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高一数学必修一,必修二概念


必修一 1.集合中元素的性质 (1)确定性:集合中的元素必须是确定的.即任何一个对象,都能判断它是或者不是某个集合的元素, 二者必居其一. (2)互异性:集合中的任意两个元素都是不同的.即同一个元素在一个集合里不能同时出现. (3)无序性:集合中的元素没有顺序性. 2.元素与集合的关系 (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A ,记作 a ? A ; (2)如果

a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A ,记作 a ? A . 3.集合的表示方法 (1) 列举法:列举法是把集合中元素一一列举出来的方法. (2) 描述法:描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法. (3) 图示法(指文氏图法) 4.集合的分类 (1) 有限集:含有有限个元素的集合. (2) 无限集:含有无限个元素的集合.. 5.集合与集合的关系 有“包含”和“不包含”两种情形. 6.集合相等 若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B 7. 子集的性质 (1)A?A (2)A?B, B?C ?A?C

(3)A?B B?A?A=B (4)A={ a1 , a 2 , a3 ...a n }的所有子集的个数为 2 n ; 8. 空集(1)空集是任何集合的子集,记作: ? ?A (2)空集是任何非空集合的真子集,记作: ? 9. 补集(1)补集的意义: CU A ? x x ? U , 且x ? A (2)补集的特性: CU U ? ? 10.交集:A∩B ={x|x?A 且 x?B} 11.交集、并集的性质 A( A ? ? )

?

?
CU ? CU A? ? A

CU ? ? U

并集: A∪B ={x|x?A 或 x?B}

A? A ? A A? A ? A

A ?? ? ? A ?? ? A

A? B ? B ? A A? B ? B ? A

12. A ? B ? A ? B ? A 13. CU ? A ? B ? ? ?CU A? ? ?CU B ?

A ? B ? A? B ? B
CU ? A ? B ? ? ?CU A? ? ?CU B ?

14. 最基本绝对值不等式|x|< a ,|x|> a ( a >0)的解 (1)|x|< a ,|x|> a ( a >0)的解 一般地,不等式|x|< a ( a >0)的解集{x|- a <x< a } ;
1

不等式|x|> a ( a >0)的解集是{x|x> a ,或 x<- a }. (2)|x|< a ,|x|> a ( a >0)解的几何意义 ①不等式|x|< a ,|x|> a ( a >0)在数轴上分别表示到原点的距离小于、大于 a 的点,如下图所示:

15. | a x+b|<c,| a x+b|>c (c>0)型不等式的解法 (1) | a x+b|<c,| a x+b|>c (c>0)型不等式的解法 ①| a x+b|<c (c>0)型不等式的解法是:先化为不等式组-c< a x+b<c,再由不等式的性质求出原不等 式的解集. ②| a x+b|>c (c>0)型不等式的解法是:先化为 a x+b>c 或 a x+b<-c,再进一步利用不等式性质求出原 不等式的解集. 16.一元二次不等式的解法 17. 复合命题的三种表现形式

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p 或q
真 真 真 假

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p 且q
真 假 假 假

p
真 假

非p 假 真

18. 常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下 正面词语 否 定 至多有一个 至少有两个 等 于 至少有一个 一个也没有 大于(>) 不大于(≤) 任意的 某个 小于(<) 不小(≥) 所有的 某些 是 不是 至多有 n 个 至少有 n+1 个 都是 不都是 任意两个 某两个 一定 不一定

正面词语 否 定

不等于

19.四种命题 (1)用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用 ?p 和 ?q 分别表示 p 和 q 的否定,则四种命题的形式为: 原命题:若 p 则 q 逆命题:若 q 则 p 否命题:若 ?p 则 ?q 逆否命题:若 ?q 则 ?p (2)四种命题的关系:

互逆 原命题(若

p 则q)

逆命题(若 q 则

p)

互 否

互 否

否命题若( ?p 则 ?q )

互逆

逆否命题(若 ?q 则 ?p )

2

注:一个命题 ? 它的逆否命题。当一个命题的真假不易判断时,可转而判断它的逆否命题 20.数量命题中 特称命题的否定是全称命题;全称命题的否定是特称命题. 21.命题的否定与否命题 命题 T:若 p ,则 q 命题 T 的否定: 若 p ,则 ?q ; 命题 T 的否命题: 若 ?p ,则 ?q 22.若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件;若 p ? q ,则 p 是 q 的必要条件; 若 p ? q ,且 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件 23.若 p 是 q 的充分条件,则 ?p 是 ?q 的必要条件 24.证明 p 是 q 的充要条件的步骤 ①充分性:把 p 当作已知条件,结合命题的前提条件,推出 q ②必要性:把 q 当作已知条件,结合命题的前提条件,推出 p 第二章 1. 映射有如下三个特征(A 到 B) (1)A中的任一元素在B中都有象,且象唯一; (2)A中不同的元素在B中可以有相同的象; (3)并不要求B中所有元素在A中都有原象. 2.A= ?a1 , a2 , a3 ??? an ? ,B= ?b1 , b2 , b3 ??? bm ? ,从A到B可以建立 m n 个不同的映射; 3. 函数的表示方法:常用的有解析法、列表法、图象法三种. 4.函数定义域的求法:列方程(组) ,解方程(组).与实际问题有关的函数,其定义域是使函数解析式有 意义且使实际问题有意义的自变量的范围. 5.函数值域的求法 (1) y = k x + b ? 单调性法; (2) y ? a f ( x ) ? bf ( x ) ? c ? 配方法; (4) y ? (5) y ?
2

函数、导数及其应用

ax ? b ? 反表示法;单调性法; cx ? d

a1 x 2 ? b1 x ? c1 (a1 , a 2 ? 0) ? 判别式法;单调性法; a 2 x 2 ? b2 x ? c 2

(6) y ? f ( x) ?

1 ? 判别式法;均值不等式法 ; f ( x)

(7) y ? ax ? b ? m px ? q

? 换元法;单调性法 ;
有界性;

(8)y= a sinx+b;y= a cosx+b ? 6.函数关系

(1)已知 f ? x ? ,求 f ?u ? x ?? 的方法:直接把 f ? x ? 中的 x 换成 u ? x ? 即可; (2)已知 f ?u ? x ?? ,求 f ? x ? 的方法: ①换元法:设 u ? x ? = t ,反解 x ? ? ?t ? ,代入即可求得 f ? x ? ;
3

②配凑法:在 f ?u ? x ?? 中凑出 u ? x ? ,直接将 u ? x ? 换成 x . 7.反函数 把它写成y=f ?1 (x).注: (1)一个函数在其整个定义域内不一定存在反函数,但在某一个区间上有反函数. (2)反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域. (3)反函数有下面两条性质: ①在同一坐标系中,互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称;反之,如果两个函数的图象关于 直线 y=x 对称,那么这两个函数是互为反函数; ②函数与其反函数在各自的定义域上有相同的单调性. ③单调递增函数与其反函数图象的交点必在直线 y=x 上. (4)求反函数的一般步骤是: ①由已知函数 y=f(x),解出 x=f ?1 (y); ②把 x=f ?1 (y)中的 x 与 y 对调,得 y=f ?1 (x); ③写出定义域(即原来函数的值域). 8.奇偶函数的定义 若 f ? x ? 的定义域 I 关于原点对称,(即 x ? I , 则 ? x ? I ),且 f ?? x ? ? f ?x ? (或 f ?? x ? ? ? f ?x ? ),则函 数 f ? x ? 叫偶函数(或奇函数) 9. 奇偶函数的的性质 ① f ? x ? 是奇函数 ? f ? x ? 的图象关于原点对称;

f ? x ? 是偶函数 ? f ? x ? 的图象关于 y 轴对称。
②奇函数在其对称区间上具有相同的单调性; 偶函数在其对称区间上具有相反的单调性。 10.判断函数奇偶性的方法 ① 定义法:定义域关于原点对称与 f ?? x ? ? f ?x ? , f ?? x ? ? ? f ?x ? 结合起来判断; 或定义域关于原点对称与 f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ? f ( x) 是偶函数; f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ? f ( x) 是奇函数 结合起来判断。 ② 图象法:利用图象的对称性判断。 11.有关函数奇偶性的重要结论 ① 若 f ? x ? 是偶函数,则 f ? x ? ? f ? ? x ? ? f

? x ? ? f ?? x ?

② 若 f ? x ? 是奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f(0)=0; ③ 若 f ?x ? ? 0 且 f ? x ? 的定义域关于原点对称,则 f ? x ? 既是奇函数又是偶函数; 12.单调函数的定义 设 A 是 f ? x ? 定义域内的一个区间,对于任意的 x1 , x 2 ? A , ① 若 x1 ? x2 时,有 f ?x1 ? ? f ?x 2 ?,则 f ? x ? 在 A 上为增函数;
4

② 若 x1 ? x2 时,有 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ,则 f ? x ? 在 A 上为减函数; 13.单调性的判定方法 ① 定义法:任取两变量---作差---变形---定号---结论; 14.复合函数单调性 同增异减原则 15. 有关函数单调性的重要结论 ①若 f ?x ?、g ?x ? 都为增(或减)函数,则 f ?x ? ? g ?x ? 为增(或减)函数; 若 f ? x ? 为增函数, g ? x ? 为减函数,则 f ?x ? ? g ?x ? 为增函数; 若 f ? x ? 为减函数, g ? x ? 为增函数,则 f ?x ? ? g ?x ? 为减函数; ②奇函数在其对称的区间上单调性相同,偶函数在其对称的区间上单调性相反; ③互为反函数的两个函数有相同的单调性; 16.图象的变换 ㈠对称变换: ① y ? f ?x ? ② y ? f ?x ? ③ y ? f ?x ? ④ y ? f ?x ?
x轴对称 ?关于 ?? ? ??
y轴对称 ?关于 ?? ? ??

y ? ? f ?x ? y ? f ?? x ?

?关于原点对称 ??? ?? y ? ? f ?? x ?
x轴上方的图象保留,将 x轴下方的图象对称的翻 到x轴上方 ?将 ? ????????????? ?? y ? f ?x ?
保留 y轴右边的图象,,并作 关于 y轴对称图象,去掉 y轴左边的图象

?? y ? f x ⑤ y ? f ?x ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
⑥ y ? f ?x ?
y?x ?关于直线 ??? ?? y ? f ?1

? ?

?x ?

㈡平移变换: y ? f ?x ?

》 0,右移; h《0,左移 ?h ? ?????? y ? f ?x ? h ?

y ? f ?x ?
17 幂的有关概念
n

》 0,上移; k《0,下移 ?k ? ? ? ? ??? y ? f ?x ? ? k

① 正整数指数幂: a ? a ? a ? a ? ? ? a n ? N ② 零指数幂: a ? 1?a ? 0?
0

?

?

?

n个

③ 负整数指数幂: a ④ 正分数指数幂: a ⑤ 负分数指数幂: a

?p

?

1 ?a ? 0, p ? N ?? ap

m n
? m n

? n a m a ? 0, m、n ? N ?,且n ? 1
? 1 a
m n ?

?

?

?a ? 0, m、n ? N ,且n ? 1?

⑥ 0 的正分数指数幂等于 0;0 的负分数指数幂没有意义 18 有理指数幂的性质
5

①a a ? a
r s
r

r ?s

?a ? 0, r、s ? Q? ;② (a r ) s
r

? a rs ?a ? 0, r、s ? Q ?

③ ?ab? ? a b ?a ? 0,b ? 0, r ? Q ?
r

19“指数与对数 ”中的重要公式 ⑴. a ? N ? b ? log a N
b

⑵. log a 1 ? 0 ⑷. log a b ? log c b log c a ⑹. a
log a b

⑶. log a a ? 1 ⑸. log a b. log b a ? 1 (7). log a m b n ? ⑼. log a

?b

n log a b m

⑻. log a MN ? log a M ? log a N ⑽. log a M
n

N ? log a N ? log a M M 1 ⑾. log a n M ? log a M n
20.指数函数的图象及性质 解析式
y ? a x ?a ? 1?

? n log a M

⑿. lg 2 ? lg 5 ? 1

y ? a x ?0 ? a ? 1?

y 图 象 1 o x 1

y

o

x

定义域 值 域 单调性 奇偶性

?? ?,???

?? ?,???

?0,???
在 ?? ?,??? 上是增函数 非奇非偶函数 当 x ? 0 时, 0 ? y ? 1 当 x ? 0 时, y ? 1 当 x ? 0 时, y ? 1

?0,???
在 ?? ?,??? 上是减函数 非奇非偶函数 当 x ? 0 时, y ? 1 当 x ? 0 时, y ? 1 当 x ? 0 时, 0 ? y ? 1

x对 y的
影响

21.对数函数的图象及性质 解析式 图 o
y ? log a x?a ? 1?
y ? log a x?0 ? a ? 1?

y 1 o

y



x

1

x

6

定义域 值 域 单调性 奇偶性

?0,???

?0,???
?? ?,???
在 ?0,??? 上是减函数 非奇非偶函数 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 当 x ? 1时, y ? 0 当 x ? 1时, y ? 0

?? ?,??? 在 ?0,??? 上是增函数
非奇非偶函数 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 当 x ? 1时, y ? 0 当 x ? 1时, y ? 0
?

x对 y的
影响

22.幂函数 y ? x ( (? ? R) 的图像及性质(几种特殊幂函数的性质)幂函数的性质总结 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第 一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非 偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图 象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴. ④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?
q p

q (其中 p, q 互 p
q p

质, p 和 q ? Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x 是偶
q

函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x p 是非奇非偶函数. ⑤图象特征:幂函数 y ? x , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若 x ? 1 ,
?

其图象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线

y ? x 下方.
23.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0)
2

③两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x) 更方便. (3)二次函数图象的性质:

7

①二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?
2

b , 顶点坐标是 2a

(?

b 4ac ? b 2 , ). 2a 4a
b b b 时, ] 上递减,在 [? , ??) 上递增,当 x ? ? 2a 2a 2a

②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?

f min ( x) ?

4ac ? b 2 ; 4a
b b b 时, ] 上递增,在 [? , ??) 上递减,当 x ? ? 2a 2a 2a

当 a ? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ?

f max ( x) ?

4ac ? b 2 . 4a
2

③对于二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M 1M 2 |?| x1 ? x2 |?
2

? . |a|

(4)二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q] 上的最值:可根据抛物线的对称轴与区间的关系, 利用图像法求值域。一般可分为四种情况: “轴定区间定” 、 “轴动区间定” 、 “轴定区间动” 、 “轴动区间动” 。 (5)利用二次函数及一元二次方程求解一元二次不等式如下表: 判别式 ? ? b ? 4ac
2

??0
y o 两相异根
x1、 2 ? ?b ? b 2 ? 4ac 2a

??0
y x o 两等根
x1 ? x 2 ? ? b 2a

??0
y x o 无实数根 x

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 图象
一元二次方程 ? bx ? c ? 0 ?a ? 0? 根

ax 2

ax 2 ? bx ? c ? 0
的解集 ?a ? 0?

?x x〈x 或x〉x ?
1 2

b ? ? ?x x ? ? ? 2 a? ?

R

ax2 ? bx ? c〈0
的解集 ?a ? 0? 24.指数方程的解法 ⑴a ⑶a
f ( x)

?x x 〈x〈x ?
1 2

?

?

? b ? f ( x) ? log a b ? b g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) log a b

⑵a

f ( x)

? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x)
x x

f ( x)

⑷ f (a ) ? 0 ? 令t ? a

8

⑸a

f ( x)

? g ( x) ←图象法 .

25 对数方程的解法 ⑴ log a f ( x) ? b ? f ( x) ? a
b

(2) log a f ( x) ? log a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0

(3) f (log a x) ? 0 ? 令 log a x ? t (4) log a f ( x) ? g ( x) ? 图象法. 26.方程的根与函数的零点 ( 1 ) 函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成 立的实数 x 叫做函 数 y ? f ( x)( x ? D) 的零点。 (2)函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图 象与 x 轴交点的横坐标。即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. (3)函数 y ? f ( x) 零点的求法: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函 ○ 数的性质找出零点. ③(零点存在定理)如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有

f ( a) ? f ( b)? 0,那么函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 这个 c 也就
是方程 f ( x) ? 0 的根. 注意:若函数 y ? f ( x) 在 (a, b) 上有零点,不一定有 f (a) ? f (b) ? 0 . ④(二分法)对于在区间 ? a , b ? 上连续不断且 f ( a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法. 32.三种增长型函数增长速度的比较 在区间 (0, ??) 上 , 函数 y ? a ( a ? 1) y ? loga x (a ? 1) , y ? x (n ? 0) 都是增函数 , 但它们的增长速
x n

度不同.随着 x 的增大, y ? a (a ? 1) 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y ? x (n ? 0) 的增长速度;
x n

而 y ? log a x(a ? 1) 的增长速度则会越来越慢 ,图象逐渐表现为与 x 轴趋于平行.因此,总会存在一个 x0 , 当 x ? x0 时,就有 log a x ? x ? a
n x

必修二 立体几何 1. “有且只有”命题的证明:须先证存在性,再证唯一性. 2.证明直线在平面内的方法:只需证明直线上有两点在平面内. 3.证明点共线的方法:只需证明这些点是两个不重合平面的公共点. 4.证明线共面的方法:先由其中两条平行直线或两条相交直线确定一个平面,再证明其余直线都在这个 平面内. 5.两条直线垂直的判定 定 理(文字语言) 图 形 语 言 符 号 语 言
9

一直线垂直于一个平面, 则这直线垂直于这个平面 内的任意一条直线。 平面内的一条直线,如果 和这平面的一条斜线的射 影垂直,那么它也和这斜 线垂直(三垂线定理) 在平面内的一条直线,如 果和这平面的一条斜线垂 直,那么它也和这斜线的 射影垂直 (三垂线逆定理) 如果一条直线和两条平行 线中的一条直线垂直,那 么也和另一条垂直(不一 定相交) 6. 两条直线平行的判定 定 理(文字语言)

b

?
A

a

b?? ? ??b?a a?? ?
AB ? ? ? ? BC ? b ? ? b ? AC b?? ? ?
AB ? ? ? ? AC ? b ? ? b ? BC b?? ? ?

?
A

B C

b

?

B C l

b

?

a
b

a // b ? ??l ?b l?a ?

图 形 语 言

符 号 语 言

平行于同一条直线的两条 直线平行(平行公理)

a

b

c

a // c ? ? ? a // b b // c ?
a?? ? ? ? a // b b?? ?
? ? a ?? ? ? b // a ? ?? ?b ? ? a // ?

垂直于同一平面的两条直

a
线平行 一条直线平行于一个平面, 则过这条直线的平面与原 平面的交线必平行于这条 直线 如果两个平行平面和第三 个平面相交, 它们的两条交 线互相平行

b

?
a
b

?
?

?

a
b

?

? // ? ? ?? ? a ? ?? ? b

? ? ? ? a // b ? ?

7.直线与平面垂直的判定: 定 理(文字语言) 一条直线和平面内的两条 相交直线都垂直,那么这 直线和这平面垂直 图 形 语 言 c 符 号 语 言

?

a
b

a?? b?? a?b? A c ? a, c ? b

c??

10

两条平行线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条 直线也垂直于这个平面 一条直线垂直于两个平行 平面中的一个平面,则这 条直线也垂直于另一个平 面 如果两个相交平面都垂直 于第三个平面,那么它们 的交线也必垂直于第三个 平面 两个平面互相垂直,那么 在一个平面内垂直于它们 交线的直线,垂直于另一 平面 8.直线和平面平行: 定 理(文字语言) 平面外的一条直线如果和 这个平面内的一条直线平 行,则这条直线平行于这 个平面. 两个平面互相平行 , 那么 其中一个平面内的任何一 条直线都平行于另一个平 面 若平面外的两条平行直线 中有一条和平面平行 , 则 另一条也和这个平面平行 9.两平面平行的判定: 定 理(文字语言) 垂直于同一条直线的两个 平面平行

b

a

?
?
b

a?? ? ?? a // b ? a??

?
?
l

? // ? ? ??b? ? b ?? ?

?
? ?? ? ?? ? ?? ?l
? ?? ? ?? ?b a ?? a??
? ? ??l ?? ? ?

?

a?
b

?

? ? ? ??a ? ? ? ? ?

图 形 语 言 b

符 号 语 言

?

a

a ?? ? ? b ? ? ? ? b // ? a // b ? ?

?
?

b

? // ? ? ? ? b // ? b?? ?
a // ? ? ? a // b ? ? b // ? b?? ? ?
符 号 语 言

a
b

?
图 形 语 言

?
?

b

b?? ? ? ? ? // ? b ?? ?
m n
m?? n ?? ? ? ? ? m ? n ? A ? ? ? // ? ? m // ? ? ? n // ? ?

如果一个平面内的两相交 直线都平行于另一个平 面,则这两个平面平行

?
?

11

如果一个平面内的两相交 直线分别平行于另一个平 面内的两条相交直线 , 则 这两个平面平行

?
?

m n
g h

? ? ? m?n ? A ? ? g ? ? ? ? ? ? // ? h? ? ? g ?h ? B ? ? m // g ? ? n // h ? n ??

m??

?
平行于同一个平面的两个 平面平行

?

?

? // ? ? ? ? ? // ? ? // ? ?

10.两平面垂直的判定: 定 理(文字语言) 一个平面经过另一个平面 的一条垂线 , 那么这两个 平面互相垂直 图 形 语 言 符 号 语 言

?
b

?

b?? ? ??? ? ? b ?? ?

如果两个平面所成的二面 角是直二面角 , 则这两个 平面垂直

?
b

c

a

?

? ?c?? 是 2 ?? ? ?

?

一个平面垂直于两个平行 平面中的一个 , 也必垂直 于另一个

?

?

?

? // ? ? ??? ? ? ? ?? ?

11.①从空间一点 O 出发的三条射线 OA, OB, OC.若 ?AOB ? ?AOC, 则点 A 在平面 BOC 上的射影在 ?BOC 的平分线上, ②AB 和平面 ? 所成的角为 ? 1 .,AD 在平面 ? 内,AD 和 AB 的射影 AC 所成的角为 ? 2 , ?BAD ? ? ,则

cos? ? cos? 1 ? cos? 2
12.空间两点间的距离公式 设 A?x1 , y1 , z1 ?, B?x2 , y 2 , z 2 ? 则 13.向量的模 14 点对称

AB ?

?x1 ? x 2 ?2 ? ? y1 ? y 2 ?2 ? ?z1 ? z 2 ?2

a ? x2 ? y2 ? z 2 ? ? a ? x , y , z 设 ,则

1 ? x,? y,? z ? ; ⑴点 P?x, y, z ? 关于 x 轴的对称点 P

⑵点 P?x, y, z ? 关于 y 轴的对称点 P2 ?? x, y,? z ? ; ⑶点 P?x, y, z ? 关于 z 轴的对称点

P3 ?? x,? y, z ?


12

⑷点 P?x, y, z ? 关于原点的对称点 P4 ?? x,? y,? z ? ; ⑸点 P?x, y, z ? 关于坐标平面 XOY 的对称点 ⑹点 P?x, y, z ? 关于坐标平面 ZOY 的对称点 ⑺点 P?x, y, z ? 关于坐标平面 XOZ 的对称点 1.直线倾斜程度的表示 ⑴倾斜角: ? ? ?0, ? ? ;⑵斜率:非直角的倾斜角的正切值. 斜率与倾斜角的计算: ① k ? tg? (? ?

P5 ?x, y,? z ?

; ;

P6 ?? x, y, z ? P7 ?x,? y, z ?

.

解析几何

?
2

)

已知两点 P 1 ? x1 , y1 ?, P 2 ? x 2 , y 2 ? ,则斜率 k ?

y1 ? y 2 ?x1 ? x2 ? x1 ? x 2
?

若 x1 ? x2 ,则直线 P1 P2 的斜率不存在.此时直线的倾斜角为 90 . 2.直线方程的各种形式 ①斜率不存在,方程为 x ? x0 ( x0 为直线在 x 轴上的截距). ②斜率存在,方程可列表如下 3. 与 直 线 形式 点 斜 式 斜 截 式 方程 适用范围

y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

Ax ? By ? C ? 0( A.B
不同时为 0) 平行的直线 方程的一般 形 式 为

? ? 90

?

y ? kx ? b
x ? x1 y ? y1 ? x 2 ? x1 y 2 ? y1

? ? 90 ?

两 点 式

? ? 90 ? ? ? 0?
? ? 0? ? ? 90 ? 直线不过原点
适用于所有直线

截 距 式

x y ? ?1 a b
Ax ? By ? C ? 0( A.B 不
同时为 0)

Ax ? By ? m ? 0(c ? m)
4. 与 直 线

一般式

Ax ? By ? C ? 0( A.B

不同时为 0)垂直的直线方程的一般形式为 Bx ? Ay ? m ? 0 5.两直线的位置关系 ⑴若 l1 : y ? k1 x ? b1

l 2 : y ? k 2 x ? b2
② l1 与 l 2 重合 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ;
13

① l1 ∥ l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ;

③ l1 与 l 2 相交 ? k1 ? k 2 ;(特殊地, l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 ) ⑵若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,

l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

当 A1 A2 ? B1 B2 ? 0 时, l1 ? l 2 ; 当 A1 B2 ? A2 B1 ? 0 时,且 B1C2 ? B2 C1 , l1 ∥ l 2 6. 点

p( x0 , y 0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为 d ?

Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C 2 A2 ? B 2

7. l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 间的距离为 d ? 8.圆的方程

(x ? a) ? ( y ? b) ? r 标准方程
2 2

2

?展开 ? ?? ?? ?? 配方

一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

圆心 (a, b) ,半径 r
2 2

圆心 (? D ,? E ) 半径 1 D 2 ? E 2 ? 4 F
2 2

2

9.二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示一个圆的充要条件为 ①A?C ?0 ②B ?0 ③ D ? E ? 4 AF ? 0
2 2

10.以 p1 p 2 为直径的圆的方程为 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 其中 p1 ( x1 , y1 ). p 2 ( x2 , y 2 ) 11.点 p( x0 , y 0 ) 与圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的位置关系
2 2

①点 p( x0 , y 0 ) 在圆外, ? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 ②点 p( x0 , y 0 ) 在圆上, ? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 ③点 p( x0 , y 0 ) 在圆内, ? x0 ? y 0 ? Dx 0 ? Ey0 ? F ? 0 12.直线与圆的位置关系 ①设圆心到直线的距离为 d ,圆的半径为 r 则 直线与圆相离 ? d ? r ;直线与圆相切 ? d ? r ;直线与圆相交 ? d ? r ②将直线方程代入圆的方程,化成关于某个变量的一元二次方程,设根的判别式为 ? ,则 与圆相交 , ? ? 0 ? l 与圆相切, ?〈0 ? l 与圆相离 13.过圆 x ? y ? r 上的点 p( x0 , y 0 ) 的圆的切线方程是 x0 x ? y 0 y ? r
2 2 2
2

2

2

2

2

2

2

??0?l

14.过圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 上的点 p( x0 , y 0 ) 的圆的切线方程是
2 2 2

( x0 ? a)( x ? a) ? ( y 0 ? b)( y ? b) ? r 2 .
14

24.常见的圆系方程 ⑴ 过 定 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 和 定 圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 两 交 点 的 圆 系 :
2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ? Ax ? By ? C ? ? 0 ;
⑵ 过 两 定 圆 x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 和 x ? y ? D2 x ? E 2 y ? F2 ? 0 的 交 点 的 圆 系 :
2 2 2 2

x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ,当 ? ? ?1 时,方程表示两圆公共弦所在
直线方程. 25.弦长的计算 ⑴几何方法: 运用圆心距(即圆心到直线的距离)、弦心距及半径构成直角三角形计算 ⑵代数方法: 运用韦达定理及弦长公式 AB ? 1 ? k
2

?

?

x A ? xB

? 1? k 2
26.圆与圆的位置关系

? x A ? x B ?2 ? 4 x A x B
2 2 2

设⊙ C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r1 ?r1 ? 0? ⊙ C 2 : ?x ? a 2 ? ? ? y ? b2 ? ? r2 ?r2 ? 0?
2 2 2

① C1C 2 ? r1 ? r2 ? ⊙ C1 与⊙ C 2 相离; ② C1C 2 ? r1 ? r2 ? ⊙ C1 与⊙ C 2 外切; ③ r1 ? r2 ? C1C 2 ? r1 ? r2 ? ⊙ C1 与⊙ C 2 相交; ④ C1C 2 ? r1 ? r2 ? ⊙ C1 与⊙ C 2 内切; ?r1 ? r2 ? ⑤ C1C 2 ? r1 ? r2

? ⊙ C1 与⊙ C 2 内含;

相 离

外 切

相 交

内 切

内 含

同 心 圆
15

知识框架

一、空间几何体的结构 棱柱 柱体 圆柱 棱锥 锥体 圆锥 棱台 台体 圆台 球体

二、空间几何体的三视图和直观图 中心投影

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

简单组合体

投影 平行投影

三视图 直观图

正视图 侧视图 俯视图 斜二测 画法

三、空间几何体的表面积和体积 圆柱的侧面积:S ? 2? rl 圆锥的侧面积: S ? ? rl 面积 圆台的侧面积: S ? ? ( r ? ? r )l 球的表面积: S ? 4? R 2 柱体的体积: V ? Sh 体积 锥体的体积: V 台体的体积: V 球的体积:
?

?

1 Sh 3
S ?S ? S ) h

1 (S ? ? 3

V ?

4 ? R3 3

16


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