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一次函数,二次函数,反比例函数性质总结

时间:2017-10-25


一次函数、二次函数、反比例函数性质总结
1.一次函数 一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) ,当 x ? 0 时,得到的 y 的值也即 b 叫做图象与坐标 轴的纵截距,当 y ? 0 时,得到的 x 的值,叫做图象与坐标轴的横截距。 (1)当 b ? 0 时,一次函数的解析式变为 y ? kx(k ? 0) ,也称为正比例函数,此 函数图象恒过原点 O(0,0)

,且横,纵截距都为 0。且 k ? 0 时,函数图象过一、三 象限, k ? 0 时,图象过二、四象限。

①k ? 0

y

②k ? 0

y

O

x

O

x

(2)当 b ? 0 时, y ? kx ? b(k ? 0) 的图象及性质为 ① k ? 0, b ? 0 时, 图象过一二,三 象限

y

② k ? 0, b ? 0 时 图象过一、三、四 象限

y

O

x

O

x

③ k ? 0, b ? 0 时, 图象过一、二、四 象限

④ k ? 0, b ? 0 时, 图象过二、三、四 象限

y

y

O

x

O

x

2.二次函数 二次函数的一般形式为 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,且 a 决定开口方向和大小,当 a ? 0 时,抛物线开口向上,有最小值,值域为 [

4ac ? b 2 ,??) 当 a ? 0 ,抛物线开口向下,有最 4a

大值,值域为 (??,

4ac ? b 2 ]。 4a

(1)当 b ? 0, c ? 0 时,函数的解析式变为 y ? ax2 (a ? 0) ,则 ①a ? 0时

y

②a ? 0时

y
O
x

O

x

(2) a , b 决定二次函数的对称轴和开口方向 ①当 a ? 0, b ? 0, c ? 0 时 ② a ? 0, b ? 0, c ? 0 时

y

y

O
③ a ? 0, b ? 0, c ? 0 时

x

O
④ a ? 0, b ? 0, c ? 0 时

x

y
O
x

y
O
x

(3) a, c 决定开口方向和与 y 轴的截距 ① a ? 0, c ? 0, b ? 0 时 ② a ? 0, c ? 0, b ? 0 时

y

y

O
x
④ a ? 0, c ? 0, b ? 0 时

x

O
③ a ? 0, c ? 0, b ? 0 时

y
x

y

O

x

O

(3)对于一般的二次函数, a , b, c 共同来决定其函数图像和性质,故通常采用配方的方法

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
? a( x 2 ? b b b b x) ? c ? a ( x 2 ? x ? ( ) 2 ? ( ) 2 ) ? c a a 2a 2a

? a[(x ?

b 2 b2 b b2 ) ? 2 ] ? c = a( x ? )2 ? ?c 2a 4a 2a 4a

= a( x ?

b 2 4ac ? b2 ) ? 2a 4a

我们称 x ? ?

b b 4ac ? b2 , ) 为二次函数的顶点坐标, 为二次函数的对称轴, 坐标 (? 此时 2a 2a 4a
2

我们也称其解析式为二次函数的顶点式,并可设其解析式为 y ? a( x ? h) ? k (a ? 0) 。若知 道二次函数与 x 轴的两个交点坐标,可设其解析式为 y ? a( x ? x1 )(x ? x2 )(a ? 0) 。 故二次函数的解析式有三种形式 一般式: y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

顶点式: y ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ,顶点坐标 ( x, k )
2

两点式: y ? a( x ? x1 )(x ? x2 )(a ? 0)

3.反比例函数 反比例函数的一般形式为 y ? 时,函数图象过二、四象限。 ①k ? 0 y

k (k ? 0) ,当 k ? 0 时,函数图象过一、三象限,当 k ? 0 x
②k ? 0

y

O

x

O

x

一.选择题 1.如果在一次函数中,当自变量 x 的取值范围是-1< x <3 时, 函数 y 的取值范围 是-2< y <6,那么此函数解析式为( C. y ? 2 x 或 y ? ?2 x ? 4 D. y ? ?2 x 或 y ? 2 x ? 4 ) )A. y ? 2 x B. y ? ?2 x ? 4

2.无论 m 为何实数,直线 y ? x ? 2m 与直线 y ? ? x ? 4 的交点不可能在( A.第三象限 B.第四象限 C.第一象限 D.第二象限

3.已知一次函数 y ? kx ? k , 若 y 随着 x 的增大而减小, 则该函数的图象经过( A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 2 4.已知一次函数 y ? (k ? 2) x ? k ? 4 的图象经过原点,则( ) A、k=±2 B、k=2 C、k= -2 D、无法确定 5.一次函数 y ? kx ? b 的图象如图所示,当 y ? 0 时,x 的取值范围是( A. x ? 0 B. x ? 0 C. x ? 2 D. x ? 2 6.(2007 福建福州)已知一次函数 y ? (a ? 1) x ? b 的图象如图 1 所示,那 么 a 的取值范围是( ) A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 0 D. a ? 0

)
y 3

) O

2

x

第 5 题图

y

O
图1

x

7.(2007 上海市)如果一次函数 y ? kx ? b 的图象经过第一象限,且与 y 轴负半轴相交,那么( ) A. k ? 0 , b ? 0 B. k ? 0 , b ? 0 C. k ? 0 , b ? 0 D. k ? 0 , b ? 0
y ? ?x
A B y 2

8.(2007 陕西)如图 2,一次函数图象经过点 A ,且与正比例函数 y ? ? x 的 图象交于点 B ,则该一次函数的表达式为( A. y ? ? x ? 2 C. y ? x ? 2 B. y ? x ? 2 D. y ? ? x ? 2 )

?1 O

x

9. (2007 浙江湖州) 将直线 y=2x 向右平移 2 个单位所得的直线的解析式是 ( A.y=2x+2 B.y=2x-2 C.y=2(x-2) D.y=2(x+2)



10. (2007 四川乐山) 已知一次函数 y ? kx ? b 的图象如下图 (6) 所示, 当 x ? 1 时,
y 的取值范围是(

) B. ?4 ? y ? 0 C. y ? ?2 D. y ? ?4

A. ?2 ? y ? 0

11.(2007 浙江金华)一次函数 y1 ? kx ? b 与 y2 ? x ? a 的图象如图,则下列结论

① k ? 0 ;② a ? 0 ;③当 x ? 3 时, y1 ? y2 中,正确的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3



3 x+3 与 x 轴、y 轴分别 4 交于 A、B 两点,点 C(0,n)是 y 轴上一点.把坐标平面沿直线 AC 折叠,使 点 B 刚好落在 x 轴上,则点 C 的坐标是( ) 3 4 A.(0, ) B.(0, ) C.(0,3) D.(0,4) 4 3

12.〔2011?日照市〕在平面直角坐标系中,已知直线 y=-

13. (2011?苏州市)如图,已知 A 点坐标为(5,0) ,直线 y ? x ? b(b ? 0) 与 y 轴交 于点 B,连接 AB,∠a=75°,则 b 的值为( A.3
y 0 2 x O 3

) D.
5 3 4

B.

5 3 3
y

C.4

y2 ? x ? a
x

-4 图(6)

y1 ? kx ? b
)

第 11 题

14. y ? m x ? 1 与 y ? 2 x ? 1 的图象交于 x 轴上一点,则 m 为( 1 1 A.2 B. ? 2 C. D. ? 2 2 二、填空题

15.直线 y ? ?2 x 向上平移 3 个单位, 再向左平移 2 个单位后的解析式为________. 16. 函数 y=kx+2,经过点(1 , 3),则 y=0 时,x= . __,与 y 轴的交点坐标

17. 一次函数 y ? 2 x ? 6 的图象与 x 轴的交点坐标是____ 是 __

18. 若一次函数的图象经过点( 2 , -1 ) ,且与直线 y=2x+1 平行 , 则其表达式 为 .
三.解答题

19.已知某一次函数的图象经过点(0, -3),且与正比例函数 y= 点(2,a), 求 : (1)a 的值. (2)k、b 的值. (3)这两个函数图象与 x 轴所围成的三角形面积。

1 x 的图象相交于 2

20.如图,直线 l1 的解析表达式为 y ? ?3x ? 3 ,且 l1 与 x 轴交于点 D ,直线 l2 经过 点 A,B ,直线 l1 , l2 交于点 C . (1)求点 D 的坐标; (2)求直线 l2 的解析表达式; (3)求 △ ADC 的面积; (4)在直线 l2 上存在异于点 C 的另一点 P ,使得 △ ADP 与 △ ADC 的面积相等, 请直接 写出点 P 的坐标. ..
l1 y l2 D 3 A (4,0) B C

O 3 ? 2

x

21 已知抛物线 y ? x ? bx ? c(a ? 0) 与 x 轴交于 A(?1,0) 和 B(3,0) 两点,交 y 轴于点 E.
2

(1)求此抛物线的解析式. (2)若直线 y ? x ? 1 与抛物线交于 A 、 D ,与 y 轴交于点 F ,连接 DE ,,求△ DEF 的面积.

22 如图,已知抛物线与 x 交于 A(-1,0)、E(3,0)两点,与 y 轴交于点 B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为 D,求四边形 AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。

【 045 】 如 图 , 已 知 直 线 y ?

1 x ?1 与 y 轴 交 于 点 A , 与 x 轴 交 于 点 D , 抛 物 线 2

y?

1 2 x ? bx ? c 与直线交于 A、E 两点,与 x 轴交于 B、C 两点,且 B 点坐标为 (1,0)。 2

⑴求该抛物线的解析式; ⑵动点 P 在轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点 P 的坐标 P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点 M,使 | AM ? MC | 的值最大,求出点 M 的坐标。


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