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高一数学教案:苏教版高一数学函数的图象及解析式

时间:2014-06-23


函数(4)——函数解析式
二.教学目的:1.掌握求函数表达式的几种常见方法,如待定系数法、换元法、配凑法等。 三.教学重点:函数表达式的常用求法 四.教学过程: (一)新课讲解: 1.函数的表示法 (1)解析法:用一个等式来表示两个变量之间的函数关系,这个等式叫做函数的解析表达式, 简称解析式。例如: y ? 4.9x2 , A ? ? r , y ? ax2 ? bx

? c (a ? 0) . 说明:① 解析式法的优点是:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便于 用解析式来研究函数的性质; ② 中学里研究的主要是用解析式表示的函数。 (2)列表法:用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法。例如:只要知道了表 2-1-1 中 的某个年份,就能从此表中查得相应的人口数. 说明:列表法的优点是:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。 (3)图象法:用函数图象表示两个变量之间的关系。例如:气象台应用自动记录器,描绘温 度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。 说明:图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况。 例1、 购买某种饮料 x 听,所需钱数为 y 元。若每听 2 元,试分别用解析法、列表法、图
2

象法将 y 表示成 x( x ??1,2,3,4? 的函数,并指出该函数的值域。

?

?

例 2、画函数 f ? x ? ? x 的图象,并求 f ? ?3? , f ?3? , f ? ?1? , f ?1? 的值。

例 3、某市出租汽车收费标准如下:在 3km 以内(含 3km)路程按起步价 7 元收费,超过 3 以外的路程按 2.4 元/km 收费,试写出收费关于路程的函数解析式. 定义:在定义域内不同部他上,有不同的解析表达式,像这样的函数通常叫做分段函数。 注:含绝对值的函数实质上就是分段函数。 练习: 1、画出函数 f ? x ? ? x ? 3 的图象。
2

2、画出函数 f ? x ? ? x x ?1 的图象。 3、画出函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 的图象。

4、已知函数 f ? x ? ? ?

? x x ? 0,
2 ? x x ? 0,

试求 f

? f ? ?2?? 的值。

2.求函数解析式 (1) .待定系数法 例 1. (1)已知一次函数 f ( x ) 满足 f (0) ? 5 ,图象过点 (?2,1) ,求 f ( x ) ; (2)已知二次函数 g ( x) 满足 g (1) ? 1 , g (?1) ? 5 ,图象过原点,求 g ( x) ; (3)已知二次函数 h( x) 与 x 轴的两交点为 (?2, 0) , (3, 0) ,且 h(0) ? ?3 ,求 h( x) ; (4)已知二次函数 F ( x) ,其图象的顶点是 (?1, 2) ,且经过原点, F ( x) . 解: (1)由题意设 f ( x) ? ax ? b , ∵ f (0) ? 5 且图象过点 (?2,1) ,

?b ? 5 ??2a ? b ? 1 ∴ f ( x) ? 2 x ? 5 .
∴?

?a ? 2 ?? ?b ? 5

(2)由题意设 g ( x) ? ax2 ? bx ? c , ∵ g (1) ? 1 , g (?1) ? 5 ,且图象过原点,

?a ? b ? c ? 1 ? ∴ ? a ? b ? c ? ?5 ?c ? 0 ?
∴ g ( x) ? 3x2 ? 2 x .

?a ? 3 ? ∴ ?b ? ? 2 ?c ? 0 ?

(3)由题意设 h( x) ? a( x ? 2)( x ? 3) , 又∵ h(0) ? ?3 ,

1 1 2 1 ∴ h( x ) ? x ? x ? 3 . 2 2 2 2 (4)由题意设 F ( x) ? a( x ? 1) ? 2 ,
∴ ?6a ? ?3 得a ? 又∵图象经过原点, ∴ F (0) ? 0 ,∴ a ? 2 ? 0
2

得 a ? ?2 ,

∴ F ( x) ? ?2 x ? 4 x . 说明:①已知函数类型,求函数解析式,常用待定系数法; ②基本步骤:设出函数的一般式(或顶点式等) ,代入已知条件,通过解方程(组) 确定未知系数。 (2)配凑法与换元法
2 例 2. (1)已知 f ( x) ? x ? 4x ? 3 , f ( x ? 1) ; 2 (2)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ) .

解: (1) f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 4( x ? 1) ? 3 ? x ? 2 x .
2 2

(2)法一配凑法: f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 2 x ?1 ? 2 x
2

? ( x ? 1)2 ? 4 x ?1 ? ( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 3

f ( x) ? x 2 ? 4x ? 3 . 法二换元法:令 x ? 1 ? t ,则 x ? t ? 1 , f (t ) ? (t ?1)2 ? 2(t ?1) ? t 2 ? 4t ? 3 ∴ f ( x) ? x 2 ? 4x ? 3 .
∴ 练习: (1)已知 f (3x) ? 2 x2 ?1 ,求 f ( x ) ; (2)已知 f ( x ? ) ? x ?
2

(答案: f ( x) ?

2 2 x ?1 ) 9

1 ? 1 ,求 f ( x) . (答案: f ( x) ? x2 ? 3 ) x2 说明:①已知 f ( x ) 的解析式,求 f [ g ( x)] 时,把 x 用 g ( x) 代替; y ②已知 f [ g ( x)] 的解析式,求 f ( x ) 时,常用配凑法或换元法。
3.分段函数解析式 例 3.函数在闭区间 [?1, 2] 上的图象如右图所示,则求此函数的解析式。

1 x

1

? x ? 1(?1 ? x ? 0) ? 解: f ( x) ? ? 1 . ? x(0 ? x ? 2) ? ? 2

?1 ?1

0

2 x

4.实际应用问题 例 4.把长为 a 的铁丝折成矩形,设矩形的一边长为 x ,面积为 s ,求矩形面积 s 与一边长 x 的函数关系式。 解:设矩形一边长为 x ,则另一边长为 ∴ s?

1 1 x ? (a ? 2 x) ? ? x 2 ? ax 2 2

1 (a ? 2 x) , 2 a ( x ? (0, ) ) . 2

说明:在解决实际问题时,求出函数解析式后,一定要写出定义域。 五.小结:1.待定系数法求函数解析式的一般方法; 2.配凑法及换元法; 3.实际问题。 六.作业: 补充:

1 ,求 f ( x ) ; x 2 (2)已知 f (1 ? 2 x) ? x ? 4 x ?1 ,求 f (3 ? 4 x) ;
(1)已知 f ( x) ? (3)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ) ; (4)已知 f ( x) ? 3x ? 1 , g ( x) ? 2 x ? 3 ,求 f [ g ( x)] , g[ f ( x)] ; (5)已知 f ( x) ? ax ? b (a ? 0) ,且 af ( x) ? b ? 9 x ? 8 ,求 f ( x ) ; (6)已知 f ( x ) 是一次函数,若 f [ f ( x)] ? 9 x ? 3 ,求 f ( x ) ; (7)已知二次函数 y ? f ( x) ,满足当 x ? 的平方和为 13 ,求 y ? f ( x) 的解析式。

1 时有最大值 25 ,且与 x 轴交点横坐标 2

2 (8)已知 f ( x ) 是二次函数,且 f (2x) ? f (3x ? 1) ? 13x ? 6x ?1 ,求 f ( x ) .

补充:

1 ,求 f ( x ) ; x (2)已知 f (1 ? 2 x) ? x2 ? 4 x ?1 ,求 f (3 ? 4 x) ;
(1)已知 f ( x) ? (3)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ) ; (4)已知 f ( x) ? 3x ? 1 , g ( x) ? 2 x ? 3 ,求 f [ g ( x)] , g[ f ( x)] ; (5)已知 f ( x) ? ax ? b (a ? 0) ,且 af ( x) ? b ? 9 x ? 8 ,求 f ( x ) ; (6)已知 f ( x ) 是一次函数,若 f [ f ( x)] ? 9 x ? 3 ,求 f ( x ) ; (7)已知二次函数 y ? f ( x) ,满足当 x ? 的平方和为 13 ,求 y ? f ( x) 的解析式。

1 时有最大值 25 ,且与 x 轴交点横坐标 2

(8)已知 f ( x ) 是二次函数,且 f (2x) ? f (3x ? 1) ? 13x2 ? 6x ?1 ,求


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