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广东省深圳市2009年高三年级第一次调研考试理科数学试题2009.3


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2009 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准

明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可 视影响的程度决定给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后续部分的解答有较严重 的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 D 9. n ? 20 . 13. 1 ? b ? 2 C 3 D 4 C 5 A 6 B 7 B 8 A

二、填空题:本大题每小题 5 分(第 12 题前空 2 分,后空 3 分),满分 30 分. 10.

?5 2



11. 0 ? a ? 1 . 15. a ? 4或a ? ?2 .

12. 1 ; 1 .

2.

14. 15 .

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 (sin 2 x ? cos2 x) ? 2 sin x cos x .学科网

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)设 x ? [?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间.学科 3 3

2 2 网【解】 (Ⅰ)∵ 学科网 f ( x) ? ? 3 (cos x ? sin x) ? 2 sin x cos x ? ? 3 cos 2 x ? sin 2 x

? ?2 sin(2 x ?

?
3

).

…………………… 3 分 ………………… 5 分

? f (x) 的最小正周期为 ? .
(Ⅱ)∵ x ? [?

? ?
3 3 ,

] , ??

?
3

? 2x ?

?
3

?? ,

??

3 ? ? s i n2(x ? ) ? 1 . 2 3
……………… 10 分

? f (x) 的值域为 [?2, 3 ] .

? ?当 y ? sin(2 x ? ) 递减时, f ( x) 递增. 3 ? ? ? ? ? ? 2 x ? ? ? ,即 ? x ? . 2 3 12 3
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故 f ( x) 的递增区间为 ?

?? ? ? , ?. ?12 3 ?

……………………12 分

17. (本小题满分 12 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 和圆 O 所在的平面互相垂 直.已知 AB ? 2 , EF ? 1 . (Ⅰ)求证:平面 DAF ? 平面 CBF ; C (Ⅱ)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (Ⅲ)当 AD 的长为何值时,二面角 D ? FE ? B 的大小为 60 ?
?

E ?CB ? 平面 ABEF . O H ? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB , F 又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , A M ? AF ? 平面 CBF . …………4 分 ? AF ? 平面 ADF ,?平面 DAF ? 平面 CBF . (Ⅱ)根据(Ⅰ)的证明,有 AF ? 平面 CBF ,? FB 为 AB 在 平面 CBF 上的射影, 因此, ?ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角. ………………………5 分 ? AB // EF ,?四边形 ABEF 为等腰梯形, 过点 F 作 FH ? AB ,交 AB 于 H . AB ? EF 1 ? . AB ? 2 , EF ? 1 ,则 AH ? 2 2

【解】 (Ⅰ)证明:?平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,

D

B

.

在 Rt?AFB 中,根据射影定理 AF ? AH ? AB ,得 AF ? 1 .
2

…………7 分

sin ?ABF ?

AF 1 ? ,? ?ABF ? 30 ? . AB 2
…………8 分

?直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30 ? .

(Ⅲ)设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA 、 OG 、 AD 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向建立空 间直角坐标系(如图)设 AD ? t (t ? 0) ,则点 D 的坐标为 (1, 0, t ) 设平面 DEF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 n1 ? DF ? 0 , n1 ? DE ? 0 .

?? 1 x ? 23 y ? tz ? 0, ? 2 即? 3 y ? tz ? 0. ?? 3 x ? 2 2 ?
? n1 ? (0, 2t , 3 )

令 z ? 3 ,解得 x ? 0, y ? 2t

………………10 分

? 取平面 BEF 的一个法向量为 n2 ? (0, 0, 1) ,依题意 n1 与 n 2 的夹角为 60

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? cos 60 ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

,即

1 0?0? 3 3 ? , 解得 t ? ? (负值舍去) 2 2 2 4t ? 3 ? 1
开始

因此,当 AD 的长为

3 时,二面角 D ? FE ? B 的大小为 60 ? .………12 分 2

18. (本小题满分 14 分) 甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分, 负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满

n ? 0, S ? 0, T ? 0
输入 a, b

1 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p ( p ? ) , 2
且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛 停止的概率为

S ? S ? a, T ? T ? b
M ? S ?T

5 . 9

若右图为统计这次比赛的局数 n 和甲、乙的总得 分数 S 、 T 的程序框图.其中如果甲获胜,输入 a ? 1 ,

n ? n ?1
Y

b ? 0 ;如果乙获胜,则输入 a ? 0, b ? 1 .
(Ⅰ)在右图中,第一、第二两个判断框应分别填 写什么条件? (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量

?
N N

?
Y
输出 n, S , T 结束

? 的分布列和数学期望 E? .
18.【解】 (Ⅰ)程序框图中的第一个条件框应填 M ? 2 ,第二个应填 n ? 6 . 注意:答案不唯一.

……… 4 分

如:第一个条件框填 M ? 1,第二个条件框填 n ? 5 ,或者第一、第二条件互换.都可以. (Ⅱ)依题意,当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛结束.

?有 p 2 ? (1 ? p) 2 ?
解得 p ?

5 . 9
………………………6 分

2 1 或p? . 3 3 ?p? 2 . 3

?p?

(Ⅲ)依题意知,依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

1 , 2

………… 7 分 ………… 8 分

5 . 9

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若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否 停止没有影响. 从而有 P(? ? 2) ? 5 , 9

5 5 20 5 5 16 , P(? ? 6) ? (1 ? )(1 ? ) ? 1 ? . P(? ? 4) ? (1 ? )( ) ? 9 9 81 9 9 81
………… 12 分 2 4 6

?随机变量 ? 的分布列为:
?
P

5 9

20 81

16 81
……………… 14 分

5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
19. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? ax) ? x ( a ? 0 , x ? (0, 1] ) .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

1 2 ? ? ? ln(1 ? ) 对一切正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围. 2 n n a 【解】 (Ⅰ) f ?( x) ? ………………… 2 分 ? 2x 1 ? ax
(Ⅱ)若不等式

?

? 2ax 2 ? 2 x ? a , 1 ? ax
? 1 ? 2a 2 ? 1 . 2a

2 由 ? 2ax ? 2 x ? a ? 0 ,得 x ?

? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 0, ? 0. ? a ? 0 ,? 2a 2a
又?

? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 2a

a 2a 2 ? 1 ? 1

? 1.

?函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,
(Ⅱ) 【法一】不等式 令

2a 2 ? 1 ? 1 2a 2 ? 1 ? 1 ) ,递减区间为 ( , 1) . ………… 6 分 2a 2a

1 2 2 1 ? ? ? ln(1 ? ) ,即为 ? ? ln(1 ? ) ? 2 .……………(※) 2 n n n n

1 ? x ,当 n ? N ? 时, x ? (0, 1] . n
2

则不等式(※)即为 ? ? ln(1 ? 2 x) ? x .

…………………9 分

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令 g ( x) ? ln(1 ? 2 x) ? x , x ? (0,1] ,
2

?在 f (x) 的表达式中,当 a ? 2 时, f (x) ? g (x) ,
又? a ? 2 时,

? 1 ? 2a 2 ? 1 1 ? , 2a 2

1 1 ? g (x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , 1) 单调递减. 2 2 1 1 1 …………………12 分 g (x) 在 x ? 时,取得最大,最大值为 g ( ) ? ln 2 ? . 2 2 4 2 1 1 因此,对一切正整数 n ,当 n ? 2 时, ln(1 ? ) ? 2 取得最大值 ln 2 ? . n n 4 1 ………………………… 14 分 ?实数 ? 的取值范围是 ? ? ln 2 ? . 4 1 2 2 1 【法二】不等式 2 ? ? ? ln(1 ? ) ,即为 ? ? ln(1 ? ) ? 2 .………………(※) n n n n 2 1 设 g ( x) ? ln(1 ? ) ? 2 ( x ? 1) , x x
2 2 2 ? 2x 2 ? 2x ? 4 , g ?( x) ? x 2 ? 3 ? 1? x x x 3 ( x ? 2) ?
令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 2 . ………………………… 10 分

?当 x ? (1, 2) 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? (2, ? ?) 时, g ?( x) ? 0 .
1 ?当 x ? 2 时, g (x) 取得最大值 ln 2 ? . 4 1 因此,实数 ? 的取值范围是 ? ? ln 2 ? . 4
20. (本题满分 14 分) 在四边形 ABCD 中,已知 A(0,0), D(0, 4) ,点 B 在 x 轴上, BC // AD ,且对角线 AC ? BD . (Ⅰ) 求点 C 的轨迹 T 的方程; (Ⅱ)若点 P 是直线 y ? 2 x ? 5 上任意一点,过点 P 作点 C 的轨迹 T 的两切线 PA 、 PB , A 、 B 为切 点, M 为 AB 的中点.求证: PM // y 轴或 PM 与 y 轴重合; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,直线 AB 是否恒过一定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不是,请说明 理由. 【解】 (Ⅰ)如图,设点 C 的坐标为 ( x, y ) ( x ? 0, y ? 0) ,

………………………… 14 分

y
D

???? ??? ? 则 B( x, 0), AC ? ( x, y ), BD ? (? x, 4) , O

C
O A

???? ??? ? 1 ? AC ? BD ,? x ? (? x) ? y ? 4 ? 0 ,即 y ? x 2 (x ? 0). 4
第 11 页 共 14 页

B

x

∴所求的轨迹 T 是除去顶点的抛物线 ……………… 3 分
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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1 2 1 x 求导得, y? ? x . 4 2 1 2 1 1 1 设切点坐标为 ( x0 , x0 ) , 则过该切点的切线的斜率是 x0 , 该切线方程是 y ? x0 2 ? x0 ( x ? x0 ) . 4 2 4 2 又设点 P 的坐标为 (t , 2t ? 5) , 1 2 1 ?切线过点 P ,?有 2t ? 5 ? x0 ? x0 (t ? x0 ) , 4 2 2 化简,得 x0 ? 2tx0 ? 8t ? 20 ? 0 . …………………………6 分 1 1 2 设 A 、B 两点的坐标分别为 ( x1 , x12 ) 、( x2 , x2 2 ) , x1 、x2 为方程 x ? 2tx ? 8t ? 20 ? 0 的两根, 则 4 4 x1 ? x2 ? 2t , x1 x2 ? 8t ? 20 . x ?x ? xM ? 1 2 ? t 2
(解法一)(Ⅱ)对函数 y ? 因此,当 t ? 0 时,直线 PM 与 y 轴重合,当 t ? 0 时,直线 PM 与 y 轴平行 (Ⅲ) ? yM ? …………9 分

1 1 2 1 2 1 1 1 ( x1 ? x2 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? [4t 2 ? 2(8t ? 20)] ? t 2 ? 2t ? 5 . 2 4 4 8 8 2 1 ?点 M 的坐标为 (t , t 2 ? 2t ? 5) . 2 2 1 x ? 1 x2 2 1 1 1 4 ? ( x1 ? x2 ) ? ? 2t ? t . 又? k AB ? 4 1 x1 ? x2 4 4 2 1 1 ?直线 AB 的方程为: y ? ( t 2 ? 2t ? 5) ? t ( x ? t ) ,即 t ( x ? 4) ? 10 ? 2 y ? 0 .………( ? ) 2 2 ?当 x ? 4, y ? 5 时,方程( ? )恒成立, …………………………14 分 ?对任意实数 t ,直线 AB 恒过定点,定点坐标为 (4, 5) .
(解法二)(Ⅱ)设点 P 的坐标为 (t , 2t ? 5) ,利用切点弦直线方程的结论可得出直线 AB 的方程为

y ? (2t ? 5) 1 1 ? tx ,即 y ? tx ? 2t ? 5 2 4 2
? y ? 1 tx ? 2t ? 5, 2 ? 2 由? 得 x ? 2tx ? 8t ? 20 ? 0 . 1 2 ?y ? x . 4 ?

…………………………7 分

? x1 ? x2 ? 2t , x1 x2 ? 8t ? 20 . x ?x ? xM ? 1 2 ? t . 2
因此,当 t ? 0 时,直线 PM 与 y 轴重合,当 t ? 0 时,直线 PM 与 y 轴平行. (Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直线 AB 的方程为 y ? 后面解法同解法一. ……………9 分

1 tx ? 2t ? 5 ,即 t ( x ? 4) ? 10 ? 2 y ? 0 . 2

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21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ?

1 1 x ? , f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 2 4

(Ⅰ)若数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an ?1 ? f ?(an ) ? f ?(n) ( n ? N ? ) ,求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: b1 ? b , bn ?1 ? 2 f (bn ) ( n ? N ? ) . (ⅰ)当 b ? 由; (ⅱ)当
n 1 2 1 . ? b ? 1 时, 求证: ? ? 2b ? 1 2 i ?1 bi

1 时,数列 {bn } 是否为等差数列?若是,请求出数列 {bn } 的通项 bn ;若不是,请说明理 2

1 , 2 1 1 ? an ?1 ? (2an ? ) ? (2n ? ) ? 2an ? 2n ? 1 , 2 2
【解】 (Ⅰ)? f ?( x) ? 2 x ? 即 an?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2(an ? 2n ? 1) .

…………………………1 分

…………………………3 分

? a1 ? 1 ,

?数列 {an ? 2n ? 1} 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列.
…………………………5 分

? an ? 2n ? 1 ? 4 ? 2n ?1 ,即 an ? 2n?1 ? 2n ? 1 .
2 (Ⅱ) (ⅰ)? bn ?1 ? 2 f (bn ) ? 2bn ? bn ?

1 , 2

1 ? bn?1 ? bn ? 2(bn ? )2 . 2 1 1 ?当 b1 ? 时, b2 ? . 2 2 1 假设 bk ? ,则 bk ?1 ? bk . 2
由数学归纳法,得出数列 {bn } 为常数数列,是等差数列,其通项为 bn ?

1 . 2

…………8 分

1 1 2 , ? bn ?1 ? bn ? 2(bn ? ) . 2 2 1 1 ?当 ? b1 ? 1 时, b2 ? b1 ? . 2 2 1 1 假设 bk ? ,则 bk ?1 ? bk ? . 2 2 1 由数学归纳法,得出数列 bn ? (n ? 1, 2, 3, ? ) . 2 1 1 又? bn ?1 ? ? 2bn (bn ? ) , 2 2
(ⅱ)? bn ?1 ? 2bn ? bn ?
2

…………………………10 分

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?

1 1 1 ? ? , 1 1 bn ?1 ? 2 bn ? 2 bn 1 1 1 . ? ? 1 bn bn ? 2 bn ?1 ? 1 2
n
n 1 1 1 1 1 ? ?( ? )? . ? 1 1 1 bi i ?1 bi ? 2 bi ?1 ? 2 b1 ? 2 bn ?1 ? 1 2



…………………………12 分

??
i ?1

? bn?1 ?
??
i ?1 n

1 , 2
…………………………14 分

1 1 2 ? ? . 1 bi b1 ? 2 2b ? 1

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