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1.2.2空间中的平行关系(1)

时间:2011-03-31


1.2.2空间中的平行关系(1) 空间中的平行关系( ) 空间中的平行关系
中国人民大学附属中学

一. 平行直线 1. 平行直线的定义:同一平面内不相交的 平行直线的定义: 两条直线叫做平行线. 两条直线叫做平行线 2. 平行公理:过直线外一点有且只有一条 平行公理:过直线外一点有且只有 有且只有一条 直线和这条直线平行. 直线和这条直线平行 3. 公理 :平行于同一直线的两条直线互相 公理4: 平行,此性质又叫做空间平行线的传递性. 传递性 平行,此性质又叫做空间平行线的传递性

公理4的符号表述为: 公理 的符号表述为: 的符号表述为 a//c,b//c ? a//b. , 公理4反映了两条直线的位置关系. 公理 反映了两条直线的位置关系 反映了两条直线的位置关系 公理4主要用来证明两条直线平行, 公理 主要用来证明两条直线平行,它是 主要用来证明两条直线平行 证明两直线平行的重要依据. 证明两直线平行的重要依据

4. 等角定理: 等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分 平行并且方向相同,那么这两个角相等. 并且方向相同 别平行并且方向相同,那么这两个角相等 已知:如图所示,∠BAC和 已知:如图所示, 和 的边AB//A1B1, ∠B1A1C1的边 AC//A1C1,且射线 与A1B1 且射线AB与 同向,射线AC与 同向, 同向,射线 与A1C1同向, 求证: 求证:∠BAC=∠B1A1C1. ∠

证明:对于∠ 证明:对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平 和 面内的情形,在初中几何中已经证明, 面内的情形,在初中几何中已经证明, 下面证明两个角不在同一平面内的情形。 下面证明两个角不在同一平面内的情形。 分别在∠BAC的两边和 分别在∠ 的两边和 ∠B1A1C1的两边上截取线 段AD=A1D1和AE=A1E1. 因为, 因为,AD / / A1 D1 所以 AA1D1D 是平行四边形, 是平行四边形,

所以 AA1 / /DD1 同理可得 AA1 / /EE1 所以DD 是平行四边形。 所以 1E1E是平行四边形。 是平行四边形 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1, 和 AE=A1E1,DE=D1E1, 于是△ 于是△ADE≌△A1D1E1, ≌ 所以∠ 所以∠BAC=∠B1A1C1. ∠

5. 空间四边形的有关概念: 空间四边形的有关概念 的有关概念: (1)顺次连结不共面的四点 、B、C、D )顺次连结不共面的四点A、 、 、 所构成的图形,叫做空间四边形 空间四边形; 所构成的图形,叫做空间四边形; (2)四个点中的各个点叫做空间四边形 ) 的顶点; 顶点; (3)所连结的相邻顶点间的线段叫做空 ) 间四边形的边 间四边形的边; (4)连结不相邻的顶点的线段叫做空间 ) 四边形的对角线 对角线。 四边形的对角线。

如图:空间四边形 如图:空间四边形ABCD中,AC、BD是 中 、 是 它的对角线

空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托,如下图中的两种空间四边形ABCD和 如下图中的两种空间四边形 和 ABOC.

6. 异面直线所成的角:已知两条异面直 . 异面直线所成的角: 作直线a’//a, 线a、b,经过空间任意一点 作直线 、 ,经过空间任意一点O作直线 , b’//b,由于a’、b’所成的角的大小与点 ,由于 、 所成的角的大小与点 所成的角的大小与点O 的选择无关,我们就把 与 所成的锐角 的选择无关,我们就把a’与b’所成的锐角 或直角叫做异面直线所成的角. 或直角叫做异面直线所成的角
b a′ ? O P a a′ b′ θ O

若两条异面直线所成角为90° 若两条异面直线所成角为 °,则称 它们互相垂直 垂直。 它们互相垂直。 异面直线a与 垂直也记作 垂直也记作a⊥ 异面直线 与b垂直也记作 ⊥b 异面直线所成角θ的取值范围: 0 , 异面直线所成角 的取值范围:( ° 90°] 的取值范围

空间两条直线的位置关系有三种: 空间两条直线的位置关系有三种:
位置关系 相交直线 平行直线 共面情况 在同一平面内 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个 没 有 没 有

异面直线 不在任何一平面内

已知: 例1.已知:如图,空间四边形 已知 如图,空间四边形ABCD中, 中 E,F,G,H分别是边 ,BC,CD, 分别是边AB, , , , , , 分别是边 DA的中点,求证:四边形 的中点, 的中点 求证:四边形EFGH是平行 是平行 四边形。 四边形。 A 证明:在△ABD中,因 证明: 中 为E,H分别是 , , 分别是AB, 分别是 AD的中点,所以 的中点, 的中点 EH//BD,EH= BD, , ,
1 2
E B F C G H D

同理, 同理,FG//BD,FG= BD, , , 所以EH//FG,EH=FG, , 所以 , 所以四边形EFGH是平行四边形。 是平行四边形。 所以四边形 是平行四边形
A E B F C G H D

1 2

例2.如图:在长方体 .如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1 - 已知E, 分别是 分别是AB , BC 的中点, 的中点, 中,已知 ,F分别是 求证:EF∥A1C1. 求证: ∥ 证明:连结 证明 连结AC. 连结 在△ABC中, E, F分别A 中 分别 的中点. 是AB, BC 的中点 所以 EF ∥ AC
A D F E B C
1

D1

C1

B1

又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1 所以 AA1∥CC1 且 AA1∥CC1 即四边形AA1C1C是平行四边形 即四边形 是平行四边形
D
1

C

1

所以AC∥ 所以 ∥A1C1 从而 EF∥A1C1. ∥

A

1

B

1

D F A E B

C

如图,已知 已知E,E1分别是正方体 分别是正方体ABCD- 例3. 如图 已知 - A1B1C1D1的棱 的棱AD, A1D1的中点 的中点. 求证: 求证:∠C1E1B1 = ∠CEB. 分析:设法证明E 分析:设法证明 1C1∥EC, E1B1∥EB.
D1 E1 A1 B1 C1

D E A B

C

练习 题
(1) 下列结论正确的是( D ) 下列结论正确的是( A.若两个角相等,则这两个角的两边分别 若两个角相等, 若两个角相等 平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交 空间四边形的两条对角线不相交

(2) 下面三个命题 其中正确的个数是( D ) 下面三个命题, 其中正确的个数是( ①三条相互平行的直线必共面; 三条相互平行的直线必共面; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ③若四边形有一组对角都是直角,则这个四 若四边形有一组对角都是直角, 边形是圆的内接四边形 A. 1个 个 C. 3个 个 B. 2个 个 D. 一个也不正确

(3).空间两个角 、β, α与β的两边对应平行 空间两个角α 的两边对应平行, 空间两个角 与 的两边对应平行 且α=600, 则β等( ) D = 等 A. 60° B. 120° ° ° C. 30° D. 60°或120° ° ° ° (4)若空间四边形的对角线相等 则以它的四 若空间四边形的对角线相等,则以它的四 若空间四边形的对角线相等 条边的中点为顶点的四边形是( 条边的中点为顶点的四边形是( B ) A.空间四边形 B.菱形 空间四边形 菱形 C.正方形 D.梯形 正方形 梯形

5. 设AA1是正方体的一条棱,这个正方 是正方体的一条棱, 3 体中与AA 平行的棱共有___ ___条 体中与 1 平行的棱共有___条. 6. 如果 ∥O1A1, OB∥O1B1 ,那么 如果OA∥ ∥ 那么 ∠AOB与∠A1O1B1 与 A.相等 相等 C.相等或互补 相等或互补 ( C ) B.互补 互补 D.以上答案都不对 以上答案都不对

7.如图,已知 AA1, BB1, CC1 ,不共面 如图, 如图 不共面 且AA1∥BB1, BB1∥CC1 ,AA1=BB1, BB1= CC1. 求证:△ABC ≌ △A1B1C1. 求证:
A1 A

B1 C1

B

C

D1

C1

A1

B1

D F A E B

C


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