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高三2016学年第一学期期中考试文科数学(含答案)


万全中学 2016--2017 学年第一学期期中考试
高三数学(文)试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,共 60 分) 1.已知 i 为虚数单位,则复数 A.2+i C.-1-2i =( B.2-i D.-1+2i )

2.定义 A*B={x|x∈A 或 x∈B,但 x?A∩B}.
x 已知 M={y|y=2| |}, N=

{x|

≤2},则 M*N=(



A.[0,1)∪(2,+∞) C.[ ,1)∪(2,+∞)

B.(-∞, ]∪[1,2] D.[1,2)

3.已知函数 f(x)=loga(2-x)在其定义域上单调递减, 则函数 g(x)=loga(1-x2)的单调减区间是( ) A.(-∞,0] B.(-1,0) C.[0,+∞) D.[0,1) 4.函数 y=f(x)的图象在点 x=5 处的切线方程是 y=-x+8, 则 f(5)+f′(5)等于( ) A.1 B.2 C.0 D.

5.等比数列{an}中,S2=7,S6=91,则 S4=( A.28 B.32 C.35 D.49



6.已知两异面直线 a,b 的夹角是 15°,过空间一点 P 作直线 l,使得 l 与 a,b 的夹角均为 8°,那么这样的直线 l 有( ) A.3 条 B.2 条 C.1 条 D.0 条

高三数学文

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7.给出如下四个命题: ①若“p 且 q”为假命题,则 p、q 均为假命题; a b a b ②命题“若 a>b, 则 2 >2 -1”的否命题为“若 a≤b, 则 2 ≤2 -1”; 2 2 ③“? x∈R,x +1≥1”的否定是“? x∈R,x +1≤1; ④在△ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件. 其中不正确的命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.某几何体的三视图如图所示,若其正视图 为等腰梯形,侧视图为正三角形,则该几何 体的表面积为( ) A.2 +2 B.6 C.4 +2 D.8 9.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命 题正确的是( ) ①若 m⊥α,α⊥β,则 m∥β ②若 m⊥α,α∥β,n? β,则 m⊥n ③若 m? α,n? β,m∥n,则 α∥β ④若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α A.①② B.③ C.①③ D.②④ )

10.已知条件 p:|x+1|>2,条件 q:5x-6>x2,则¬p 是¬q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数, 当 x∈(0,1)时,f(x)=3 -1,则 f( A. +1 B.+1 C. -1 D.-1 )
x

)=(



12.函数 f(x)=|log2x|+x-2 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4

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二、填空题(本大题共 4 小题,共 20 分) 13.函数 y= 最大值为 sin2x+cos2x 的最小正周期为 ______ , ______ . ,

14.已知实数 x、y 满足

则 z=2x+y 的最小值是 ______ . 15.当 a>0,a≠1 时,函数 f(x)=loga(x-1)+1 的图象恒过定点 A, m n 若点 A 在直线 mx-y+n=0 上,则 4 +2 的最小值是 ______ . 16.已知函数 f(x)= 则 f[f( )]= ______ .

三、解答题(本题共 6 小题,17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分) 17. 等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d≠0,且 a3?a4=a12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an?2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18.已知函数 f(x)=sin(x- )+

cosx,x∈R.

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC 中,设内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 f(A)= 且 a= b,试求角 B 的大小.

19.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c, 若 a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b, (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若∠B=60°,b=4,求△ABC 的面积.

高三数学文

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20.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC,△ABC 是边长为 4 的等边三角形,D 为 AB 边中点,且 CC1=2AB. (Ⅰ)求证:平面 C1CD⊥平面 ADC1; (Ⅱ)求证:AC1∥平面 CDB1; (Ⅲ)求三棱锥 D-CAB1 的体积.

21.已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间.

22.设函数 f(x)=x3-6x+5,x∈R (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若直线 y=a 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求实数 a 的 取值范围.

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万全中学 2016--2017 学年第一学期期中考试答案
1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.B 7.C 8.B 9.D 10.A 11.B 12.B

13.π;

14.-2

15.2

16.

17.解:a3?a4=a12. (a1+2d) (a1+3d)=(a1+11d) , 解得:d=1,an=n, n n 数列{an}的通项公式,an=n;bn=an?2 =n?2 , 数列{bn}的前 n 项和 Tn, n Tn=1×2+2×22+3×23+?+n?2 , 2Tn=1×22+2×23+3×24+?+(n-1) n n+1 n n+1 n+1 n+1 2 3 ?2 +n?2 , 两式相减得: -Tn=2+2 +2 +?+2 -n?2 , Tn=n?2 -2 +2= n+1 n+1 (n-1)2 +2 ∴Tn=(n-1)2 +2.

18.解: (1)f(x)=sin(x- )+ 则函数 f(x)的最小正周期 T= 由- +2kπ≤x- ≤ +2kπ, 解得- +2kπ≤x≤ +2kπ,

cosx= sinx+ ,

cosx=sin(x+ ) ,

即函数的单调递增区间为[- +2kπ, (2)∵若 f(A)= ∴sin(A+ )= , , ,

+2kπ],k∈Z.

∵0<A<π,则 <A+ < ∴A+ = ∵a= ∴ 则 B= . ,解得 A= , b,

,即 sinB=1,

19.解: (1)∵a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b, 由正弦定理得,sinA(1+cosC)+sinC(1+cosA)=3sinB,
高三数学文 第5页

即 sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB, ∴sinA+sinC=2sinB, 由正弦定理得,a+c=2b, 则 a,b,c 成等差数列; (2)∵∠B=60°,b=4, ∴由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得 4=a2+c2-2accos60°,即(a+c) 2 -3ac=16, 又 a+c=2b=8, 解得,ac=16(或者解得 a=c=4) , 则 S△ABC= acsinB=4 .

20.解: (Ⅰ) ∵CC1⊥平面 ABC, 又 AB? 平面 ABC, ∴CC1⊥AB ∵△ABC 是等边三角形,CD 为 AB 边上的中线, ∴CD⊥AB?(2 分) ∵CD∩CC1=C∴AB⊥平面 C1CD ∵AB? 平面 ADC1∴平面 C1CD⊥平面 ADC1;?(4 分) (Ⅱ)连结 BC1,交 B1C 于点 O,连结 DO.则 O 是 BC1 的中点,DO 是△BAC1 的中位线. ∴DO∥AC1.∵DO? 平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1;?(8 分) (Ⅲ)∵CC1⊥平面 ABC,BB1∥CC1,∴BB1⊥平面 ABC.∴BB1 为三棱 锥 D-CBB1 的 高. = S△SCD?BB1= .?(12 分) = .

∴三棱锥 D-CAB1 的体积为

21.解: (1)∵f(x)=x3-ax2-3x, ∴f′(x)=3x2-2ax-3, ∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,? ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0,? 即 3x2-2ax-3≥0 在[1,+∞)上恒成立. 则必有 ≤1 且 f′(1)=-2a≥0, ∴a≤0,即实数 a 的取值范围是(-∞,0]; (2)∵x=3 是 f(x)的极值点, ∴f′(3)=3×32-2a×3-3=0,解得 a=4,
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∴f′(x)=3x2-8x-3, 令 f′(x)=3x2-8x-3=(x-3) (3x+1)>0,解得 x<- 或 x>3, 令 f′(x)=3x -8x-3=(x-3) (3x+1)<0,解得- <x<3, ∴f(x)的单调区间增区间为(-∞,- )和(3,+∞) ,单调递减区 间为(- ,3) .
2

22.解: (1) ∴当 , ∴f(x)的单调递增区间是 ,单调递减区间是

当 .

;当

(2)由(1)可知 y=f(x)图象的大致形状及走向

∴当 同交点

的图象有 3 个不

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