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2011年全国高中数学联赛加试试题参考答案与评分标准

时间:2011-10-16


2011 年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准(A 卷)
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本 评分标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不要再增加其他中间档次. 一、 (本题满分 40 分)如图, P, Q 分别是圆内接四边形 ABCD 的

对角线 AC, BD 的中 点.若 ∠BPA = ∠DPA ,证明: ∠AQB = ∠CQB . D D

A

Q

A P

Q

F P

B

C

B

E

C

证明 延长线段 DP 与圆交地另一点 E , 则 ∠CPE = ∠DPA = ∠BPA , 又 P 是线段 AC 的中 点,故 AB = CE ,从而 ∠CDP = ∠BDA . 又 ∠ABD = ∠PCD ,所以△ ABD ∽△ PCD ,于是
AB ? CD = PC ? BD
AB PC ,即 = BD CD
∩ ∩

………………10 分

………………20 分

从而有 即

AB ? CD =

1 1 AC ? BD = AC ? ( BD) = AC ? BQ , 2 2
AB BQ . = AC CD

又 ∠ABQ = ∠ACD ,所以△ABQ∽△ACD,所以 ∠QAB = ∠DAC .
∩ ∩

………………30 分

延长线段 AQ 与圆交于另一点 F ,则 ∠CAB = ∠DAF ,故 BC = DF . 又因为 Q 为 BD 的中点,所以 ∠CQB = ∠DQF . 又 ∠AQB = ∠DQF ,所以 ∠AQB = ∠CQB . ………………40 分

2011 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)答案第 1 页(共 4 页)

二、 (本题满分 40 分)证明:对任意整数 n ≥ 4 ,存在一个 n 次多项式
f ( x) = x n + a n ?1 x n ?1 + L + a1 x + a 0

具有如下性质: (1) a 0 , a1 , L , a n ?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ≥ 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , L , rk ,均有
f (m) ≠ f (r1 ) f (r2 ) L f (rk ) .

证明


f ( x) = ( x + 1)( x + 2) L ( x + n) + 2 ,

① ………………10 分

将①的右边展开即知 f ( x) 是一个首项系数为 1 的正整数系数的 n 次多项式. 下面证明 f ( x) 满足性质(2) . 对任意整数 t ,由于 n ≥ 4 ,故连续的 n 个整数 t + 1, t + 2, L , t + n 中必有一个为 4 的倍数, 从而由①知 f (t ) ≡ 2(mod 4) . 因此,对任意 k (k ≥ 2) 个正整数 r1 , r2 , L , rk ,有
f (r1 ) f (r2 ) L f (rk ) ≡ 2 k ≡ 0(mod 4) .

………………20 分

但对任意正整数 m ,有 f (m) ≡ 2(mod 4) ,故
f ( m) ≡ / f (r1 ) f (r2 ) L f (rk )(mod 4) ,

从而 f (m) ≠ f (r1 ) f (r2 ) L f (rk ) . 所以 f ( x) 符合题设要求. ………………40 分

2011 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)答案第 2 页(共 4 页)

三、 (本题满分 50 分)设 a1 , a 2 , L , a n (n ≥ 4) 是给定的正实数, a1 < a 2 < L < a n .对任意 正实数 r ,满足
a j ? ai ak ? a j = r (1 ≤ i < j < k ≤ n) 的三元数组 (i, j , k ) 的个数记为 f n ( r ) .

证明: f n (r ) <

n2 . 4 证明 对给定的 j (1 < j < n) ,满足 1 ≤ i < j < k ≤ n ,且

a j ? ai ak ? a j

=r



的三元数组 (i, j , k ) 的个数记为 g j ( r ) .

………………10 分

注意到,若 i, j 固定,则显然至多有一个 k 使得①成立.因 i < j ,即 i 有 j ? 1 种选法, 故 g j (r ) ≤ j ? 1 . 同样地,若 j , k 固定,则至多有一个 i 使得①成立.因 k > j ,即 k 有 n ? j 种选法,故
g j ( r ) ≤ n ? j .从而 g j ( r ) ≤ min{ j ? 1, n ? j} .

………………30 分

因此,当 n 为偶数时,设 n = 2m ,则有
f n (r ) =

∑g
j =2 m

n ?1

j

(r ) =

∑g
j =2 2 m ?1

m ?1

j

(r ) +

2 m ?1 j =m

∑g

j

(r )



∑ ( j ? 1) + ∑ (2m ? j ) =
j =2 j = m +1

m(m ? 1) m(m ? 1) + 2 2

= m2 ? m < m2 =

n2 . 4

………………40 分

当 n 为奇数时,设 n = 2m + 1 ,则有
f n (r ) =


j =2 m

n ?1

g j (r ) =


j =2

m

g j (r ) +

j = m +1

∑g

2m

j

(r )



∑ ( j ? 1) + ∑ (2m + 1 ? j)
j =2 j = m +1

2m

= m2 =

n2 . 4

………………50 分

2011 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)答案第 3 页(共 4 页)

四、 (本题满分 50 分) 设 A 是一个 3 × 9 的方格表, 在每一个小方格内各填一个正整数. 称 A 中的一个 m × n (1 ≤ m ≤ 3, 1 ≤ n ≤ 9) 方格表为 “好矩形” , 若它的所有数的和为 10 的倍数. 称 ,若它不包含于任何一个“好矩形” .求 A 中“坏格”个 A 中的一个 1×1 的小方格为“坏格” 数的最大值. 解 首先证明 A 中“坏格”不多于 25 个. .由表格的 用反证法.假设结论不成立,则方格表 A 中至多有 1 个小方格不是“坏格” . 对称性,不妨假设此时第 1 行都是“坏格” 设方格表 A 第 i 列从上到下填的数依次为 a i , bi , c i , i = 1,2, L ,9 .记
Sk =

∑ a , T = ∑ (b
i k i =1 i =1

k

k

i

+ c i ), k = 0,1,2, L ,9 ,这里 S 0 = T0 = 0 .

………10 分

我们证明:三组数 S 0 , S1 , L , S 9 ; T0 , T1 , L , T9 及 S 0 + T0 , S 1 + T1 , L , S 9 + T9 都是模 10 的完 全剩余系. 事实上,假如存在 m, n, 0 ≤ m < n ≤ 9 ,使 S m ≡ S n (mod 10) ,则
i = m +1

∑a

n

i

= S n ? S m ≡ 0(mod 10) ,

即第 1 行的第 m + 1 至第 n 列组成一个“好矩形” ,与第 1 行都是“坏格”矛盾. ……20 分 又假如存在 m, n, 0 ≤ m < n ≤ 9 ,使 Tm ≡ Tn (mod 10) ,则
i = m +1

∑ (b

n

i

+ c i ) = Tn ? Tm ≡ 0(mod 10) ,

即第 2 行至第 3 行、 第 m + 1 列至第 n 列组成一个 “好矩形” , 从而至少有 2 个小方格不是 “坏 格” ,矛盾. 类似地,也不存在 m, n, 0 ≤ m < n ≤ 9 ,使 S m + Tm ≡ S n + Tn (mod 10) . 因此上述断言得证.故 …………30 分

∑S
k =0 9

9

k



∑ T ≡ ∑ (S
k k =0 k =0 9 k k =0

9

9

k

+ Tk ) ≡ 0 + 1 + 2 + L + 9 ≡ 5(mod 10) ,
9 k

所以

∑ (S
k =0

k

+ Tk ) ≡

∑ S + ∑T
k =0

≡ 5 + 5 ≡ 0(mod 10) ,

矛盾!故假设不成立,即“坏格”不可能多于 25 个.

………………40 分

,此 另一方面,构造如下一个 3 × 9 的方格表,可验证每个不填 10 的小方格都是“坏格” 时有 25 个“坏格” . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 2 ………………50 分

“坏格”个数的最大值是 25. 综上所述,

2011 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)答案第 4 页(共 4 页)


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