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等比数列前n项和


复习:等比数列 {an}

(1) 等比数列:
(2) 通项公式: (3) 重要性质:
m+n=p+q

an+1 an =q (定值) an=a1?q n-1
an= am?qn-m an?am = ap?aq
这两个重要性质的 变化.应用可大哩! 你掌握了吗?

注:以上 m

, n, p, q 均为自然数

? 一、导入新课:
最近有什么 新业务吗? 有份合同你签吗?

我每天为你提供10万元的商品,你的付款方式 为:第一天只需支付1分钱货款,第二天只需 支付2分钱货款,第三天4分钱,依次类推,以 后每天所付的货款都是前一天的2倍,合同期 限为30天,一个月内要付给你300万元的商品 呢?!对你来说多么合适呀,赶紧签吧!

二、新课讲解
即 S ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2
2 3 29


30

① ②

2S ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
2 3 29

②-①得 2S ? S ? 2 ? 1,
30



S ? 2 ? 1 ? 1073741823
30

由此对于一般的等比数列,其前 n 项和

Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ? ? a1qn?1 ,如何化简?

等比数列前n项求和公式
推导公式 已知: n 等比数列 { n}, 1,q,

a a

求:Sn
解:Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an 2 3 … a1qn-1 =a1+a1q + a1q + a1q + + 作 减 法

q n=a1q

s

(1-q)Sn=

Sn=

{

a -a q a 1-q )
1 1
1(

2 3 … n n-1 a 1 q a 1 q + a 1 q + a 1 q + + +

n n

n· a1

1-q

(q=1)

(q=1)

等比数列前n项求和公式 等比数列 {an} n a 1 (1 - q )

Sn=

Sn=

{ a a aq { a
1-q

(q=1) (q=1)

n· 1
n

1-

a1q n

a1?qn-1?q
anq

1-q

(q=1) (q=1)

n· 1

通项公式:

去看看练习吧!

an=a1? q n-1

例1、求下列等比数列前8项的和
(1) 1 1 1 , , ,? 2 4 8

(2)a1 ? 27, a9 ?

1 ,q ? 0 243

解:

例2、在等比数列?a n ? 中,求满足下列条件的 量 :
(1)a1 ? a3 ? 2, 求sn

1 (2)q ? 2, n ? 5, a1 ? .求an 和sn 2 (3)a1 ? 1,a n ? ?512 ,s n ? ?314.求q和n 1 解: (2) ? q ? 2, n ? 5, a1 ? 2 n a 1 ? q n ?1 1 说明: 代入a n1 ? a q , s ? 得: )q .1 ? 1 ( ?512 n 1 ? qq ? ?2 ? 341 ? .解得: 1 1 ?q 4 4 a5 ? a1q ? ? 2 ? 8 2n ?1 2 . 因为a n ? a1q , 所以 ? 512 ? 1? (?2) n ?1 1 5 ? 1 ? 2 解得: n ? 10 1 31 5 2 s5 ? ? ? 2 ?1 ? 1? 2 2 2

?

?

?

?

?

?

等比数列前n项和公式 你了解多少?

(1) 等比数列前n项和公式: 利用“错位相减法”推 n a1 (q=1) 导 n a1 (q=1) Sn= Sn= n

{

a1 (1 ? q ) (q=1)
1-q

{

a1 ? a n q
1-q

(q=1)

(2) 等比数列前n项和公式的应用: 1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提; 2.在使用公式时,要根据题意,适当选择公式。

三、练习
练习6.3.3 ? 1.求等比数列1/9,2/9,4/9,8/9,…的前 10项的和. ? 2.已知等比数列{an}中,q=2,S4=1, 求. S8 ? 3.已知等比数列{an}中, a1=2, S3=26. 求q与a3

四、作业:
? 作业: ? (1)读书部分:教材 ? (2)练习册P16 ? 训练题6.3.3 A组、B组


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等比数列前 n 项和的证明方法 若公比 q=1,则 Sn=a1+a2+...+an=a1+a1+...+a1=na1 等比数列前 n 项和 Sn=a1+a2+...+an=a1(1-q^n)/(1-q)...

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