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设 E(0,λ ,1),其中 0≤λ ≤2. → → 所以AE=(0,λ -2,1),DC1=(1,0,1). 因为 AE 与 DC1 成 60°角,

→ → |AE·DC1| 1 → → 所以|cos〈AE,DC1〉|= = , → → 2 |AE|·|DC1| 1 1 即 = ,解得λ =1 或λ =3(舍去). 2 (λ -2) +1· 2 2 所以当点 E 为线段 A1B1 的中点时,AE 与 DC1 成 60°角.----------------------------------12 分

20. (本小题满分 10 分) (Ⅰ) f / ( x) ? e x [ x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 1]

f / ( x) ? ex ( x ?1) ? x ? a ?1?
/

-----------------------------------------------------------2 分

由 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?1 ,或 x ? ? a ? 1 ⑴当 a ? 0 时, f / ( x) ? e x ( x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 在 ? ??, ??? 上为增函数;------------- 3 分 ⑵当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? ?a ?1, ?1? 上为减函数; f ( x) 在 ? ??, ?a ?1? 、 ? ?1, ?? ? 上为 增 函数;----------------------------------------------------------------------------------------------------4 分 ⑶当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? ?1, ?a ?1? 上为减函数; f ( x) 在 ? ??, ?1? 、 ? ?a ?1, ??? 上为 增 函 数 ; ----------------------------------------------------------------------------------------------------5 分 (Ⅱ)∵ a ? ?1 ,∴ ? a ? 1 ? ?1 , 又 f ( x) ? e [ x ? (a ? 2) x ? a ? 1] ? e ( x ? a ? 1)(x ? 1) ,
/ x 2 x

∴ f ( x)的极小值点是 x ? ?a ? 1 ,从而 g ( x) 的极小值点也是 x ? ?a ? 1 又 g ( x) ? 12( x ? 1)( x ?
/

b?2 b?2 ) ?? ? ?a ? 1, 即b ? 2a -----------------------------------8 2 2

分 因为 a ? ?1 , 故 g ( x) 的极小值 g (?a ? 1) ? ? ?1 ? a ?
2

? 4 ? 2a ? ? 0 ,

即 g(x)的极小值小于等于 0. -----------------------------------------------------------------------10 分


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