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2016年虹口区高三数学二模(文、理)试卷


虹口区 2016 年高考模拟数学试卷(文理合卷)
2016.4 考生注意: 1.本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试 卷上作答一律不得分.
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共 14 题,只要求在答题纸相应题号的空格内直接填 写结果,

每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
2 1.设集合 M ? x x ? x , N ? x log 2 x ? 0 ,则 M ? N ? __________.

?

?

?

?

2.已知虚数 1+ 2i 是方程 x2 ? ax ? b ? 0 (a 、b ? R) 的一个根,则 a ? b ? _______ . 3. 在报名的 5 名男生和 4 名女生中,选取 5 人参加志愿者服务,要求男、女生都有,则不 同的选取方式的种数为 (结果用数值表示).

4.已知复数 z 在复平面上对应的点在曲线 y ? 5.已知函数 f ( x ) 的对应关系如下表:

2 上运动,则 z 的最小值等于__________. x

x
f ( x)

?2
3

?1 ?2

0
1

1 5

2

m

若函数 f ( x ) 不存在反函数,则实数 m 的取值集合为 ___________. 6.在正项等比数列 ?an ? 中, a1a3 ? 1, a2 ? a3 ?

4 , lim(a ? a ? ? ? an ) ? ___________. 3 则 n ?? 1 2

7.已知 f ( x) ? 2sin ? x ( ? ? 0) 在 ?0, ? ? 单调递增,则实数 ? 的最大值为 ___________. ? 3? ? ?

1
8.若行列式 cos(? ? x)

2 4 2 0 中的元素 4 的代数余子式的值等于 3 ,则实数 x 的取值集 1 6
2
C

?1
合为____________.

1 n ) 展开式中的第 5 项为常数项,则 x 展开式中各项的二项式系数之和为__________.
9. 若二项式 (2 x ? 10 .已知 A 、 B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90 , C
?

O A B

为该球面上的动点,若三棱锥 O ? ABC 体积的最大值为 则球 O 的表面积为___________. 虹口区高三模拟数学试卷

32 , 3
( 第 10 题图 )

第1页

x2 y 2 + ? 1 (a ? b ? 0) 的两个 a 2 b2 顶点,过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线,与其交于点
11. 如图, A、B 为椭圆 C. 若 AB / / OC ( O 为坐标原点),则直线 AB 的斜 率为___________. 12. 若经过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点的直线 l 与圆
A

y B C

O

F

x

( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 相切,则直线 l 的方程为___________.

(第11题图)

13.(理) 假设某 10 张奖券中有一等奖 1 张,奖品价值 100 元;有二等奖 3 张,每份奖品 价值 50 元;其余 6 张没有奖. 现从这 10 张奖券中任意抽取 2 张,获得奖品的总价值 ? 不少 于其数学期望 E? 的概率为_________. (文) 设函数 f ( x) ? ? ?

?

ax ,

x ?1

2 ? ? x ? 2x , x ? 1

(其中a ? 0, a ? 1), 若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ? ??, 3? ,

则实数 a 的取值范围为___________. 14.(理) 已知对任意的 x ? (??,0) ? (0, ??) , y ???1, 1? , 不等式 x 2 ? 恒成立,则实数 a 的取值范围为_________.

16 8 ? 2 xy ? 1? y2 ? a ? 0 2 x x

???? ? ??? ? ? 0 ? OM ? OA ? 1 ? (文)在直角坐标平面, 已知两定点 A(1, 0)、B(1,1) 和一动点 M ( x, y ) 满足 ? , ???? ? ??? ? ? ?0 ? OM ? OB ? 2
则点 P( x ? y, x ? y) 构成的区域的面积为_________. 二、选择题(本大题共 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相 应题号上,将所选答案的代号涂黑,选对得 5 分,否则一律零分. 15. “a ? 3” 是“直线 (a ? 2a) x ? y ? 0 和直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行”的
2

(

)

(A)充分不必要条件 (C)充要条件
2

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

16. (理)已知抛物线 C1 : y ? 4x 的焦点 F 恰好是椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点, a 2 b2
( (D)4
)

且两条曲线 C1与C2 交点的连线过点 F ,则椭圆 C2 的长轴长等于 (A) 2 ? 1 (B)2 (C) 2 2 ? 2

虹口区高三模拟数学试卷

第2页

(文)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 (A) 3? (C) 3? ? 4 (B) 4? (D) 2? ? 4
2 主视图 1 俯视图





2

左视图

17. 在 ?ABC 中, a、b、c 分别是内角 A、B、C 所对的边,

a 2 ? b2 ? c 2 若 S?ABC ? (其中 S?ABC 表示?ABC的面积), 且 4 ? ??? ? ? ? ??? ??? ? AB AC ? ??? ( ) ? ? ??? ? ? ? BC ? 0, 则 ?ABC 的形状是 ? AB AC ? ? ?
(A)有一个角为 30 ? 的等腰三角形 (C)直角三角形 (B)等边三角形

(第 16 题图)

(D)等腰直角三角形

? 18. (理)已知点列 An (an , bn ) (n ? N ) 均在函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图像上,点列 Bn (n, 0)

满足 An Bn ? An Bn?1 . 若数列 ?bn ? 中任意连续三项能构成三角形的三边, 则 a 的取值范围为 ( )

? ? ? ? (A) ? 0, 5 ? 1 ? ? ? 5 ? 1 , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? (C) ? 0, 3 ? 1 ? ? ? 3 ? 1 , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
等于

? (B) ? 5 ? 1 , ? 2 ? ? (D) ? 3 ? 1 , ? 2 ?

? ? 1? ??? ?1, ? ? ? ? 1? ??? ?1, ? ?

5 ?1? ? 2 ? ? 3 ?1 ? ? 2 ? ?
( )

(文)已知抛物线 y ? x2 ? 7 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A、B,则 AB (A)5 (B) 5 2 (C)6 (D) 6 2 三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要 的步骤. 19.(本题满分 12 分) 本题共 2 个小题,每小题 6 分. 在锐角 ?ABC 中, sin A ? sin 2 B ? sin( (1) 求角 A 的值; (2) 若 AB ? AC ? 12, 求 ?ABC 的面积.

?
4

? B) sin(

?
4

? B).

??? ? ??? ?

虹口区高三模拟数学试卷

第3页

20.(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题,每小题 7 分. (理)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD , 且四边形 ABCD 为直角梯形, ?ABC ? ?BAD ? 90? ,

P Q

AB ? AD ? AP ? 2 , BC ? 1 .
(1) 求点 A 到平面 PCD 的距离; (2) 若点 Q 为线段 BP 的中点,求直线 CQ 与平面

A C
(第20题图)

D

ADQ 所成角的大小.

B
P

(文)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD , 且四边形 ABCD 为直角梯形, ?ABC ? ?BAD ? 90? ,

AB ? AD ? AP ? 2 , BC ? 1 . 求:
(1) 异面直线 PC 与AD 所成角的大小; (2) 四棱锥 P ? ABCD 的体积与侧面积.

A B C
(第20题图)

D

21.(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题,每小题 7 分. 已知函数 f ( x) ? log 1 ?

? 1 ? ax ? ? 满足 f (?2) ? 1 ,其中 a 为实常数. 3 ? x ?1 ?

(1)求 a 的值,并判定函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)若不等式 f ( x) ? ?

?1? ? ? t 在 x ? ? 2,3? 恒成立,求实数 t 的取值范围. ?2?

x

22. (本题满分 16 分) 本题共 3 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 6 分.

x2 y 2 已知直线 y ? 2 x 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线,点 A(1,0)、M (m, n) (n ? 0) a b
都在双曲线 C 上,直线 AM 与 y 轴相交于点 P ,设坐标原点为 O . (1) 求双曲线 C 的方程,并求出点 P 的坐标(用 m 、 n 表示) ;

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第4页

(2) 设点 M 关于 y 轴的对称点为 N ,直线 AN 与 y 轴相交于点 Q .问:在 x 轴上是否存在定点 T , 使得 TP ? TQ ?若存在,求出点 T 的坐标;若不存 在,请说明理由. (3) 若过点 D(0, 2 ) 的直线 l 与双曲线 C 交于 R、S

y M N

P O A x

??? ? ??? ? ??? ? 两点,且 OR ? OS ? RS ,试求直线 l 的方程.

Q
23. (本题满分 18 分) (理)本题共 3 个小题,每小题 6 分.
2 ? 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且 (Sn ?1) ? an Sn (n ? N ).

(第22题图)

(1)求 S1、S2、S3 的值,并求出 Sn 及数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? (?1)n?1 (n ? 1)2 ? an an?1 (n ? N ? ) , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . (3)设 cn ? (n ?1) ? an (n ? N ? ) , 在数列 ?cn ? 中取出 m(m ? N ? , m ? 3为常数) 项,按照原来 的顺序排成一列, 构成等比数列 ?dn ? .若对任意的数列 ?dn ? , 均有 d1 ? d2 ? d3 ? ?? d m ? M , 试求 M 的最小值.

(文)本题共 3 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 8 分. 已知数列 ?an ? 的奇数项是首项为 1 的等差数列, 偶数项是首项为 2 的等比数列. 设数列

?an ? 的前 n 项和为 S n , 且满足 a4 ? S3 ,a9 ? a3 ? a4 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 ak ak ?1 ? ak ?2 , 求正整数 k 的值; (3)是否存在正整数 k ,使得

S2k 恰好为数列 ?an ? 的一项?若存在,求出所有满足条 S 2 k ?1

件的正整数 k ;若不存在,请说明理由. 虹口区高三模拟数学试卷 第5页

虹口区 2016 年高考模拟数学试卷 参考答案与评分标准
2016 年 4 月
一、填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,满分 56 分) 1. ?0,1? 5. ?3, ?2,1, 5? 9. 64 13. (理) 2. 3 3.125 4. 2 8. ? x x ? 2k? ?

6.

9 2

7.

3 2
2 2

? ?

? ? ,k ?Z? 3 ?

10. 64 ?

11.

12. x ?

5 y ?1 ? 0 2

2 ; (文) ?1, 3? 3

14. (理) ??, 8 ? 4 2 ? ; (文)4

?

?

二、选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,满分 20 分) 15. A 16. C 17. D 18. B

三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分) 19.(本题满分 12 分) 本题共 2 个小题,每小题 6 分.

解: ?1?因 sin A ? sin 2 B ? sin(

?
4

4 1 ? 1 1 ? sin 2 B ? sin( ? 2 B) ? sin 2 B ? cos 2 B ? 2 2 2 2

? B) sin(

?
4

? B) ? sin 2 B ? sin(

?

? B) cos(

?
4

? B)

?? 4分
??6 分

故由 ?ABC 为锐角三角形,得 A ?

?
6

.

(2)由(1)知 cos A ? 故 bc ? 8 3. 从而 S ?ABC ?

??? ? ??? ? 3 3 , 由已知,有 12 ? AB ? AC ? cb ? cos A ? bc, 2 2
??9 分

1 1 1 bc ? sin A ? ? 8 3 ? ? 2 3. 2 2 2

??12 分

20.(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题,每小题 7 分. (理)解:(1)以 {AB, AD, AP} 为正交基底建立空间

z P Q

(2,0,0) 直角坐标系 A ? xyz ,则相关点的坐标为 B ,

C (2,1,0), D(0, 2,0), P(0,0, 2).

??2 分

A C

? 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z), 由
虹口区高三模拟数学试卷

D y

x B
第6页

(第20题解答图)

???? ??? ? ??? ? DC ? (2, ?1, 0), DP ? (0, ?2, 2), DA ? (0, ?2,0). 则
? ì x , ? y= 2 令 x ? 1 ,则 n ? (1, 2, 2) . ? ? - 2 y + 2z = 0 ? ? z = 2 x. ??? ? ? DA× n (0, - 2, 0) ?(1, 2, 2) 4 所以点 A 到平面 PCD 的距离为: d = = = . ? (1, 2, 2) 3 n
2x - y = 0
??? ? ??? ? ??? ?

? ???? ì ? ? n ?DC ? ??? ? 眄 镲 ? ? n ?DP

??5 分

??7 分

(2) 由条件,得 Q = (1, 0,1), AD ? (0, 2, 0), AQ ? (1, 0, 1), 且 CQ = (- 1, - 1, 1). ? ??? ? ? ì ? ì n ? AD 2 y0 = 0 ? y0 = 0, 0 ? 设平面 ADQ 的法向量为 n 0 ? ( x0 , y0 , z0 ), 则 镲 ? ? ??? ? 眄 镲 ? z0 = - x0 . ? ? n 0 ?AQ x0 + z0 = 0 ? 令 x0 ? 1 ,则 n 0 ? (1,0, ?1) . 设直线 CQ 与平面 ADQ 所成角为 ? , 则
??? ? ?? ? CQ ? n0 ??? ? ?? ? sin ? ? cos ? CQ, n0 ? ? ??? ? ?? ? ? CQ n0 2 6 ? . 3 3? 2

?

??10 分

故直线 CQ 与平面 ADQ 所成角的大小为 arc sin 注:第(1)小题也可用等积法来做.

6 . 3

??14 分

(文)解: (1)由已知,有 BC / / AD, AD ? 面PAB, 故 BC 与 PC 所成的角 ?PCB 等于 AD 与 PC 所成的角, 且 BC ? PB. 因 BC ? 1, 易知 PB ? 2 2 , 故
PC tan ?PCB ? ?2 2. BC

P

??3 分

A B C
(第20题图)

D

故异面直线 BC 与 PC 所成角的大小为 arc tan 2 2 . ?7 分

(2) VP ? ABCD ?

1 S ? AP 3 梯形ABCD 1 1 1 1 ? ? ( AD ? BC ) ? AB ? AP ? ? (2 ? 1) ? 2 ? 2 ? 2. 3 2 3 2

?10分
CD2 ? PC 2 ? PD 2 5 ? ; 2CD ? PC 5
??12 分

容易求得:PD ? 2 2 , CD ? 5, PC ? 3, 故由余弦定理, 得 cos ?PCD ? 从而

S?PCD ?

1 1 2 5 CD ? PC ? sin ?PCD ? ? 3 ? 5 ? ? 3. 2 2 5
因此 第7页

又 S?PAB ? S?PAD ? 2, S?PBC ? 2,

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S四棱锥P? ABCD侧面积 =S?PAB +S?PAD +S?PBC +S?PCD ? 7 ? 2.

??14 分

21.(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题,每小题 7 分. 解: (1)由 f (?2) ? log 1

1 ? 2a 1 ? 2a 1 ? 1, 得 ? ? , 解得 a ? ?1. 3 3 3 ?2 ? 1

??3 分

于是 f ( x) ? log 1 ?

? x ? 1 ? 其定义域为 D ? (??, ?1) ? (1, ??). ?, 3 ? x ?1 ?

??4 分

对于任意的 x ? (??, ?1) ? (1, ??), 有

? x ?1 ? ? ?x ?1 ? ? x ?1 ?x ?1 ? f ( x)+f (? x) ? log 1 ? ? ? ? log 1 ? ? ? log 1 ? ? ? log 1 1 ? 0, x ? 1 ? x ? 1 x ? 1 ? x ? 1 ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3
故 f ( x) 为奇函数. (2)由 f ( x) ? ? ??7 分

?1? ?1? ? ? t ,得 t ? f ( x) ? ? ? 在? 2,3? 恒成立. ?2? ?2?

x

x



x ?1 2 在 (??, ?1) 及 (1, ??) 上均递减,且 g (u) ? log 1 u 在 (0, ??) 上也递减, ? 1? x ?1 x ?1 3
??10 分
x

故函数 f ( x ) 在区间 (??, ?1)及(1, ??) 均单调递增.
x

?1? ?1? 由 f ( x ) 及 y ? ? ? ? 在区间 ? 2, 3? 均单调递增,知 ? ( x) ? f ( x) ? ? ? 在? 2,3? 单 2 ? ? ?2?

调递增, 故 ? ( x)min ? ? (2) ? f (2) ? ? 因此,实数 t 的取值范围为 ( ??, ?

??12 分

5 ?1? ? ?? . 4 ?2?
??14 分

2

5 ). 4

22. (本题满分 16 分) 本题共 3 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 6 分.

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第8页

?a ? 1 ?a ? 1, ? ?? 解: (1)由已知,得 ? b 故双曲线 C 的方程为 ? 2 ?b ? 2, ? ?a
???? ? ? AM ? (m ?1, n) 为直线 AM 的一个方向向量,
? 直线 AM 的方程为

x2 ?

y2 ? 1. 4

??3 分

x ?1 y n ? , 它与 y 轴的交点为 P(0, ). m ?1 n 1? m

??5 分

???? (2)由条件,得 N (?m, n), 且 AN ? (?m ?1, n) 为直线 AN 的一个方向向量,
故直线 AN 的方程为

n x ?1 y ). ? , 它与 y 轴的交点为 Q (0, ?m ? 1 n 1? m

??7 分

假设在 x 轴上存在定点 T ( x0 , 0) ,使得 TP ? TQ ,则

??? 由 TP ? ( ? x0 ,

??? ? n n n2 ), TQ ? (? x0 , ? ), 及 m 2 ? ? 1, 得 m ?1 m ?1 4 ? ? ? ? ? ?? n n n2 2 2 T P? T Q ?( ? 0 x , )( ?? x0 , ? ) ? x0 ? 2 ? x0 ? m ?1 m ?1 m ?1

n2 2 ? x0 ? 4 ? 0. 2 n (1 ? ) ? 1 4
??10 分

故 x0 ? ?2, 即存在定点 T ,其坐标为 (2, 0) 或 (?2, 0), 满足题设条件.

??? ? ??? ? ??? ? (3) 由 OR ? OS ? RS 知,以 OR、OS 为邻边的平行四边形的对角线的长相等,故此四

??? ? ??? ? 边形为矩形,从而 OR ? OS.
由已知,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, 并设 R( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 ),

??12 分

? y ? kx ? 2, 则由 ? ? 2 y2 ? 1, ?x ? ? 4



(k 2 ? 4) x2 ? 4kx ? 8 ? 0.

由 ? ? 16k 2 ? 32(k 2 ? 4) ? 16(8 ? k 2 ) ? 0, 及 k 2 ? 4 ? 0, 得 k 2 ? 8 且 k 2 ? 4 由 x1 ? x2 ? ?

(*)

4k 8 , x1 x2 ? 2 , y1 y2 ? (k x1 ? 2)(k x2 ? 2), k ?4 k ?4
2

??14 分

??? ? ??? ? 8(k 2 ? 1) 8k 2 4(k 2 ? 2) 得 OR ? OS ? x1 x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 ? 2 ?4? 2 ?0 k ?4 k ?4 k ?4
故 k 2 ? 2, 符合约束条件(*). 因此,所求直线 l 的方程为 y ? ? 2 x ? 2. ??16 分

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第9页

23.(理) (本题满分 18 分) 本题共 3 个小题,每小题 6 分. 解: (1)当 n ? 1 时, ( S1 ? 1) 2 ? a1S1 ? S12 ? S1 ?

1 ; 2

1 2 当 n ? 2 时, ( S 2 ? 1) 2 ? a2 S 2 ? ( S 2 ? ) S 2 ? S 2 ? ; 2 3 2 3 当 n ? 3 时, ( S3 ? 1) 2 ? a3 S3 ? ( S3 ? ) S3 ? S3 ? . 3 4
由此,猜测: 下面用数学归纳法证明: (i)当 n ? 1 时,结论显然成立; (ii)假设当 n ? k (k ? N ? ) 时, S k ? ??2 分

Sn ?

n ( n ? N ? ). n ?1

k ;则当 n ? k ? 1时,由条件,得 k ?1

(Sk ?1 ? 1)2 ? ak ?1Sk ?1 ? (Sk ?1 ? Sk )Sk ?1 ? Sk ?1 ?
即当 n ? k ? 1时,结论也成立.

k k k ?1 ? ? . 2 ? Sk 2 ? k k ?2 k ?1

? 于是,由(i) , (ii)可知,对任意的 n ? N , 均有 S n ?

n . n ?1

??4 分

1 1 n n ?1 1 , ? ? . 又 a1 ? S1 ? ? 2 1? 2 n ?1 n n(n ? 1) 1 ? 于是数列 ?an ? 的通项公式为: an ? n(n ? 1) (n ? N ). ??6 分
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (2)因 bn ? (?1)n ?1 (n ? 1)2 ? an an ?1 ? (?1) n ?1 ? 当 n 为奇数时,
Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? ) ? 2? 3 2 4 3 5 4 6 n ?1 n ? 1 n n?2 ? ? ?? 分
1 1 1 1 ? (?1) n ?1 ? ( ? ), ??8 分 n(n ? 2) 2 n n?2

? 1 1 1 1 1 ?1 1 (1 ? ? ? )? ? ? ? 2 2 n ?1 n ? 2 2 ? 2 (n ? 1)(n ? 2) ? ?

当 n 为偶数时,
Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? ) 2? 3 2 4 3 5 4 6 n ? 1 n ? 1 n n ? 2 ? ? ?

? 1 1 1 1 1 ?1 1 ? (1 ? ? ? )? ? ? . 2 2 n ? 1 n ? 2 2 ? 2 (n ? 1)(n ? 2) ? ?

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第 10 页

?1 ?1 ? 1 ? ? ? ?, 2 ? 2 (n ? 1)( n ? 2) ? 故T ? ? ? n ? 1 ?1 ?1 ? ?, ?2 ? 2 ( n ? 1)( n ? 2) ? ? ?

(当n为奇数) = (当n为偶数)

? 1 ?1 (?1) n ? . ? 2 ? 2 (n ? 1)( n ? 2) ? ?

??12 分

(3)因 cn ? ( n ? 1) ? an ? 公比为 q, 则
因q ? Q ? , 且q ? 1, d1 ?

1 , 由于数列 ?c ? 的 m(m ? 3) 项子列 ?d ? 构成等比数列,设其 n n n

d1 ? d2 ? d3 ? ?? dm ? d1 (1 ? q ? q2 ? ?? qm?1 ).
1 v (a ? N ? ), 设 q ? (u , v ? N ? , u ? 2, 且u , v互质). a u 1 1 ? , 故 u 2

(i)当 v ? 1 时,因 q ?

1 1 1 1 d1 ? d 2 ? d3 ? ? ? d m ? d1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q m?1 ) ? 1 ? ? 2 ? ? ? m?1 ? 2 ? m?1 . 2 2 2 2
(ii)当 v ? 1 时,因 d m ? d1q m ?1 ?
从而

??15 分

1 v m ?1 m?1 ? ? 是数列 ?cn ? 中的项,故 a ? v ? a?(a? ? N ). a u m ?1 d1 ? d 2 ? d 3 ? ? ? d m ? d1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q m ?1 ) 1 1 1 1 1 1 ? ( m ?1 ? m ? 2 ? m ?3 2 ? ? ? m ? 2 ? m ?1 ) a? v v u v u vu u 1 1 1 1 1 ? m ?1 ? m ? 2 ? m ?3 2 ? ? ? m ? 2 ? m ?1 v v u v u vu u 1 1 1 1 1 ? m ?1 ? m ? 2 ? m ?3 2 ? ? ? ? 2 2 ?3 2 ?3 2 ? 3m ? 2 3m ?1 1 ? 2 ? 1 ? ( )m ? 2m ?1 ? 3 ? ? ? 3 ? 2 ? 2 ? 1 (? m ? 3). ? 2 2m ?1 3m ?1 2m ?1 1? 3

综合(i) , (ii) ,得:在数列 ?cn ? 中的所有 m(m ? 3) 项等比子数列 ?dn ? 中,其和最大

1 1 1 1 的是: 1, , 2 , ?, m ?1 . 故由题意知: M 的最小值为 2 ? m ?1 . 2 2 2 2
另解(3) :因 cn ? ( n ? 1) ? an ? 设其公比为 q, 则
因q ? Q ? , 且q ? 1, d1 ?

??18 分

1 , n 由于数列 ?cn ? 的 m(m ? 3) 项子列 ?dn ? 构成等比数列,

d1 ? d2 ? d3 ? ?? dm ? d1 (1 ? q ? q2 ? ?? qm?1 ).
1 (a ? N ? ). a 1 , 故 2

(i)当 a ? 1 时,因 q ?

1 1 1 1 d1 ? d 2 ? d3 ? ? ? d m ? 1 ? q ? q 2 ? ? ? q m?1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? m?1 ? 2 ? m?1 . 2 2 2 2

??15 分

虹口区高三模拟数学试卷

第 11 页

1 (ii)当 a ? 2 时,因 q ? a ? 1 ? a , 故 1 a ?1 a
d1 ? d 2 ? d3 ? ? ? d m ? 3 1 ? 2 ? m?1 (? m ? 3). 2 2 1 1 1 1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q m?1 ) ? ? ? 1? a a 1? a a a ?1

?

综合(i) , (ii) ,得:在数列 ?cn ? 中的所有 m(m ? 3) 项等比子数列 ?dn ? 中,其和最大

1 1 1 1 的是: 1, , 2 , ?, m ?1 . 故由题意知: M 的最小值为 2 ? m ?1 . 2 2 2 2
23.(文)本题共 3 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 8 分.

??18 分

解: (1)设 ?an ? 的奇数项构成的等差数列的公差为 d , 偶数项构成的等比数列的公比为 q, 则 a2n?1 ? 1 ? (n ?1)d , a2n ? 2qn?1. 由已知,得 ?

?2q ? (2 ? d ) ? 2 ?d ? 2, ?? ?1 ? 4d ? (1 ? d ) ? 2q ?q ? 3.

??3 分

(当n为奇数) ? n, ? an ? ? . n?2 故数列 ?an ? 的通项公式为: ?2 ? 3 2 , (当n为偶数) ?

??5 分
k ?1 2

(2)当 k 为奇数时,由 ak ak ?1 ? ak ?2 , 得 k ? 2 ? 3 由于 3
k ?1 2

k ?1 2

?k ?2?3

?

k ?2 . 2k
??7 分

? N ?,而

k ?2 仅在k ? 2时为正整数,与k 为奇数矛盾! 2k
k ?2 2

当 k 为偶数时,由 ak ak ?1 ? ak ?2 , 得 2 ? 3 综上,得 k ? 2.

( ? k +1 ) ? 2 ? 3 2 ? k ? 2.
??10 分

k

2 k ?1 k 2 (3)由(1)可求得 S2k ? ?1? 3 ? ?? (2k ?1)? ? 2(1? 3 ? 3 ? ?? 3 ) ? 3 ? k ?1,

S2k ?1 ? S2k ? a2k ? 3k ?1 ? k 2 ?1.

m? 2 S2k 为数列 ?an ? 中的一项,则 S2k ? m(m为正奇数),或 S2k ? 2 ? 3 2 (m为正偶数). S 2 k ?1 S2 k ?1 S2 k ?1

??13 分

虹口区高三模拟数学试卷

第 12 页

(i)若

3k ? k 2 ? 1 S2 k ? m ? (3 ? m)3k ?1 ? (m ? 1)(k 2 ? 1). ? m(m为正奇数) ,则 k ?1 3 ? k 2 ?1 S2 k ?1

当 k ? 1 时, m ? 3 ,结论成立; 当 k ? 1 时,

3k ?1 m ?1 3k ?1 m ?1 由 ? , ? 0, 得 ? 0, 解得1 ? m ? 3, 2 2 k ?1 3 ? m k ?1 3? m
??15 分

由于 m 为正奇数,故此时满足条件的正整数 k 不存在.
m? 2 S2 k ? 2 ? 3 2 (m为正偶数), 显然 k ? 1 ,则 S2k ?1

(ii)若

m?2 m?2 m?2 3k ? k 2 ? 1 3k ?1 2 ? 3 2 ?1 k ?1 2 2 2 2 ? 2 ? 3 ? (3 ? 2 ? 3 )3 ? ( k ? 1)(2 ? 3 ? 1) ? ? . m?2 3k ?1 ? k 2 ? 1 k 2 ?1 2 3 ? 2?3 m?2 3k ?1 2 ? 3 2 ?1 2 由 k ? 1得 2 ? 0, 得 ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3. m?2 k ?1 2 3 ? 2?3 m?2

m?2

由m为正偶数, 得2 ? 3

m? 2 2

因此 2 ? 3 为正偶数,

m? 2 2

? 2 ,从而

3k ?1 ? 1 ? 3k ?1 ? k 2 ? 1. 2 k ?1

当 k ? 2 时, 3k ?1 ? k 2 ?1 ;下面用数学归纳法证明:当 k ? 3 时, 3k ?1 ? k 2 ?1.
① 当 k ? 3 时,显然 3k ?1 ? k 2 ?1 ; ② 假设当 k ? l ? 3 时,有 3l ?1 ? l 2 ?1 ;当 k ? l ? 1时,

由 l ? 3得

2 2 2 3(l 2 ? 1) ? ? ?(l ? 1) ? 1? ? ? (l ? 1) ? (l ? 4) ? 0 , 故

3(l ?1)?1 ? 3 ? 3 l ?1? 3(l 2 ? 1) ? (l ? 1) 2 ? 1.
即 当 k ? l ? 1时, 结论成立. 由①,②知: 当 k ? 3 时, 3k ?1 ? k 2 ?1. 综合(i) , (ii)得:存在两个正整数 k , k ? 1 或 2,使

S2k 为数列 ?an ? 中的项. S 2 k ?1
??18 分

虹口区高三模拟数学试卷

第 13 页


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