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2013年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题(含答案解析)

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2013 年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题 考生注意:1. 本试卷共五道大题,满分 140 分. 2. 解答书写时不要超过密封线. 一. 填空题(共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分) 1.已知数组 (a1 , a2 ,? , an ) 与 (b1 , b2 ,?, bn ) 都是 1, 2,?, n 的一个排列,则 为 . ? a b 的最大值 i ?1 i i

n 2.若长方体的一条体对角线与从同一顶点出发的三条棱所成的角分别记为 ? , ? , ? ,则 的最小值为 3.已知 x , y 为实数,则 . 的最小值为 . 4. ?ABC 中,三边长分别为 AB ? 7 , BC ? 3 , CA ? 2 ,则 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? 2 BC ? CA ? 3CA ? AB 的值为 5.已知 a , b , 且 . . ,则 a ? b2 ? c3 的最小值为 6.从不超过 2013 的正整数确定的集合 {1, 2,3,?, 2013} 中先后取出两个正整数 a , b ( a , b 可以相 等)组成数对( a , b ),则( a , b )恰为方程 x ? y ? x y 的解的概率为 3 3 2 2 . 7.四棱锥 F ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形,对角线 AC ? 2 , BD ? 2 , AE ? 平面 ABCD , CF ? 平面 ABCD , AE ? 1 , CF ? 2 ,则四棱锥 E ? ABCD 与四棱锥 F ? ABCD 公共部分体积 为 . 8.平面直角坐标系 xOy 中,设 A(?1, ?1) , B , C 是曲线 上不同的两点,且 ?ABC 为正三角形,则它的外接圆面积为 . 二. (本题满分 16 分)证明方程 3x3 ? 9(1 ? 3) x 2 ? 18(1 ? 3) x ? 12 ? 10 3 ? 0 有唯一实根. 三. (本题满分 20 分)已知实数 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三个内角,向量 ? 满足: | ? | ? ?? ? ? 2 ,且 ? ? (cos ? ? ???? ??? ? ???? A? B A? B , 3 sin ) ,若 C 最大时,存在动点 M ,使 | MA | 、 | AB | 、 | MB | 成等差数列,求 2 2 ???? ? | MC | ??? ? | AB | 的最大值. n n 四. (本题满分 20 分)在数列 { xn } 中, xn ? p ? q , p , q ? R , , . (1)求证: (2)指出 ; 的末尾数字,但不必证明. 五.(本题满分 20 分)已知抛物线 点,过 作抛物线 : 、 与直线 : 为切点. 没有公共点,设点 为直线 上的动 的两条切线, 恒过定点 . (1) 证明:直线 (2) 若点 与点 的连线交抛物线 于 、 ,证明: | PM | ? | QN | ? | PN | ? | QM | . 2013 年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题答案 一、 填空题 1、 2、 故 解析:令 且 ,由 , 当且仅当 3、 解析:令 , 时取等号。亦即长方体为正方体时取等号。 ,则 , = 4、 5、 解析:令 , , 有条件知取 ,于是 6、 设 又 由(1)(2)得 当 当 当 当 时, 时, 时, 时, 解析先

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