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【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 考点强化课二课件 理 新人教A版


复习导读

正、余弦定理是解三角形的主要工具,高考中主

要考查用其求三角形中的边和角及实现边、角之间的转化; 解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用,高考中可单 独考查,也可以与三角函数、不等式综合考查.

考点一 解三角形与三角恒等变换的综合
【例 1】 (满分 14 分)在△ABC 中,角 A,B,C

所对的边分别 3 6 为 a,b,c.已知 cos B= ,sin(A+B)= ,ac=2 3,求 3 9 sin A 和 c 的值.

3 6 满分解答 在△ABC 中,由 cos B= 3 ,得 sin B= 3 ,(2 分) 因为 A+B+C=π, 6 所以 sin C=sin(A+B)= 9 ,(4 分) 又 sin C<sin B,所以 C<B,可知 C 为锐角, 5 3 所以 cos C= 9 ,(7 分)

所以 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C 6 5 3 3 6 2 2 = 3 × 9 + 3 × 9 = 3 .(10 分) 2 2 3 c csin A a c 由sin A=sin C,得 a= sin C = =2 3c,(12 分) 6 9 又 ac=2 3,∴c=1.(14 分)

?由平方关系公式可得sin B得2分;

?由平方关系公式可求cos C,但注意判断C角为锐角,否则扣1分; ?列出sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.

计算正确得3分;
?在△ABC中,应用正弦定理,列式子,计算正确得2分.

第一步:三角变换得到符合正弦定理或余弦定理的边与角; 第二步:利用正弦定理或余弦定理求所求的边与角; 第三步:代入数据求值; 第四步:查看关键点,易错点.

探究提高

三角恒等变换和解三角形的结合,一般有两种

类型:一是先利用三角函数的平方关系、和角公式等求符 合正、余弦定理中的边与角,再利用正、余弦定理求值; 一是先利用正、余弦定理确定三角形的边角,再代入到三 角恒等变换中求值.

【训练1】 (2015· 江苏卷)在△ABC中,已知AB=2,AC=3, A=60°. (1)求BC的长; (2)求sin 2C的值.

解 (1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos A=4+9 1 -2×2×3×2=7,所以 BC= 7. AB BC (2)由正弦定理知,sin C=sin A,

2sin 60° 21 AB 所以 sin C=BC·sin A= = . 7 7 因为 AB<BC,所以 C 为锐角, 3 2 7 则 cos C= 1-sin C= 1-7= 7 . 21 2 7 4 3 因此 sin 2C=2sin C·cos C=2× 7 × 7 = 7 .
2

考点二 解三角形与三角函数的综合

【例 2】 (2016· 常州调研)设函数

? π? ? ? 2ωx f(x)=sin?ωx+ ?+2sin 2 6? ?

(ω>0),已知函数 f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π.
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c(其中 b 3 <c),且 f(A)=2,△ABC 的面积为 S=6 3,a=2 7,求 b,c 的值.

3 1 解 (1)f(x)= sin ωx+ cos ωx+1-cos ωx 2 2 ? π? 3 1 ? = 2 sin ωx-2cos ωx+1=sin?ωx- ? ?+1. 6 ? ? ∵函数 f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π, ∴函数 f(x)的周期为 2π.∴ω=1. ∴函数 f(x)的解析式为
? π? ? f(x)=sin?x- ? ?+1. 6 ? ?

? π π? 3 ? ? 1 (2)由 f(A)= ,得 sin?A- ?= .又∵A∈(0,π),∴A= . 2 3 6? 2 ? π 1 1 ∵S=2bcsin A=6 3,∴2bcsin 3 =6 3,bc=24, π 2 2 2 2 由余弦定理,得 a =(2 7) =b +c -2bccos 3 =b2+c2-24. ∴b2+c2=52,又∵b<c,解得 b=4,c=6.

探究提高

三角函数和解三角形的结合,一般可以利用

三角变换化简所给函数关系式,再结合正、余弦定理解 三角形.

【训练 2】 (2015· 山东卷)设 f(x)=sin xcos x-cos

2?

? π? ? ?x+ 4 ?. ? ?

(1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. ?A? 若 f ? 2 ?=0,a=1,求△ABC 面积的最大值. ? ? ? π? ? 1+cos?2x+ ? 2? sin 2x ? ? 解 (1)由题意知 f(x)= - 2 2 sin 2x 1-sin 2x 1 = 2 - =sin 2x-2. 2 π π π π 由- 2 +2kπ≤2x≤ 2 +2kπ,k∈Z, 可得- 4 +kπ≤x≤ 4 π 3π +kπ,k∈Z;由 2 +2kπ≤2x≤ 2 +2kπ,k∈Z,

π 3π 可得 4 +kπ≤x≤ 4 +kπ,k∈Z. ? π ? π ? 所以 f(x)的单调递增区间是?- +kπ, +kπ? ?(k∈Z); 4 4 ? ? ?π ? 3π ? ? 单调递减区间是? +kπ, (k∈Z). + k π ? 4 ?4 ? ?A? 1 1 ? ? (2)由 f 2 =sin A-2=0,得 sin A=2, ? ? 3 由题意知 A 为锐角,所以 cos A= . 2 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 可得 1+ 3bc=b2+c2≥2bc, 即 bc≤2+ 3, 且当 b=c 时等号成立. 2+ 3 2+ 3 1 因此2bcsin A≤ 4 .所以△ABC 面积的最大值为 4 .

考点三 解三角形中的最值问题及在实际问题中的应用
【例 3】 (2016· 南京、盐城模拟)已知 f(x)= sin(π-x),x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期及单调增区间; (2)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(A)=- 3,a=3,求 BC 边上的高的最大值.
?3π ? ? 3cos 2x+2sin? +x? ? ? 2 ?

解 (1)f(x)= 3cos 2x-sin

? π? ? 2x=-2sin?2x- ? ?, 3 ? ?

∴f(x)的最小正周期为π, π π 3 令 2kπ+ 2 ≤2x- 3 ≤2kπ+2π(k∈Z),得 5 11 kπ+12π≤x≤kπ+12π(k∈Z), ? 5 11 ? ∴单调递增区间为?kπ+12π,kπ+12π?(k∈Z). ? ?

(2)由 f(A)=- 3得

? π? ? sin?2A- ? ?= 3 ? ?

? π? 3 ? ,又 A∈?0, ? ?, 2 2 ? ?

π ∴A= .由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 3 得 9=b2+c2-bc≥bc,即 bc≤9(当且仅当 b=c 时取等号), 1 1 设 BC 边上的高为 h,由三角形等面积法知2ah=2bcsin A, 3 9 3 得 3h= 2 bc≤ 2 , 3 3 3 3 ∴h≤ 2 ,即 h 的最大值为 2 .

探究提高

解三角形的最值问题常需结合基本不等式求

解,关键是由余弦定理得到两边关系,再结合不等式求 解最值问题.

【训练3】 (2015· 淮安调研)如图,有一景区的 平面图是一半圆形,其中AB长为2 km,C,

D 两 点 在 半 圆 弧 上 , 满 足 BC = CD , 设
∠COB=θ. (1) 现要在景区内铺设一条观光道路,由线段 AB , BC , CD 和 DA组成,则当θ为何值时,观光道路的总长l最长,并求l的最

大值;
(2) 若要在景区内种植鲜花,其中在△AOD 和△BOC 内种满鲜 花,在扇形COD内种一半面积的鲜花,则当θ为何值时,鲜花 种植面积S最大.



? π? ? (1)由题知∠COD=θ,∠AOD=π-2θ,θ∈?0, ? .如图, 2? ? ?

取 BC 的中点 M,连接 OM,则 OM⊥BC,∠BOM= 2 .

θ

所以 BC=2BM=2sin . 2
π-2θ 同理可得 CD=2sin ,AD=2sin =2cos θ. 2 2
? ? θ ? 2θ? 所以 l=2+2sin 2 +2sin 2 +2cos θ=2?1-2sin ?+4sin 2 +2, 2? ? ? ? θ 1? π? ? ?2 ? 即 l=-4?sin - ? +5,θ∈?0, ? . ? 2 2? 2? ? ?

θ

θ

θ

θ

π 所以当 sin 2 =2,即 θ= 3 时,有 lmax=5 km.

θ 1

1 1 (2)S△BOC= sin θ,S△AOD= sin(π-2θ)=sin θcos θ,S 扇形 COD 2 2 1 1 1 =2θ,所以 S=2sin θ+sin θcos θ+4θ, 1 1 1 2 2 所以 S′=2cos θ+cos θ-sin θ+4=4(4cos θ+3)(2cos θ-1). ? π π? ? ? 因为 θ∈?0, ?,令 S′=0,得 θ= 3 ,列表得 2? ?
?π π? π ? ? θ , ?3 3 2? ? ? S′ + 0 - S 单调递增 极大值 单调递减 ? π? ? ? 0 , ? 3? ? ?

π 所以当 θ= 时,面积 S 取得最大值. 3


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