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第五节 指数与指数函数


第五节

指数与指数函数

题号 答案

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? 1?-2 ? 7? 1.(0.027) 3-?-7? +?29?2-( 2-1)0=( ? ? ? ?

r />
1

1

)

A.45 B.40 C.-45 D.-40
? 27 ?-3 ?25? 1 10 5 2 ? ? 解析:原式= 1 000 -7 +? 9 ?2-1= -49+ -1=-45. 3 3 ? ? ? ?

1

故选 C. 答案:C 2.已知全集 U=R,A={x|y= 2x-1},则?UA=( A.[0,+∞) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-∞,0] 解析: 集合 A 即函数 y= 2x-1的定义域, 由 2x-1≥0, 求得 x≥0, 即 A=[0,+∞),故?UA=(-∞,0),故选 B. 答案:B
?1? 3. (2013· 北京东城区模拟)在同一坐标系中, 函数 y=2x 与 y=?2? ? ?

)

x 的图象之间的关系是( A.关于 y 轴对称 B.关于 x 轴对称 C.关于原点对称

)

D.关于直线 y=x 对称
?1?x 解析:因为 y=?2? =2-x,所以它与函数 y=2x 的图象关于 y 轴 ? ?

对称.故选 A. 答案:A 4.函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象可能是( )

答案:C 5. 已知函数 y=2x-ax(a≠2)是奇函数, 则函数 y=logax 是( A.增函数 B.减函数 C.常数函数 D.增函数或减函数 解析:因为函数 y=2x-ax(a≠2)是奇函数,所以必有 2x-ax=- (2-x-a-x),
? 1 ? 化简可得(2x-ax)?1-2xax?=0,因为 a≠2,所以 2x-ax≠0,所以 ? ?

)

必有 1-

1 2a

x x=0,

1 解得 a= ,故 y=logax=log1x 是减函数.故选 B. 2 2 答案:B 6.设函数 f(x)=a-|x|(a>0 且 a≠1),f(2)=4,则( A.f(-2)>f(-1) )

B.f(-1)>f(-2) C.f(1)>f(2) D.f(-2)>f(2)
?1?-|x| 1 解析: 因为 f(2)=4, 即 a-2=4, 所以 a= , 所以 f(x)=?2? = 2 ? ?

2|x|,所以 f(-2)>f(-1),故选 A. 答案:A 7.已知函数 f(x)=ax+a-x(a>0 且 a≠1),且 f(1)=3,则 f(0)+ f(1)+f(2)的值是________. 1 解析:∵ f(1)=a+ =3,f(0)=2, a f(2)=a2+a-2=(a+a-1)2-2=7, ∴ f(1)+f(0)+f(2)=12. 答案:12 1 3 1 3 1 1 8.若 x>0,则(2x4+32)(2x4-32)-4x- (x-x2)=______. 2 答案:-23 9.(2014· 徐州模拟)已知过点 O 的直线与函数 y=3x 的图象交于 A,B 两点,点 A 在线段 OB 上,过 A 作 y 轴的平行线交函数 y=9x 的图象于 C 点,当 BC 平行于 x 轴时,点 A 的横坐标是________. 解析:设点 A、B 的横坐标分别为 x1,x2,则点 A、B 的纵坐标 为 3x1,3x2, 3x1 3x2 ∵ A、B 在过点 O 的直线上,∴ = . x1 x2 ∵ 点 C(x1,9x1),且 BC∥ x 轴, ∴ 9x1=3x2,∴ 2x1=x2.

将 2x1=x2 代入 答案:log32

3x1 3x2 = ,得 x1=log32. x1 x2

ax-1 10.已知函数 f(x)= x (a>1). a +1 (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数. a-x-1 1-ax 解析: (1)解析: ∵ 定义域为 R, 且 f(-x)= -x = =-f(x), a +1 1+ax ∴ f(x)是奇函数. ax+1-2 2 (2)解析:f(x)= x =1- x , a +1 a +1 2 ∵ ax+1>1,∴ 0< x <2,即 f(x)的值域为(-1,1). a +1 (3)证明:设 x1,x2∈ R 且 x1<x2,f(x1)-f(x2)= ax1-1 ax2-1 - = ax1+1 ax2+1

2ax1-2ax2 <0(分母大于零,且 ax1<ax2), (ax1+1)(ax2+1) ∴ f(x)是 R 上的增函数. 11.已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解析:(1)当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈ R,x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2). ∵ 2x1<2x2,a>0? a(2x1-2x2)<0, 3x1<3x2,b>0? b(3x1-3x2)<0, ∴ f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数.

当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0.
?3?x ? a? a 当 a<0,b>0 时,?2? >- ,则 x>log1.5?-2b?; 2b ? ? ? ? ?3?x ? a? a 当 a>0,b<0 时,?2? <- ,则 x<log1.5?-2b?. 2b ? ? ? ?


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