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1.3.2全集与补集 课件(北师大必修1)

时间:2013-03-19


第一章





3.2 全集与补集

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学习目标

重点难点
重点:集合的交、并、补的混合运算. 难点:集合交、并、补的区别及Venn图的 使用.

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新知初探·思维启动
1.全集

在研究某些集合的时候,这些集合往往是某
个给定集合的子集,这个给定的集合叫作 全集 ________,常用字母______表示.全集含有 U 我们所要研究的这些集合的全部元素. 2.补集

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设U是全集,A是U的一个子集(即A?U), 不属于A 文字 则由U中所有______________的元素组 语言 成的集合,叫作U中子集A的补集(或余 ?UA 集),记作_________.
符号 {x|x∈U,且x?A} ?UA=____________________. 语言 图形 语言

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想一想 若a∈N,但a?N+,则a会等于什么? 提示:a∈?NN+,即a=0.

做一做
1.设集合U={2,3,4,5,6},?UA={3,5},则A= ________. 解析:由于?UA={x|x∈U,且x?A}, 所以A={2,4,6}.

答案:{2,4,6}

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3.补集的性质
? (1)?UU=_________; U (2)?U?=__________; U (3)A∪(?UA)=_________; (4)A∩(?UA)=_________; ? A (5)?U(?UA)=_________; ?U(A∩B) (6)(?UA)∪(?UB)=________________; ?U(A∪B) (7)(?UA)∩(?UB)=__________________.

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做一做 2.若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则 ?U(M∪N)是( )

A.{1,2,3}
C.{1,3,4}

B.{2}
D.{4}

解析:选D.M∪N={1,2,3}, ?U(M∪N)={4}.

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典题例证·技法归纳
题型探究 题型一
例1

补集的概念及简单运算

(1)(2011· 高考江西卷)若全集U=

{1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合

{5,6}等于(
A.M∪N

)
B.M∩N D.(?UM)∩(?UN)
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C.(?UM)∪(?UN)

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(2)(2010· 高考陕西卷)集合A={x|-1≤x≤2},
B={x|x<1},则A∩(?RB)=( A.{x|x>1} C.{x|1<x≤2} 【解析】 ) B.{x|x≥1} D.{x|1≤x≤2} (1) ∵ ? UM = {1,4,5,6} , ? UN =

{2,3,5,6},∴(?UM)∩(?UN)={5,6},∴选D. (2)因为B={x|x<1},所以?RB={x|x≥1},所 以A∩(?RB)={x|1≤x≤2}.

【答案】

(1)D

(2)D
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【名师点睛】

(1)在解答有关集合补集运算

时,如果所给集合是无限集,则常借助于数 轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上, 然后再根据补集的定义求解,这样处理比较 形象直观,解答过程中注意边界问题. (2)如果所给集合是有限集,则先把集合中的 元素一一列举出来,然后结合补集的定义来 求解,另外针对此类问题,在解答过程中也

常常借助于Venn图来求解.
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这样处理起来,相对来说比较直观、形象且
解答时不易出错. 变式训练 1.已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3}, 则?UM=( ) B.{x|-1≤x≤3} A.{x|-1<x<3}

C.{x|x<-1或x>3} D.{x|x≤-1或x≥3} 解析:选C.?UM={x|x∈R且x?M}={x|x<-1

或x>3},故选C.
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题型二
综合运算

集合的交集、并集、补集的

高考大纲全国卷Ⅱ)设全集U 例2 (1)(2010·
={x∈N+|x<6},集合A={1,3},B={3,5}, 则?U(A∪B)=( A.{1,4} C.{2,4} ) B.{1,5} D.{2,5}

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(2)设全集为R,A={x|3≤x<7},B=
{x|2<x<10},求?R(A∪B)及(?RA)∩B. (1)【解析】 ∵U={1,2,3,4,5},

A={1,3},B={3,5}, ∴A∪B={1,3,5}.

∴?U(A∪B)={x|x∈U且x?A∪B}={2,4}.
故选C. 【答案】 C

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(2)【解】把集合A、B在数轴上表示如下:
由图知,A∪B={x|2<x<10}, ∴?R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}. ∵?RA={x|x<3或x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}. 【思维升华】 (?UA)∩(?UB). 求? U(A∪B)时,可以化为

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变式训练
2.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2- 3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合 ?U(A∪B)中元素的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

解析:选B.∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
B = {x|x = 2a , a ∈ A} = {2,4} , ∴ A ∪ B = {1,2,4},∴?U(A∪B)={3,5}.

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题型三
参数

由集合的交、并、补求字母

例3 (本题满分12分)已知全集U={1,2,3,4,5}, A={x|x2-5x+m=0},B={x|x2+nx+12= 0},且(?UA)∪B={1,3,4,5},求m+n的值. 【思路点拨】 入手点:由(?UA)∪B=

{1,3,4,5}可得2∈A.而A,B表示方程的解集,

由此可求m和n的值.

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【解】

∵ U = {1,2,3,4,5} , ( ? UA) ∪ B =
2分

{1,3,4,5},∴2∈A,

又A:{x|x2-5x+m=0}, ∴2是关于x的方程x2-5x+m=0的一个根, 得m=6且A={2,3}.?6分

而(?UA)∪B={1,3,4,5}.
∴3∈B,又B={x|x2+nx+12=0}. ∴3是关于x的方程x2+nx+12=0的一个根,

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得n=-7.

10分

∴m+n=-1.
名师微博

12分

理解其运算含义是本题的灵魂. 【满分警示】 此题的解答逻辑性较强,即

2∈A→m=6→?UA→3∈B→n.环环相扣,不

可倒置.

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变式训练
3.(2010· 高考重庆卷)设U={0,1,2,3},A= {x∈U|x2 +mx=0},若? UA={1,2},则实数 m=________. 解析:∵? UA={1,2},∴A={0,3},∴0,3是

方程x2+mx=0的两根,∴m=-3.
答案:-3

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备选例题
1.设I为全集,M、N、P都是它的子集,则 图中阴影部分表示的集合是( )

A.M∩[(?IN)∩P]
B.M∩(N∪P) C.[(?IM)∩(?IN)]∩P D.M∩N∪(N∩P)

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解析:选A.法一:阴影部分在集合M内部,
排除C;阴影部分不在集合N内,排除B、D.

法二:阴影部分在集合M内部,即是M的子
集,又阴影部分在集合P内不在集合N内, 即在(?IN)∩P内,所以阴影部分表示的集合 是M∩[(?IN)∩P].

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2 . 已 知 集 合 A = {x|2a - 2<x<a} , B =
{x|1<x<2},且A ?RB,求a的取值范围.

解:?RB={x|x≤1或x≥2}≠?.
∵A ?RB,

∴分A=?和A≠?两种情况讨论. ①若A=?,此时有2a-2≥a,∴a≥2.

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?2a-2<a, ? ②若 A≠?,则有? ? ?a≤1, ?2a-2<a, ? 或? ∴a≤1. ? ?2a-2≥2,

综上所述,a≤1 或 a≥2.

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方法感悟
方法技巧
1.全集是相对于所研究问题而言的,求一 个集合的补集离不开全集,任何一个元素一 定是全集中的元素. 2.Venn图直观形象,要使用好Venn图,特 别是有限集合的补集运算,如对集合A,B 而言,有下图.

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用好此图,在解题中能起到事半功倍的效果. 3.利用补集思想,采用“正难则反”的解题 策略.

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失误防范
区分“且”“或”与补集的关系, “且”求补 集变为“或”,“或”求补集变为“且”.如 3? ? 如 A=?a|a≤-1或a≥ ?,则 2? ? 3? ? ?RA=?a|-1<a< ?. 2? ?

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知能演练·轻松闯关

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