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第一部分专题二第1讲专题强化精练提能

时间:2016-05-30


π π 3π 3 1.已知 cos? +α?= 且 α∈? , ?,则 tan α =( ) 2 ? ?2 ? 5 ?2 4 3 A. B. 3 4 3 3 C.- D.± 4 4 π 3 3 解析:选 B.因为 cos? +α?= ,所以 sin α=- ,显然 α 在第三象限,所以 cos α 5 ?2 ? 5 4 3 =- ,故 tan α= . 5 4 3 2.函数 f(

x)=sin xcos x+ cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) 2 A.π ,1 B.π ,2 C.2π ,1 D.2π ,2 2π π 1 3 解析:选 A.f(x)= sin 2x+ cos 2x=sin?2x+ ?,所以最小正周期为 T= =π,振 2 2 2 3? ? 幅 A=1. π 3.(2015· 邢台市摸底考试)先把函数 f(x)=sin?x- ?的图象上各点的横坐标变为原来的 ? 6? π 1 (纵坐标不变),再把新得到的图象向右平移 个单位长度,得到 y=g(x)的图象.当 2 3 π 3π x∈? , ?时,函数 g(x)的值域为( ) 4 ? ?4 1 3 - ,1? A.?- ,1? B.? ? 2 ? ? 2 ? 3 3 C.?- , ? D.[-1,0) 2 2 ? ? 5π π 3π π π 解析:选 A.依题意得 g(x)=sin?2?x- ?- ?=sin?2x- ?,当 x∈? , ?时,2x 6 ? 4 ? ? ?4 ? ? 3? 6? 5π π 2π 5π 3 3 - ∈?- , ?,sin?2x- ?∈?- ,1?,此时 g(x)的值域是?- ,1?,选 A. 6 ? 3 3 ? 6 ? ? 2 ? ? ? 2 ? π π 4.(2015· 山西省第三次四校联考)已知函数 f(x)=cos?ω x+φ - ??ω >0,|φ |< ?的 2 ?? 2? ? π 部分图象如图所示,则 y=f?x+ ?取得最小值时 x 的取值集合为( ) ? 6?

? ? π A.?x?x=kπ - ,k∈Z? 6 ? ? ? ? ? ? π B.?x x=kπ - ,k∈Z? 3 ? ? ? ? ? ? π C.?x x=2kπ - ,k∈Z? 6 ? ? ? ? ? ? π D.?x x=2kπ - ,k∈Z? 3 ? ? ?

π T 7π π π 解析:选 B.因为 f(x)=cos?ωx+φ- ?=sin(ωx+φ),由题图可知 = - = ,所 4 12 3 4 2? ? 2π π π π 以 ω= =2.又由题图得 sin?2× +φ?=1,即 2× +φ=2kπ+ ,k∈Z,所以 φ=2k 3 2 3 ? ? π π π π π π π- ,k∈Z,又|φ|< ,所以 φ=- ,所以 f(x)=sin?2x- ?,则 y=f?x+ ?= 6 2 6 6? ? ? 6? π π π π π π sin?2?x+ ?- ?=sin?2x+ ?,由 2x+ =- +2kπ,k∈Z,得 x=kπ- ,k∈Z, 6 2 3 6? ? ? ? 6? 6? ? ? π π 所以 y=f?x+ ?取得最小值时 x 的取值集合为?x?x=kπ- ,k∈Z?,故选 B. 3 ? 6? ? ? ? 5.关于函数 y=sin|2x|+|sin 2x|,下列说法正确的是( ) A.是周期函数,周期为π π B.关于直线 x= 对称 4 π 7π C.在?- , ?上的最大值为 3 6 ? ? 3 π π D.在?- ,- ?上是单调递增的 2 4? ? 解析:选 D.由题意,函数的图象如图所示:

π 7π 由图象可知,此函数不是周期函数,关于 x=0 对称,在?- , ?上的最大值为 2, 6 ? ? 3 π π 在?- ,- ?上是单调递增的. 4? ? 2 6.(2015· 长沙模拟)已知函数①y=sin x+cos x,②y=2 2sin xcos x,则下列结论正确的 是( ) π A.两个函数的图象均关于点?- ,0?成中心对称图形 ? 4 ? π B.两个函数的图象均关于直线 x=- 成轴对称图形 4 π π C.两个函数在区间?- , ?上都是单调递增函数 ? 4 4? D.两个函数的最小正周期相同 π 解析:选 C.令 f(x)=sin x+cos x= 2sin?x+ ?,g(x)=2 2sin xcos x= 2sin 2x.对于 A、 ? 4? π π π π B,f?- ?=0,g?- ?=- 2≠0,所以 A、B 都不正确.对于 C,由- +2kπ≤x+ 2 4 ? 4? ? 4? π π 3 π π ≤ +2kπ(k∈Z),得 f(x)的单调递增区间为?- +2kπ, +2kπ?(k∈Z),又由- + 2 2 4 ? 4 ? π π π 2kπ≤2x≤ +2kπ(k∈Z),得 g(x)的单调递增区间为?- +kπ, +kπ?(k∈Z),易知 C 2 4 ? 4 ? 正确.对于 D,f(x)的最小正周期为 2π,g(x)的最小正周期为π,D 不正确.故选 C. 7.(2014· 高考江苏卷)已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π ),它们的图象有一个 π 横坐标为 的交点,则 φ 的值是________. 3 π π 解析:由题意,得 sin?2× +φ?=cos , 3 3 ? ?

π 因为 0≤φ<π,所以 φ= . 6 π 答案: 6 3 ? 8.(2015· 山西省质量检测)已知 f1(x)=sin? ?2π +x?cos x,f2(x)=sin xsin(π +x),若设 f(x) =f1(x)-f2(x),则 f(x)的单调递增区间是________. 解析:由题知,f1(x)=-cos2x,f2(x)=-sin2x,f(x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,令 2x∈[2k π π π, 2kπ+π](k∈Z), 得 x∈?kπ,kπ+ ?(k∈Z), 故 f(x)的单调递增区间为?kπ,kπ+ ? 2? 2? ? ? (k∈Z). π 答案:?kπ ,kπ + ?(k∈Z) 2? ? 9.已知角 φ 的终边经过点 P(1,-1),点 A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω π π >0)图象上的任意两点.若|f(x1)-f(x2)|=2 时,|x1-x2|的最小值为 ,则 f? ?=________. 3 ?2? 2π 解析:结合三角函数图象,可知函数的最小正周期为 ,则 ω=3,因为角 φ 的终边经 3 π 5π π π 2 过点 P(1,-1),所以不妨取 φ=- ,则 f(x)=sin?3x- ?,f? ?=sin =- . 4 4 2 4 2 ? ? ? ? 2 答案:- 2 10.(2015· 郑州市双基过关考试)已知函数 f(x)=sin(x-π ),g(x)=cos(x+π ),有以下命 题: ①函数 y=f(x)g(x)的最小正周期为π ; ②函数 y=f(x)g(x)的最大值为 2; ③将函数 y=f(x) π π 的图象向右平移 个单位后得到函数 y=g(x)的图象;④将函数 y=f(x)的图象向左平移 个 2 2 单位后得到 y=g(x)的图象. 其中正确命题的序号是________. 解析:因为 f(x)=sin(x-π)=-sin x,g(x)=cos(x+π)=-cos x,所以 y=f(x)g(x)=(- 2π 1 1 sin x)(-cos x)= sin 2x,所以函数 y=f(x)g(x)的最小正周期为 =π,最大值为 ,故①对, 2 2 2 π π ②错;将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后得到 y=-sin?x- ?=cos x 的图象,故③ 2 ? 2? π π 错;将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 y=-sin?x+ ?=-cos x 的图象,故④ 2 ? 2? 对. 答案:①④ x 11.(2015· 高考北京卷)已知函数 f(x)=sin x-2 3·sin2 . 2 (1)求 f(x)的最小正周期; 2π (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最小值. 3 ? ? 解:(1)因为 f(x)=sin x+ 3cos x- 3 π =2sin?x+ ?- 3, ? 3? 所以 f(x)的最小正周期为 2π. 2π π π (2)因为 0≤x≤ ,所以 ≤x+ ≤π. 3 3 3 π 2π 当 x+ =π,即 x= 时,f(x)取得最小值. 3 3 2π 2π 所以 f(x)在区间?0, ?上的最小值为 f? ?=- 3. 3 ? ? ? 3 ?

12.设函数 f(x)=2cos2x+sin 2x+a(a∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; π (2)当 x∈?0, ?时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y=f(x)(x∈R)的对称轴方程. 6? ? π 解:(1)f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a= 2sin?2x+ ?+1+a, 4? ? 2π 则 f(x)的最小正周期 T= =π, 2 π π π π 3 且当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)时 f(x)单调递增,即 kπ- π≤x≤kπ+ 2 4 2 8 8 (k∈Z). 3π π 所以?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z)为 f(x)的单调递增区间. 8 8? ? π π 7π π (2)当 x∈?0, ?时, ≤2x+ ≤ , 4 4 12 6? ? π π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,sin?2x+ ?=1. 4 2 8 4? ? 所以 f(x)max= 2+1+a=2?a=1- 2. π π kπ π 由 2x+ =kπ+ 得 x= + (k∈Z), 4 2 2 8 kπ π 故 y=f(x)的对称轴方程为 x= + ,k∈Z. 2 8 13.(2014· 高考湖北卷)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满 足函数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? 3 π 1 π 解:(1)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t? ? 2 12 2 12 ? π π =10-2sin? t+ ?, 12 3? ? π π π 7π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < , 3 12 3 3 π π -1≤sin? t+ ?≤1. ?12 3 ? π π 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; ?12 3 ? π π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. ?12 3 ? 于是 f(t)在[0,24)上的最大值为 12,最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温. π π 由(1)得 f(t)=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? π π 故有 10-2sin? t+ ?>11, ?12 3 ? π π 1 即 sin? t+ ?<- . 2 12 3 ? ? 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < ,即 10<t<18. 6 12 3 6

故在 10 时至 18 时实验室需要降温. π π 3π 14.已知定义在区间?-π , ?上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,当 x≥ 4 4 2 ? ? 时,f(x)=-sin x. (1)作出 y=f(x)的图象;

(2)求 y=f(x)的解析式; (3)若关于 x 的方程 f(x)=a 有解,将方程中的 a 取一确定的值所得的所有解的和记为 Ma,求 Ma 的所有可能的值及相应的 a 的取值范围. 解:(1)y=f(x)的图象如图所示.

π (2)任取 x∈?-π, ?, 4? ? π π 3π 则 -x∈? , ?, 2 2 ? ?4 π 因函数 y=f(x)图象关于直线 x= 对称, 4 π π 则 f(x)=f? -x?,又当 x≥ 时,f(x)=-sin x, 4 ?2 ? π π 则 f(x)=f? -x?=-sin? -x? ?2 ? ?2 ? =-cos x, π -cos x,x∈?-π, ?, 4? ? 即 f(x)= π 3π -sin x,x∈? , ?. 2 ? ?4 π π 2 (3)当 a=-1 时,f(x)=a 的两根为 0, ,则 Ma= ;当 a∈?-1,- ?时,f(x)=a 2 2 2? ? π 2 的四根满足 x1<x2< <x3<x4, 由对称性得 x1+x2=0, x3+x4=π, 则 Ma=π; 当 a=- 时, 4 2 π π 3π 2 f(x)=a 的三根满足 x1<x2= <x3, 由对称性得 x3+x1= , 则 Ma= ; 当 a∈?- ,1?时, 4 2 4 ? 2 ? π f(x)=a 两根为 x1,x2,由对称性得 Ma= . 2 2 综上,当 a∈?-1,- ?时,Ma=π; 2? ? 3π 2 当 a=- 时,Ma= ; 2 4 π 2 当 a∈?- ,1?∪{-1}时,Ma= . 2 ? 2 ?

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