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高考平面几何平面解析几何


第五章 直线与圆
直线与圆是几何中最基础和最重要的两种图形,是代数方法在几何研究中的应 用的开始. 对于这部分内容,学生应该深刻领会并熟练应用数形结合的思想方法, 既要注重代数运算的简洁,也要充分利用几何图形的性质,还要认真考虑代数式的 几何意义,在对参数的讨论过程中不要遗漏某些特殊值所表示的特殊情况. 近年来,这一部分内容在高考试题中通常属于基础题,难度中等,但解答问

题 使用的方法会直接影响到运算量的多少以及问题解答的正确率.

第一节 直线与圆的位置关系
1. 直线的 x -截距与 y -截距之间的关系
例 1 (09 华南师大附中 3 月)已知直线 l 在 x 轴、 y 轴上截距的绝对值相等, 且到点(1,2)的距离为 2 ,求直线 l 的方程. 【动感体验】 要全面考虑可能成立的各种情况. 已知直线 l 在 x 轴、y 轴上截距的绝对值相等 的条件应考虑截距可能为零或不为零两种情况. 如图 5.1.1 所示,点 P 在以 A (1,2)为圆心、半径为 2 的圆上,直线(记 为 l )经过点 P 且与圆 A 相切. 则该 l 到点(1,2)的距离为恒为 2 . 打开文件“09 华南师大附中 3 月.zjz” ,拖动点 P ,观察可能出现直线 l 在 x 轴、 y 轴上截距的绝对值相等的情况.

[在此处键入]

图 5.1.1 【思路点拨】 对于满足条件的直线其截距为零和不为零两种情况分别讨论. 【动态解析】 图 5.1.2-5.1.7 所示六种情况下,经过点 P 的直线在 x 轴、 y 轴上截距的绝对值 均相等.

图 5.1.2

图 5.1.3

图 5.1.4

图 5.1.5

[在此处键入]

图 5.1.6 可设满足条件的直线的方程为 y ? kx ? b . 当 b ? 0 时,由点到直线的距离公式得:

图 5.1.7

|k ?2| 1? k 2

? 2 ,解得 k ? ?2 ? 6 或

k ? ?2 ? 6 .
当 b ? 0 时,则直线 l 的斜率 k 为 1 或者 -1 ,由点到直线的距离公式得:

|k ?b?2| 1? k
b ? 1.
2

? 2 ,当 k ? 1 时,解得 b ? ?1 或 b ? 3 ;当 k ? ?1 时,解得 b ? 5 或

因此所求直线的方程为: y ? (?2 ? 6 ) x ,或 y ? (?2 ? 6 ) x ,或 y ? x ? 1 , 或 y ? x ? 3 ,或 y ? ? x ? 5 ,或 y ? ? x ? 1 . 【简要评注】 从本题的题设条件,很容易选择利用直线的截距式方程表示直线进行求解,但 要注意避免遗漏直线经过原点的情况. 在这里我们首先考虑到直线到点 A 的距离为

2 ,再寻找满足要求的直线,就容易分类了.
有时候利用直线的截距式在绘制直线时非常方便,但答案通常写成斜截式.

2. 直线与圆的位置关系
例 2 (06 湖南理 10)若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点
2 2

到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是(

) 。

[在此处键入]

A. [

,] 12 4

? ?

B. [

, ] 12 12

? 5?

C. [ , ]

? ? 6 3

D. [0, ]

?

2

方法一: 【动感体验】 方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 可化为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 18 ,该圆的圆心 为(2,2) 、半径为 3 2 ,圆心在直线 y ? x 上. l : ax ? by ? 0 是一条过原点的直 线,系数 a , b 决定其倾斜角. 令 k ? ?

a ,则 l 的方程为: y ? kx . 考虑 k 变化时与 b

直线 y ? kx 平行并与之距离为 2 2 的两条直线与圆交点的个数. 打开文件“06 湖 南理 10.zjz” ,实线表示直线 y ? kx ,虚线是两条到直线 y ? kx 的距离等于 2 2 , 通过拖动点 P 或者动画按钮可以改变 k 的值, 如图 5.1.8-5.1.12 所示为其中的几种情 况.

图 5.1.8

图 5.1.9

图 5.1.10

图 5.1.11

[在此处键入]

图 5.1.12 【思路点拨】 改变 k 的值考虑当圆上恰好有三个点到直线 l 的距离为 2 2 时,两条平行线与 圆的位置关系. 这时两平行线应该其一与圆相切另一与圆相交,而圆心到直线 l 的 距离恰好为 2 ,由此不难确定直线 l 的倾斜角的取值范围. 【动态解析】 注意到 OC ? 2 2 ,当圆心到直线 l 的距离 CD 恰好为 2 时,如图 5.1.8、图 5.1.11 所示, ?COD ?

?
6

. 由此不难确定若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少
2 2

有三个不同的点到直线 l 的距离为 2 2 时,直线 l 的倾斜角的取值范围是 [ 所以选择 B . 方法二: 【动感体验】

, ]. 12 12

? 5?

方程 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 可化为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 18 ,可知该圆的
2 2 2 2

圆心为(2,2) 、半径为 3 2 . 进入文件“06 湖南理 10.zjz”第二页,点 C 是方程

x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 10 ? 0 所在圆的圆心 . 点 P 是圆 C 上的动点, CD ? OP 与
D ,因此可以用直线 OP 表示方程 ax ? by ? 0 对应的直线 l ,其中. 拖动点 P ,观
察直线 OP 与圆 C 的位置关系,判断当圆 C 上至少有三个不同的点到直线 OP 的距 离为 2 2 时直线 OP 所应满足的条件, 如图 5.1.13-5.1.16 所示,为其中的几种情形.

[在此处键入]

图 5.1.13

图 5.1.14

图 5.1.15

图 5.1.16

【思路点拨】 将圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离. 【动态解析】 令k ? ?

a ,则 l 的方程为: y ? kx . b

当直线 OP 在圆心 C 左上方时,若圆上正好有 3 个点到 l 的距离为 2 2 ,如图 5.1.13 所示, 则此时 | CD |? 3 2 ? 2 2 ? 所以在 Rt △ CDO 中, ?COD ?

?xOC ? 2 . 又因为 | OC |? 2 2 ,

?
4



?
6

,所以

?xOD ? ?xOC ? ?COD ?

5? . 12

当直线 OP 在圆心 C 的右下方时,若圆上正好有 3 个点到 l 的距离为 2 2 ,如 图 5.1.14 所示,则此时 | CD |? 3 2 ? 2 2 ?

2 . 又因为 | OC |? 2 2 ,

[在此处键入]

?xOC ?

?
4

,所以在 Rt △ CDO 中, ?COD ?

?
6

,所以

?xOD ? ?xOC ? ?COD ?
因此当

?
12

.

?
12

? ?xOD ?

5? 时,如图 5.1.15、图 5.1.16 所示,圆上有四个不同的 12

点到 l 的距离为 2 2 . 所以选择 B . 【简要评注】 本题解答过程中要抓住两个关键:一、把圆上的点到直线的距离转化成为圆心 到直线的距离;二、直线的特征:经过原点.

3. 直线与动圆的位置关系
例 3 (09 广东理 B19)已知曲线 C : y ? x 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点
2

A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) ,且 xA ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段
2 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D .设点 P( s, t ) 是 C : y ? x 上一点,且点 P

与点 A 和点 B 均不重合. (I)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (II)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最 25

小值. (一)求点 M 的轨迹方程. 这里 Q 是定点, P 是曲线 C 上的动点,M 是线段 PQ 的中点,M 随 P 点而运 动. 既然曲线 C 是抛物线,可以猜测 M 的轨迹也是一条抛物线. 至于它轨迹方程, 就是求点 M 的坐标之间的关系. 注意到 P 点的坐标满足曲线 C 的方程,而点 M 的 坐标又可以通过 P 和 Q 点坐标来表示,因此这个轨迹方程不难求出.

? y ? x2 , 事实上:由 ? 解得: x A ? ?1 , x B ? 2 ; y A ? 1 , y B ? 4 ,因为 Q 是 ? x ? y ? 2 ? 0,

[在此处键入]

线段 AB 的中点所以有 Q ( , ) .

1 5 2 2

1 5 ?s ?t 4x ? 1 又 M ( x, y ) 为 PQ 的中点, 所以有 x ? 2 ,y ? 2 . 反解得 s ? , 2 2 2 4y ? 5 2 t? . 因为点 P 在曲线 C 上, t ? s ( ?1 ? s ? 2 ). 将上式代入得 2 4y ? 5 4x ? 1 2 1 5 ?( ) ,化简得 y ? (4 x ? 1) 2 ? . 2 2 8 4 4x ? 1 4y ? 5 4y ? 5 4x ? 1 2 ?( ) , 用表示点 M 的坐标,则有 s ? ,t ? ,即 2 2 2 2 1 5 1 5 2 化简得 y ? (4 x ? 1) ? . 由 ? 1 ? s ? 2 ,得 ? ? x ? . 8 4 4 4 1 5 1 5 2 所以点 M 的轨迹方程为: y ? (4 x ? 1) ? ( ? ? x ? ) ,它表示一个 8 4 4 4
抛物线弧段,如图 5.1.17 所示.

图 5.1.17 (二)求 a 的最小值. 【动感体验】

51 ?0 是一个圆的方程. 可化为 25 7 7 ( x ? a) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( ) 2 ,它表示一个半径为常数 而圆心为( a ,2)的圆. 随 5 5
很 明 显 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

着 a 的变化,这是一个可以左右平行移动的圆. . 进入文件“ 09 广东理 B19.zjz ”第二页,如图 5.1.18 所示,圆 T 表示方程

51 ? 0 对应的曲线. 点 T 可以被拖动,水平移动圆 T 的 25 位置. 观察区域 D 与圆 T 有公共点的情况下,点 T 的横坐标 a 应满足的条件. x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?

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图 5.1.18 【思路点拨】 求圆与 D 有公共点时的 a 最小值,就是求圆与线段 AB 相切且位于线段左侧时 的 a 的值. 【动态解析】 如 图 5.1.19 所 示 , 当 圆 T 经 过 点 A 时 , 将 A ( -1 , 1 ) 代 入

7 2 6 2 6 ( x ? a) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( ) 2 解得: a ? ?1 ? 或 a ? ?1 ? (舍去). 5 5 5

图 5.1.19

? 2? 0 相 切 时 , 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 : 当 圆 T 与 直 线 l : x? y

|a?2?2| 2

?

7 7 2 7 2 7 2 , 解得: 或a ? (舍去) . 此时切点坐标为 (? , a?? 10 5 5 5

2?

7 2 7 2 ? ?1 ,所以切点在线段 AB 内 . 由此可知 a 的最小值为 ) ,因为 ? 10 10 7 2 . 5

a??

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【简要评注】 本题中的动圆圆心在一条水平直线上移动,半径固定,因而比较容易了解圆与 区域、圆与直线的位置关系. 而最值是取在线段的端点的状态下还是圆与直线相切 的条件下, 这时本题重点要考察的内容. 直观的演示可以帮助我们探索与发现问题, 但只有从数学的角度进行推理和计算才能得到结论.

4. 求与圆有关的动态向量的数量积
例 4 (08 山东临沂)直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 M、N 两 点,若 C ? A ? B ,则 OM ? ON ( O 为坐标原点)等于(
2 2 2

).

A. ? 2 【动感体验】

B. ? 1

C.0

D.1

圆 x 2 ? y 2 ? 4 是圆心为坐标原点半径为 2 的圆,设 OM 和 ON 之间的夹角为

? ,根据向量的数量积的定义
OM ? ON ?| OM | ? | ON | ? cos? ? 4 cos? ,
因此关键在于确定向量 OM 与 ON 之间的夹角 ? 的大小. 由 C ? A ?B
2 2 2

得 到 :

|C | A ?B
2 2

?1 , 这 说 明 原 点 O 到 直 线

Ax ? By ? C ? 0 的距离等于 1. 因此可以将直线 Ax ? By ? C ? 0 看作是经过单位
圆上一点并且与单位圆相切的动直线. 打开文件“08 山东临沂.zjz” ,如图 5.1.20 所
2 2 示,拖动点 P ,观察直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 x ? y ? 4 两个交点 M、N 的变

化规律.

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图 5.1.20 【思路点拨】 分析条件 C ? A ? B 的几何意义,研究与夹角 ? 有关的几何关系.
2 2 2

【动态解析】 因为直线 Ax ? By ? C ? 0 过点 P 且与单位圆相切, 所以 OP 垂直且平分 MN . 在 Rt ? OPM 中, OP ? 1 , OM ? 2 ,所以 ?POM ?

?
3

, ?MON ?

2? . 3

图 5.1.21 所以 OM ? ON ?| OM | ? | ON | ? cos ? ? 4 cos ? ? 4 ? cos

2? ? ?2 . 3

因此选择 A. 【简要评注】 解决本题的关键在于在熟练掌握向量的数量积概念的前提下挖掘条件

C 2 ? A 2 ? B 2 ,从而确定直线 Ax ? By ? C ? 0 的特征以求出向量之间的夹角.

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5. 与直线截距有关的不等关系
例 5 (08 全国 I 理 10)若直线 A. a ? b
2 2

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, sin ? ) ,则( a b
B. a ? b
2 2

).

≤1

≥1

C.

1 1 ? 2 ≤1 2 a b

D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

【动感体验】 由 M (cos ?, sin ? ) 想 到 单 位 圆 , M 是 这 个 单 位 圆 上 的 动 点 . 条 件 直 线

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, sin ? ) 实际上是说直线和单位圆有公共点,其中隐含圆 a b
心到直线的距离与单位圆的半径 1 的关系. 打开文件 “08 全国 I 理 10.zjz” , 如图 5.1.22 所示,经过点 M 和点 N 的直线表示方程

x y ? ? 1 对应的直线,点 P 和点 Q 分别 a b

是直线与 x 轴、 y 轴的交点. 拖动点 N 可以任意改变直线性质特征,研究四个选项 所表示的几何意义以及成立的可能性.

图 5.1.22 【思路点拨】 在直角三角形 POQ 中考虑斜边上的高与单位圆半径之间的关系. 【动态解析】 图 5.1.23 和图 5.1.24 说明 a ? b
2 2

≤1 和 a2 ? b2 ≥1 两种情况都可能成立.

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图 5.1.23 当直线

图 5.1.24

x y ? ? 1 与圆 O 相切时,如图 5.1.25 所示,直角三角形 POQ 斜边上的 a b 高线等于圆 O 的半径 1.

图 5.1.25

图 5.1.26

而其他情况下,如图 5.1.25 所示,直角三角形 POQ 斜边上的高线小于圆 O 的 半径 1. 通过 面积 公式 可以求 得 直角 三角 形 POQ 斜 边上的 高 等于

a ?b a 2 ? b2

,由

a?b a 2 ? b2

? 1 化简得:

1 1 ? 2 ? 1. 2 a b

因此答案选择 D. 进入文件“08 全国 I 理 10.zjz”的第二页,如图 5.1.27 所示,则给出直线与单 位圆没有公共点的情况,这时 OM ?

a ?b a ?b
2 2

? 1 ,由此

1 1 ? 2 ? 1 ,即选项 C 2 a b

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表明的关系.

图 5.1.27 【简要评注】 本题中 a、 b 为截距,恰好是直线与两坐标轴的交点及原点所构成的直角三角 形的直角边长,因此设法在 Rt?POQ 中找出 a ? b 及
2 2

1 1 ? 2 的几何意义是解决 2 a b

问题的关键.

本节小结
研究直线与圆的位置关系,通常转换为圆心与直线的距离问题. 此外,充分利 用代数式的所表示的几何性质,能够提高我们的解题效率、减少出错率和计算量. 拓展练习 1. (06 湖南理 10 改编)若圆 ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? r 上有且仅有两点到直线
2 2 2

4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离为 1,则半径 r 的取值范围是
2 2

.

2. (08 辽宁理 3)圆 x ? y ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有公共点的充要条件是 ( ). A. k ? (? 2, 2) C. k ? (? 3, 3) B. k ? (??, ? 2) D. k ? (??, ? 3)

( 2, ??) ( 3, ??)
2 2

0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1有公共点, 3. (08 安徽文 10)若过点 A(4,

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则直线 l 的斜率的取值范围为( A. (? 3,3) C. ? ?

).

B. [? 3,3] D. ? ?

? ? ?

3 3? , ? 3 3 ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

4. (08 宁夏、海南文 20)已知 m ? R ,直线 l : mx ? (m2 ? 1) y ? 4m 和圆 C :

x2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 16 ? 0 .
(Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围; (Ⅱ)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧?为什么? 2

第二节 直线系与圆系
1. 动直线与动圆的位置关系
例 1 ( 06 江西理 16 )已知圆 M : ( x ? cos? )2 ? ( y ? sin ? )2 ? 1 ,直线

l:y ? kx ,下面四个命题:
A.对任意实数 k 与 ? ,直线 l 和圆 M 相切; B.对任意实数 k 与 ? ,直线 l 和圆 M 有公共点; C.对任意实数 ? ,必存在实数 k ,使得直线 l 与和圆 M 相切; D.对任意实数 k ,必存在实数 ? ,使得直线 l 与和圆 M 相切. 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号) 【动感体验】 这里给出的是圆 M 的标准方程,其半径为 1,圆心为 (? cos? , sin ? ) . 可以想 象出这些圆的半径都是 1 ,而圆心在单位圆上,所以这些圆都过原点;而直线

l:y ? kx 则是过原点的直线但不包括 y 轴. 这就不难考虑圆和直线可能有怎样的
位置关系了. 打开文件“06 江西理 16.zjz” ,如图 5.2.1 所示,拖动点 A 可以改变的圆 M 的 圆心 A 的位置. 点 P 是圆 O 上的动点,可以用经过点 O 和点 P 的直线表示直线 l :

[在此处键入]

y ? kx . 拖动点 A 或者点 P ,观察和研究圆 M 和直线 l 之间的位置关系.

图 5.2.1 【思路点拨】 将圆 M 与直线 l 之间的位置关系转化为圆 M 的半径 OA 与点 M 到直线 l 的距 离之间的大小关系. 【动态解析】 通过图 5.2.1 可以观察到, 圆 M 与直线 l 均经过坐标原点 O , 因此选项 B 正确, 但选项 A 错误. 当点 P 在任意位置时, 只要拖动点 A 使得 OP ? OA , 就有直线 l 和圆 M 相切, 即对任意实数 k ,都存在实数 ? ,使得直线 l 和圆 M 相切,如图 5.2.2 所示. 因此选 项 D 正确.

图 5.2.2 当点 A 在任意位置时, 只要拖动点 P 使得 OP ? OA ,就有直线 l 和圆 M 相切. 但是当点 A 在 x 轴上时,如图 5.2.3 和图 5.2.4,则直线 l 的斜率 k 不存在,因此选 项 C 错误.

[在此处键入]

图 5.2.3 图 5.2.4 正确答案为: B、D . 【简要评注】 本题是不定项选择题,需要对每个命题进行判断. 通过动感体验可以发现动圆 与动直线经过的共同点(原点) ,动中求静是这类问题的一种常见解答思路.

2. 动直线及其包络问题
例 2 (09 江西理 16、文 16)设直线系 M : x cos? ? ( y ? 2) sin ? ? 1 ( 0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命题: M A. 中的所有直线均经过一个定点 B.存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 C.对于任意整数 n ( n ? 3 ) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 D. M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号). 【动感体验】 首先是认识直线系 M : x cos? ? ( y ? 2) sin ? ? 1( 0 ? ? ? 2? )具有怎样的

3? 可以分别得到直线 x ? 1 , y ? 3 , x ? ?1 和 y ? 1 . 这四 2 2 条直线与点(0,2)的距离都等于 1,可以想象直线系 M 是否具有这样的特征. 事实
特征. 设 ? ? 0,

?

,? ,

上由

| 0 ? cos? ? (2 ? 2) ? sin ? ? 1 | cos2 ? ? sin 2 ?

? 1知道,直线系 M 所表示的是到点 (0,2) 的距

离为 1 的直线. 或者说直线系是以点 (0,2) 为圆心、半径为 1 的圆上的切线. 也 可 以 把 (cos? , sin ? ) 看 成 直 线 的 单 位 法 向 量 , 于 是 由 向 量 ( x, y ? 2) 与

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(cos? , sin ? ) 的数量积等于 1 知直线系 M 是到点 (0,2) 的距离为 1 的直线. 或者说
直线系是以点 (0,2) 为圆心、半径为 1 的圆上的切线. 打开文件“09 江西理 16.zjz” ,如图 5.2.5 所示,拖动点 P 或者单击动画按钮, 观察直线系 M 的特征.

图 5.2.5 【思路点拨】 通过直线 M 的特征及其所围成的区域,对四个命题进行判断. 【动态解析】 M 中的直线不经过任何一个定点,因此选项 A 错误. 圆 A 内的所有点均不在 M 中的任何一条直线上,因此选项 B 正确. 当 ? 均匀变化,即点 P 在圆周上匀速运动时,直线之间的交点就是正 n 边形的 顶点,如图 5.2.6-5.2.11 所示,因此选项 C 正确.

图 5.2.6

图 5.2.7

图 5.2.8

[在此处键入]

图 5.2.9

图 5.2.10

图 5.2.11

用鼠标双击动画按钮的绿色部分(最右侧部分)可以打开动画按钮的属性对话 框,如图 5.2.12 所示,在动画运动的频率一栏输入大于 3 的整数后单击“确定”按 钮,再次单击动画按钮,即可呈现由 M 中的直线所组成的对应正多边形.

图 5.2.12 M 中的直线所能围成的区域是圆 A 内部,而其内部可以有无数多个面积不同 的正三角形,因此选项 D 错误. 所以答案为:B、C. 【简要评注】 抓住直线系的特征才能更好地研究其特点. 除了通常的过定点的直线系以及平 行直线系外,本题中的直线系也是一种典型类型.

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3. 动圆及其性质特征
例 3(07 江西理 16) 设有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1)2 ? ( y ? 3k )2 ? 2k 4 (k ? N* ) . 下 列四个命题: A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不 相交 . D.所有的圆均不 经过原点 . 其中真命题的代号是 . (写出所有真命题的代号) 【动感体验】 打开文件“07 江西理 16.zjz” ,单击动画按钮,结果如图 5.2.13 所示,表示一组 圆 Ck : ( x ? k ? 1)2 ? ( y ? 3k )2 ? 2k 4 (k ? N* ) ,观察这组圆的特点,对四个命题进 行判断.

图 5.2.13 【思路点拨】 通过圆心 C (k ? 1,3k ) 与半径 2k 研究系列圆的性质特征.
2

【动态解析】 可以从最容易判断的选项D入手,只需看原点的坐标(0,0)是否适合圆的方程 就行了. 事实上通过 (?k ? 1)2 ? 9k 2 ? 2k 4 ,因此所有的圆均不 经过原点,所以选 . 项D为真命题. 令 k ? 1 和 k ? 2 分别得到:

C1 : x2 ? ( y ? 3)2 ? 2

[在此处键入]



C2 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 6)2 ? 32 .
圆心距为 10 , 半径的差等于 3 2 , 因为 10 ? 3 2 ,所以两圆内含. 由此看 来不可能存在一条直线与所有的圆均相切,所以选项A为假命题. 由于这些圆的圆心为 Ck (k ? 1,3k ) , 所以这些圆的圆心在直线 y ? 3x ? 3 上. 这 条直线就与所有的圆均相交,所以选项B为真命题. 由于这些圆的半径为 2k 随着 k 的增大而无限增大,因此不可能存在一条定 直线与所有的圆均不 相交. 所以选项C是假命题. . 因此答案为:B、D. 【简要评注】 在研究直线系和圆系的有关问题时,要抓住他们的共性及其相互关系,才能准 确地把握运动中的图形的性质特征. 直线与圆的位置关系的判断还是要充分利用圆 心与直线的距离.
2

本节小结
直线系是一簇有共同特征的直线的总称. 虽然在课本中没有详细介绍,但在练 习中却经常出现. 一般地方程中含有函数时就表现为直线系. 圆系的问题也类似, 高考中有关直线系和圆系的问题时常出现,解答过程中方法的选择非常重要. 直线系与圆系的问题都可以分别理解为直线运动与圆运动的问题,在运动的过 程探索规律是这一类型题目的典型特征. 抓住共性,例如过直线或圆定点、圆心或 者圆的半径固定等等,才能抓住问题的本质和解决问题的关键.

拓展练习
1. (07 江西理 16 改编)在例题 3 中,若将题设中的 k ? N * 改为 k ? R ,则 上述四个命题中哪几个是真命题? 2. (09 广东文 A-19)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 为

3 , 两个焦点分别为 F 1 和 F2 , 椭圆 G 上一点到 F 1 和 F2 的距离之和为 12. 圆 2

Ck : x2 ? y 2 ? 2ky ? 4 y ? 21 ? 0(k ? R) 的圆心为点 Ak .
(I)求椭圆 G 的方程;

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(II)求 ? Ak F1F2 面积; (III)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G ?请说明理由.

第三节 求最值问题
1. 求边长成比例的三角形面积最值
例 1 (08 江苏 13)若 AB ? 2 , AC ? 2BC , S ?ABC 的最大值 【动感体验】 因为 AB ? 2 , AC ? 2BC ,可以认为三角形 ABC 的 A 、 B 两点是确定的 而 C 点尚未确定. 可以考虑在满足条件 AC ? 2BC 下的点 C 的轨迹图形, 然后通 过数形结合的方法求三角形面积的最大值. 打开文件 “08 江苏 13.zjz” , 如图 5.3.1 所示, 拖动点 C , 观察线段 AC 与 BC 之 间的关系,并研究点 C 对三角形 ABC 的形状和面积的影响. .

图 5.3.1 【思路点拨】 以 AB 的中点为坐标原点, 以有向线段 AB 的方向为 x 轴正方向建立直角坐 标系,则点 A 、 B 的坐标可表示为 A(?1,0) 、 B(1,0) . 设点 C 的坐标为 C ( x, y) ,
2 2 则有: ( x ? 1) ? y ?

2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ,化简得: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 8 ,它表示

一个坐标圆心在 (3,0) 、半径为 2 2 的圆. 显然当点 C 与 AB 的距离最大时三角形

ABC 面积取最大值.
【动态解析】

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点 C 的轨迹表示一个坐标圆心在 (3,0) 、半径为 2 2 的圆. 进入文件“08 江苏 13.zjz”的第二页,如图 5.3.2 所示.

图 5.3.2 容易知道,当点 C 在圆心正上方或正下方时,三角形 ABC 的高最大(等于圆 1 的半径) ,面积也最大. 因此三角形 ABC 的最大面积等于 ? 2 ? 2 2 ? 2 2 . 2 【简要评注】 建立坐标系求动点轨迹是代数方法在几何中的应用, 引进坐标系即可简化计算, 也可使问题变得直观,容易理解. 在本题中,利用点 C 的轨迹所在的圆直观地表示 代数式 AC ? 2BC 是解决问题的突破口.

2. 求两动点之间距离的最值
例 2 (05 广东 20)在平面直角坐标系中, 已知矩形 ABCD 的长为2,宽为1, AB 、 AD 边分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上, A 点与坐标原 点重合(如图 5.3.3 所示) .将矩形折叠,使 A 点 DC 落在线段 上. (Ⅰ) 若折痕所在直线的斜率为 k , 试写 出 折痕所在直线的方程; 图 5.3.3 (Ⅱ)求折痕的长的最大值. (一) 求折痕所在直线的方程. (1)当 k ? 0 时,如图 5.3.4 所示,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方 程y?

1 . 2

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图 5.3.4

图 5.3.5

(2)当 k ? 0 时,如图 5.3.5 所示,设 A 点落在线段 DC 上的点 A?( x0 ,1) ,

( 0 ? x0 ? 2 ) ,则直线 OA? 的斜率 k 0 A? ?

1 ,所以折痕所在直线垂直平分 OA? , x0

∴ k OA? ? k ? ?1 ,即:

1 ? k ? ?1 ,所以: x0 ? ?k . x0
k 1 , ), 2 2

又因为折痕所在的直线与 OA? 的交点坐标(线段 OA? 的中点)为 M ( ? 所以折痕所在的直线方程 y ?

1 k k2 1 ? k ( x ? ) ,即 y ? kx ? ? . 2 2 2 2
k2 1 ? ( ? 2 ? k ? 0) . 2 2

综合(1) 、 (2)得折痕所在的直线方程为: y ? kx ?

(二) 求折痕的长的最大值. 【动感体验】 打开文件“05 广东 20.zjz” ,点 A' 是点 A 沿矩形折叠后的对应点. 拖动点 A' 观 察折痕的变化规律. 【动态解析】 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 E (0 , 5.3.6 所示.

k2 ?1 k2 ?1 ) , F (? , 0) ,如图 2 2k

图 5.3.6 由(Ⅰ)知,k ? ? x0 ,因为 0 ? x0 ? 2 ,所以 ? 2 ? k ? 0 ,设折痕长度为 d,

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所在直线的倾斜角为 ? . (1)当 k ? 0 时,如图 5.3.7 所示,此时点 A 与点 D 重合, 折痕的长为 2;

图 5.3.7 (2)当 ? 2 ? k ? 0 时,设 a ? ?

k2 ?1 k2 ?1 ,b ? , 0 ? a ? AB ? 2 时, 2k 2

如图 5.3.8 所示, l 与线段 AB 相交,此时 ? 2 ? k ? ?2 ? 3 .

图 5.3.8

图 5.3.9

a ? AB ? 2 时,如图 5.3.9 所示, l 与线段 BC 相交,此时 ? 2 ? 3 ? k ? 0 ;
0 ? b ? 1 时,如图 5.3.10 所示, l 与线段 AD 相交,此时 ? 1 ? k ? 0 ;

图 5.3.10

图 5.3.11

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b ? 1 时,如图 5.3.11 所示, l 与线段 DC 相交,此时 ? 2 ? k ? ?1 .
所以将 k 所在的分为3个子区间: ①当 ? 2 ? k ? ?1 时,折痕所在的直线 l 与线段 DC 、 AB 相交,如图 5.3.11 所示, 折痕的长

d?

1 ? | sin ? |

1 |k| 1? k2

?

1? k2 1 ? ?1, |k| k2

所以

5 ?d ? 2. 2

AB 相交, ②当 ? 1 ? k ? ?2 ? 3 时, 折痕所在的直线 l 与线段 AD 、 如图 5.3.10
所示, 折痕的长

d ? (?

1? k2 2 1? k2 2 k 4 3k 2 1 3 ) ?( ) ? ? ? 2 ? . 2k 2 4 4 4k 4
3k 1 ? 3 ? 0 , 即 2k 6 ? 3k 4 ? 1 ? 0 , 即 2 2k

令 g ?( x) ? 0 , 即 k 3 ?

1 (k 2 ? 1) 2 (k 2 ? ) ? 0 . 2
所以 ? 1 ? k ? ?2 ? 3 ,解得 ?

2 ? k ? ?2 ? 3 . 2 2 . 2

令 g ?( x) ? 0 , 解得 ? 1 ? k ? ?

故当 ? 1 ? k ? ? 增函数.

2 2 ? k ? ?2 ? 3 时, g ( x) 是 时, g ( x) 是减函数,当 ? 2 2

因为 g (?1) ? 2 , g (?2 ? 3) ? 4(8 ? 4 3) ,所以 g (?1) ? g (?2 ? 3) . 所以 当 k ? ?2 ? 3 时, g (?2 ? 3) ? 4(8 ? 4 3) ,

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d ? g (?2 ? 3 ) ? 2 8 ? 4 3 ? 2( 6 ? 2 ) ,
所以,当 ? 1 ? k ? ?2 ? 3 时, d ? 2( 6 ? 2 ) , ③当 ? 2 ? 3 ? k ? 0 时,折痕所在的直线 l 与线段 AD 、BC 相交,如图 5.3.9 所示,折痕的长

d?

2 ? | cos? |

2 1 1? k2

? 2 1? k2 .

所以

2 ? l ? 2 8 ? 4 3 ,即 2 ? l ? 2( 6 ? 2 ) .

综上所述得,当 k ? ?2 ? 3 时,折痕的长有最大值,为 2( 6 ? 2 ) . 【简要评注】 本题考查的是学生分类讨论的能力,要求对图形的变化有清晰地认识,在解答 过程中可以看到找出分界点以及每一类的最值都需要耐心和细致的计算.

3. 求向量数量积的最值
例 3 (07 辽宁理 20)已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 y ? 2 x 上,
2

其中 O 为坐标原点,设圆 C 是 OAB 的外接圆(点 C 为圆心). (I)求圆 C 的方程; (II)设圆 M 的方程为 ( x ? 4 ? 7 cos? ) ? ( y ? 7 sin ? ) ? 1 ,过圆 M 上任意
2 2

一点 P 分别作圆 C 的两条切线 PE、 PF ,切点为 E、F ,求 CE ? CF 的最大值和 最小值. (一)求圆 C 的方程 打开文件“07 辽宁理 20.zjz” ,如图 5.3.12 所示.

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图 5.3.12 利用正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 y 2 ? 2 x 上的条件容易求出 A 点的 坐标,进而求出三角形外接圆的圆心和半径. 具体解法如下: 因为 OAB 是正三角形,可知点 A 与点 B 关于 x 轴对称. 所以 ?xOA ? 30 .
o

设点 A( x, 2 x ) ,则有: tan( ?xOA) ?

3 2x ,解得: x ? 6 . 由正弦定 ? 3 x

理知:

OA ? 2 R ,解得: R ? 4 . 则圆心的坐标为 (4,0) . sin(?OBA)
2 2

所以圆 C 的方程为: ( x ? 4) ? y ? 16 . (二)求 CE ? CF 的最大值和最小 【动感体验】 设 ?ECF ? 2? ,则 CE ? CF ?| CE | | CF | ? cos2? . 因 CE ? CF ? 4 ,所以

CE ? CF 的大小取决于 cos 2? 的大小. 而这又取决于 CP 的大小(如图 所示).
尽管圆 M 在以(4,0)为圆心半径为 7 的圆上,P 又是这圆上任意一点,但需要 关注的只是 CP 的变化以及对 cos 2? 大小的影响. 进入文件 “07 辽宁理 20.zjz” 的第二页, 点 M 和点 P 均可以被拖动, 观察 M 和 点 P 的位置与 CE ? CF 的大小之间的关系. 如图 5.3.13-5.3.16 所示为其中的几种情 形.

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图 5.3.13

图 5.3.14

图 5.3.15 【思路点拨】

图 5.3.16

观察到 | CE | 和 | CF | 为定值,均等于圆 C 的半径 4,因此 CE ? CF 的大小直接
2 与 ?ECF 有关. 事实上,cos2? ? 2 cos ? ? 1 , 而 cos ? ?

最大值时, cos 2? 的值最小;当 CP 取最小值时, cos 2? 的值最大.

CE 4 ? . 当 CP 取 CP CP

【动态解析】 如图 3 所示,当点 P 在线段 CM 上时,点 P 距离点 C 最近,这时 ?ECF 具有 最 小 值 , 此 时 CE ? CF 的 值 最 大 . 此 时 , CP ? CM ? PM ? 7 ? 1 ? 6 , 而 在

Rt ?C PF 中, CF ? 4 ,所以 cos( ?FCP ) ?
而 ?ECP ? ?FCP ,因此

CF 2 ? . CP 3

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1 cos( ?ECF ) ? 2 cos 2 (?FCP ) ? 1 ? ? . 9 1 16 所以, CE ? CF 的最大值等于: 4 ? 4 ? ( ? ) ? ? . 9 9

图 5.3.17 图 5.3.18 如图 5.3.18 所示,当点 P 在射线 CM 的延长线上时,点 P 距离点 C 最远,这 时 ?ECF 具 有 最 大 值 , 此 时 CE ? CF 的 值 最 小 . 此 时 ,

CP ? CM ? PM ? 7 ? 1 ? 8 , 而 在 Rt ?C P F 中 , CF ? 4 , 所 以 CF 1 c o? sFCP ( )? ? . CP 2 1 2 而 ?ECP ? ?FCP , 因 此 cos( ?ECF ) ? 2 cos (?FCP ) ? 1 ? ? . 所 以 , 2 1 CE ? CF 的最小值等于: 4 ? 4 ? (? ) ? ?8 . 2 16 综上所述 CE ? CF 的最大值和最小值分别为: ? 和? 8. 9
【简要评注】 求解最值问题的思路一般有两种,一是化为函数的最值问题,即求出对应问题 的函数表达式;另一种则是利用图形的几何意义与几何特征求解. 若能将二者有机 地结合起来,将能够事半功倍.

本节小结
与圆和直线有关的最值问题是高考的热点问题,除了代数计算方法外,利用图 形的几何性质也是重要且简捷的途径. 一般来说,与圆有关的最值问题常常在直线 与圆相切、直线经过圆心等特殊位置取得.

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拓展练习
1. (07 全国 II 理 20、文 21)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线

x ? 3 y ? 4 相切.
(I)求圆 O 的方程; (II)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内的动点 P 使 PA 、 PO 、 PB 成等比 数列,求 PA ? PB 的取值范围. 2. (06 江西理 9、文 11) P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上一点, M 、 N 分 9 16

别是圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 上的点,则 | PM | ? | PN | 的最大值为 ( ). A.6

B.7

C.8

D.9

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