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2014年高考数学真题汇编(含答案):数列

时间:2015-03-06


2014 年全国高考理科数学试题分类汇编(纯 word 解析版) 十一、数列(逐题详解)
第 I 部分 1.【2014 年重庆卷(理 02) 】对任意等比数列 {an } ,下列说法一定正确的是(



A.a1 , a3 , a9 成等比数列 C.a2 , a4 , a8 成等比数列
【答案】D

>B.a2 , a3 , a6 成等比数列 D.a3 , a6 , a9 成等比数列

【解析】设 {an } 公比为 q ,因为

a6 a ? q 3 , 9 ? q 3 ,所以 a3 , a6 , a9 成等比数列,选择 D a3 a6

2. 【2014 年福建卷 (理 03) 】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=2, S3=12, 则 a6 等于 ( A.8 B.10 C.12 D.14



【答案】C 【解析】由题意可得 S3=a1+a2+a3=3a2=12,解得 a2=4,∴公差 d=a2﹣a1=4﹣2=2, ∴a6=a1+5d=2+5×2=12,故选:C.

3. 【2014 年辽宁卷 (理 08) 】 设等差数列 {an } 的公差为 d, 若数列 {2 1 n } 为递减数列, 则 ( A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0

aa



【答案】C 【解析】∵等差数列{an}的公差为 d,∴an+1﹣an=d,又数列{2 ∴ = <1,∴a1d<0.故选:C }为递减数列,

4.【2014 年全国大纲卷(10) 】等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项
1

和等于( A.6 【答案】C

) B.5 C.4 D.3

【解析】∵等比数列{an}中 a4=2,a5=5,∴a4?a5=2×5=10,∴数列{lgan}的前 8 项和 4 S=lga1+lga2+?+lga8=lg(a1?a2?a8)=lg(a4?a5) =4lg(a4?a5)=4lg10=4 故选:C

第 II 部分

il 5. 【2014 年上海卷 (理 08) 】 设无穷等比数列 ?an ? 的公比为 q , 若 a1 ?m
则q ? 【答案】 q ? .

n ??

a ? ?3 a 4

? a?

n

?,

5 ?1 2 5 ?1 a3 a q2 ?1 ? 5 , ∵ 0 ? q ? 1, ∴q ? ? 1 ? q2 ? q ?1 ? 0 ? q ? 2 1? q 1? q 2

【解析】 :a1 ?

6.【2014 年广东卷(理 13) 】若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 , 则 ln a1 ? ln a2 ? 【答案】 50 【解析】由题意得, a10 a11 ? a9 a12 ? a1a20 ? e5 ,又∵ an ? 0 , ∴ ln a1 ? ln a2 ?

? ln a20 ?



? ln a20 = ln(a1a2

a20 ) = ln(a1a20 )10 = 10 ? ln e5 = 50 .

7.【2014 年北京卷(理 12) 】若等差数列 ?an ? 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当

n ? ________时 ?an ? 的前 n 项和最大.

【答案】8 【解析】由等差数列的性质可得 a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0,又 a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0, ∴等差数列{an}的前 8 项为正数,从第 9 项开始为负数,∴等差数列{an}的前 8 项 和最大,故答案为:8

2

8. 【2014 年江苏卷 (理 07) 】 在各项均为正数的等比数列 {an } 中, 若 a2 ? 1,a8 ? a6 ? 2a2 , 则 a 6 的值是 .

【答案】4 【解析】根据等比数列的定义, a8 ? a2q6 , a6 ? a2 q 4 , a4 ? a2q 2 ,所以由 a8 ? a6 ? 2a2 得

a2 q 6 ? a2 q 4 ? 2a2 q 2 ,消去 a2 q 2 ,得到关于 q 2 的一元二次方程 (q 2 )2 ? q 2 ? 2 ? 0 ,解得 q 2 ? 2 , a6 ? a2q 4 ? 1? 22 ? 4
9.【2014 年天津卷 (理 11) 】设 {an } 是首项为 a1 , 公差为 ?1的等差数列,Sn 为其前 n 项和, 若 S1 、 S2 、 S4 成等比数列,则 a1 的值为____________. 【答案】 -

1 2
2

【解析】依题意得 S22 = S1S4 ,所以 (2a1 - 1) = a1 (4a1 - 6) ,解得 a1 = -

1 . 2

10. 【2014 年安徽卷 (理 12) 】 数列 {an } 是等差数列, 若 a1 ? 1, a3 ? 3, a5 ? 5 构成公比为 q 的等比数列,则 q ? _________. 【答案】1 【解析】由题意得 (a3 ? 3) 2 ? (a1 ? 1)(a5 ? 5) ? a3 ? 6a3 ? 9 ? a1a5 ? 5a1 ? a5 ? 5 设 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入上式得 d ? ?1 ? an ? n ? a1 ? 1 ?
2

y

a1 ? 1 ? a3 ? 3 ? a5 ? 5 ,故公比 q ? 1

4
3

A2

A1

1 A0
O

1

2

x

第 III 部分 11.【2014 年重庆卷(理 22) 】设 a1
2 ? 1, an?1 ? an ? 2an ? 2 ? b(n ? N *)

3

(1)若 b ? 1 ,求 a2 , a3 及数列 {an } 的通项公式; (2)若 b ? ?1 ,问:是否存在实数 c 使得 a2 n 结论. 解: (1)当 b ? 1 时 an?1 ? 1 ?
2 an ? 2an ? 2 ? 0 ,平方变形为:

? c ? a2 n?1 对所有 n ? N * 成立?证明你的

? an?1 ? 1?

2

? (an ? 1)2 ? 1 ,故 ?(an ? 1) 2 ? 为等差数列,首项为 0 ,公差为1,

故 (an ?1)2 ? n ?1 ? an ? n ?1 ? 1 ,故 a2 ? 2, a3 ? 2 ? 1 (2)此时 an ?1
2 ? an ? 2an ? 2 ? 1,当 x2 ? 2 x ? 2 ?1 ? x 时求得不动点 x ? ,计算

1 4

前几项得 a1 ? 1, a2 ? 0, a3 ? 2 ?1, 发现 0 ? a2 ? 强结论 0 ? a2 n

1 1 ? a3 ? 1 ,猜测存在 c ? 。下面证明加 4 4

?

1 ? a2 n?1 ? 1 。 4

当 n ? 1 时已经验证结论成立。 假设 0 ? a2 k

?

1 ? a2 k ?1 ? 1(k ? 1, k ? N * ) , 则由 f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ?1 在 [0,1) 上单调 4
1 1 ? a2 k ?2 ? 0 ,即 0 ? a2 k ? ? a2 k ?1 ? 1 也是成立的。 4 4 1 ? a2 n?1 ? 1 对任意 n ? N * 成立。 4

递减可知:

2 ? 1 ? a2 k ?1 ?
?

由数学归纳法可知 0 ? a2 n 所以存在常数 c ?

1 满足题意。 4

12.【2014 年湖南卷(理 20) 】(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , | an?1 ? an |? p n , n ? N * . (1)若 {an } 是递增数列,且 a 1 , 2 a 2 , 3a 3 成等差数列,求 p 的值; (2)若 p ?

1 ,且 {a 2 n?1} 是递增数列,是 {a 2 n } 递减数列,求数列 {an } 的通项公式. 2

解: (1)因为 {an } 是递增数列,所以 an?1 ? an ?| an?1 ? an |? p n ,而 a1 ? 1 ,因此

a2 ? 1 ? p , a3 ? 1 ? p ? p 2 ,又 a 1 , 2 a 2 , 3a 3 成等差数列,所以

4

4a2 ? a1 ? 3a3 ,因而 3 p 2 ? p ? 0 ,解得 p ?

1 或 p ? 0, 3 1 . 3

但当 p ? 0 时, a n?1 ? a n ,与 {an } 是递增数列相矛盾,故 p ?

(2) 由于 {a 2 n?1} 是递增数列,因而 a2n?1 ? a2n?1 ? 0 ,于是

(a2n?1 ? a2n ) ? (a2n ? a2n?1 ) ? 0




1 1 ? 2 n ?1 ,所以 | a2n?1 ? a2n |?| a2n ? a2n?1 | 2n 2 2



则①②可知, a2n ? a2 n?1 ? 0 ,因此 a 2 n ? a 2 n ?1 ? 因为是 {a 2 n } 递减数列,同理可得 a2n?1 ? a2n ? 0 , 故 a 2 n ?1 ? a 2 n ? ?

1 2 2 n ?1

?

(?1) 2 n , 2 2 n ?1



1 (?1) 2 n ?1 ? , 2 2n 2 2n



(?1) n ?1 由③④即得 a n ?1 ? a n ? . 于是 2n an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 )

1 1 (?1) n ? 2 ? ? ? n?1 2 2 2 1 1 n ?1 [(1 ? (? ) ] 4 1 (?1) n 2 2 ? 1? ? ? ? n ?1 . 1 3 3 2 1? 2 4 1 (?1) n 故数列 {an } 的通项公式为 a n ? ? ? n ?1 3 3 2 ? 1?

(n ? N *).

13.【2014 年全国大纲卷(18) 】 (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 10 , a 2 为整数,且 Sn ? S4 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

5

解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,而 a1 ? 10 ,从而有 an ? 10 ? (n ?1)d 若 d ? 0 , Sn ? 10n ,此时 S n ? S 4 不成立 若 d ? 0 ,数列 {an } 是一个单调递增数列, Sn 随着 n 的增大而增大,也不满足 S n ? S 4 当 d ? 0 时,数列 {an } 是一个单调递减数列,要使 S n ? S 4 ,则须满足 ?

?a5 ? 0 即 ?a4 ? 0

?10 ? 4d ? 0 10 5 ? ? ? d ? ? ,又因为 a2 ? a1 ? d 为整数,所以 d ? Z ,所以 d ? ?3 ? 3 2 ?10 ? 3d ? 0 此时 an ? 10 ? 3(n ?1) ? 13 ? 3n
(2)由(1)可得

1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? )? an an ?1 (13 ? 3n)(10 ? 3n) (3n ? 13)(3n ? 10) 3n ? 13 3n ? 10 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (? )) ? (? ? (? )) ? ? ( ? )? 所以 Tn ? (? 3 10 7 3 7 4 3n ? 13 3n ? 10 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ? ( ? ) ? (? ) ? (? ) ? ? ? ) ? (? ? )?? 3 10 7 7 4 3n ? 13 3n ? 10 3 10 3n ? 10 10(3n ?10) bn ?
.

14.【2014 年山东卷(理 19) 】(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {a n } 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列。 (I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)令 bn = (?1) n ?1

4n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an an ?1

解: (I) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4

解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 (II) bn ? (?1) n ?1

4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1
6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为奇数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1

? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1

15.【2014 年四川卷(理 19) 】设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2 的
x

图象上( n ? N * ) 。 (1)若 a1 ? ?2 ,点 (a8 , 4b7 ) 在函数 f ( x) 的图象上,求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (2)若 a1 ? 1 ,函数 f ( x) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ? 数列 {

1 ,求 ln 2

an } 的前 n 项和 Tn 。 bn
x
a

解: (1)点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2 的图象上,所以 bn ? 2 n ,

又等差数列 {an } 的公差为 d 所以

bn ?1 2an?1 ? an ? 2an?1 ? an ? 2d bn 2
a8

因为点 (a8 , 4b7 ) 在函数 f ( x) 的图象上,所以 4b7 ? 2

? b8 ,所以

2d ?

b8 ?4?d ?2 b7
n(n ? 1) d ? ?2n ? n 2 ? n ? n 2 ? 3n 2

又 a1 ? ?2 ,所以 S n ? na1 ?

(2)由 f ( x) ? 2 ? f ?( x) ? 2 ln 2
x x

函数 f ( x) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线方程为 y ? b2 ? (2 2 ln 2)( x ? a2 )
a

所以切线在 x 轴上的截距为 a2 ?

1 1 1 ,从而 a2 ? ,故 a2 ? 2 ? 2? ln 2 ln 2 ln 2
7

从而 an ? n , bn ? 2n ,

an n ? bn 2n
1 1 2 3 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 n 1 n n?2 ? n ? n ?1 ? 1 ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 2 2 2 2 2

1 2 3 n ? 2? 3? ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 2 2 2 2 n?2 故 Tn ? 2 ? n 2 Tn ?

16.【2014年天津卷(理19) 】 (本小题满分14分) 已知 q 和 n 均为给定的大于1的自然数,设集合 M ? {0 , 1 , 2 ,..., q ? 1} ,集合

A ? {x | x ? x1 ? x2q ? ... ? xn q n?1 , xi ? M , i ? 1 , 2 ,..., n} . ⑴当 q ? 2 , n ? 3 时,用列举法表示集合 A ;
⑵设 s 、 t ? A , s ? a1 ? a2q ? ... ? an q n ?1 , t ? b1 ? b2 q ? ... ?bn q n ?1 ,其中 ai 、 bi ? M ,

i ? 1 , 2 ,..., n .证明:若 an ? bn ,则 s ? t .
解:(1)当 q=2,n=3 时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·2 ,xi∈M,i=1,2, 3},可得 A={0,1,2,3,4,5,6,7}. n-1 n-1 (2)证明:由 s,t∈A,s=a1+a2q+?+anq ,t=b1+b2q+?+bnq ,ai,bi∈M,i =1,2,?,n 及 an<bn,可得 s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+?+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1 n-2 n-1 ≤(q-1)+(q-1)q+?+(q-1)q -q (q-1)(1-q = 1-q =-1<0, 所以 s<t.
n-1
2

) n-1 -q

17.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 17) 】(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,

a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数.
(Ⅰ)证明: an?2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

【解析】 :(Ⅰ)由题设 an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 ,两式相减

an?1 ? an?2 ? an ? ? ?an?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?
8

????6 分

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ?1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列:由 an? 2 ? an ? 4 知 数列奇数项构成的数列 ?a2 m?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2 m?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 则 m ?

n ?1 ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m ? 1) 2

数列偶数项构成的数列 ?a2 m ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2m ? 4m ? 1 令 n ? 2m, 则 m ?

n ,∴ an ? 2n ? 1 (n ? 2m) 2
*

∴ an ? 2n ? 1( n ? N ) , an?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列. ???12 分

18.【2014 年全国新课标Ⅱ(理 17) 】 (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1. (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

(1)由 am?1 ? 3am ? 1 得 am ?1 ?

1 1 ? 3(am ? ). 2 2 1 3 1 3 又 a1 ? ? ,所以,{ am ? } 是首项为 ,公比为 3 的等比数列。 2 2 2 2
am ? 1 3 3m ? 1 = ,因此{ an }的通项公式为 am = 2 2 2
m

(2)由(1)知

2 1 = m am 3 ? 1
m

m?1 因为当 n ? 1 时, 3 ? 1 ? 2 ? 3 , 所以,

1 1 ? 3 ? 1 2 ? 3m ?1
m

于是,

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 ? 1? ? am 3

?

1 3
m ?1

=

3 1 3 (1 ? m ) ? 2 3 2

9

所以,

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3 ? am 2

19.【2014 年江苏卷(理 20) 】设数列{错误!未找到引用源。}的前 n 项和为错误!未找到 引用源。.若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得错误!未找到引用源。 ,则称{错误! 未找到引用源。}是“H 数列。 ” (1)若数列{错误!未找到引用源。}的前 n 项和错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。 (n 错误!未找到引用源。 ) ,证明:{错误!未找到引用源。}是“H 数 列” ; (2)设数列{错误!未找到引用源。}是等差数列,其首项错误!未找到引用源。=1. 公差 d 错误!未找到引用源。0.若{错误!未找到引用源。}是“H 数列” ,求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列{错误!未找到引用源。},总存在两个“H 数列” {错 误!未找到引用源。} 和{错误!未找到引用源。},使得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (n 错误!未找到引用源。 )成立。 (1)证明:∵错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (n 错误!未找到引用源。 ) ,又错误!未找 到引用源。=错误!未找到引用源。=2=错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用源。 (n 错误!未找到引用源。 ) 。 ∴存在 m=n+1 使得错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。=1+(n-1)d ,若{错误!未找到引用源。}是“H 数列”则对 任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得错误!未找到引用源。 。错误!未找到引用源。=1+ (m-1)d 成立。化简得 m=错误!未找到引用源。 +1+错误!未找到引用源。 ,且 d 错误! 未找到引用源。0 又 m 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。d 错误!未 找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。为整数。 (3)证明:假设成立且设错误!未找到引用源。都为等差数列,则 n 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+(错误! 未找到引用源。-1)错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。+1, ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 )同理错 误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 ) 取错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=k 由题错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+(错误!未找到引用源。-1)错误! 未找到引用源。+错误!未找到引用源。+(错误!未找到引用源。-1)错误!未找 到引用源。 =(错误!未找到引用源。 )+(n-1) (错误!未找到引用源。 )=(n+k-1)错误!未 找到引用源。 ) 可得{错误!未找到引用源。}为等差数列。即可构造出两个等差数列{错误!未找到 引用源。} 和{错误!未找到引用源。}同时也是“H 数列”满足条件。

20.【2014 年北京卷(理 20) 】 (本小题 13 分)

10

对于数对序列 P(a1 , b1 ),(a2 , b2 ),

,(an , bn ) ,记 T1 ( P) ? a1 ? b1 , ? ak }(2 ? k ? n) ,其中
? ak 两个数中最大的数,

Tk ( P) ? bk ? max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ?

? ak }表示 Tk ?1 ( P) 和 a1 ? a2 ?

(1)对于数对序列 P(2,5), P(4,1) ,求 T1 ( P), T2 ( P) 的值. (2)记 m 为 a, b, c, d 四个数中最小值,对于由两个数对 (a, b),(c, d ) 组成的数对序列

P(a, b),(c, d ) 和 P '(a, b),(c, d ) ,试分别对 m ? a 和 m ? d 的两种情况比较 T2 ( P) 和
T2 ( P ') 的大小.
(3) 在由 5 个数对 (11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6) 组成的所有数对序列中, 写出一个 数对序列 P 使 T5 ( P) 最小,并写出 T5 ( P) 的值.(只需写出结论).

解: (I) T1 ( P) ? 2 ? 5 ? 7

T1 (P) ? 1? max ?T1 (P),2 ? 4? ? 1 ? max ?7,6? =8
(Ⅱ) T2 ( P ) ? max ?a ? b ? d , a ? c ? d?

T2 ( P ') ? max ?c ? d ? b, c ? a ? b? .
当 m=a 时, T2 ( P ') = max ?c ? d ? b, c ? a ? b? = c ? d ? b 因为 c ? d ? b ? c ? b ? d ,且 a ? c ? d ? c ? b ? d ,所以 T2 ( P ) ≤ T2 ( P ') 当 m=d 时, T2 ( P ') ? max ?c ? d ? b, c ? a ? b? ? c ? a ? b 因为 a ? b ? d ≤ c ? a ? b ,且 a ? c ? d ? c ? a ? b 所以 T2 ( P ) ≤ T2 ( P ') 。 所以无论 m=a 还是 m=d, T2 ( P ) ≤ T2 ( P ') 都成立。 (Ⅲ)数对序列 P : (4,6) , (11,11) , (16,11) , (11,8) , (5,2)的 T5 ( P ) 值最小,

T1 ( P) =10, T2 ( P ) =26, T3 ( P ) =42, T4 ( P ) =50, T5 ( P ) =52

11

21.【2014 年广东卷(理 19) 】 (本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 和为 S n ,满足

Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n, n ? N * ,且 S3 ? 15 ,
(1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式。 【解析】 S2 ? 4a3 ? 20 , S3 ? S2 ? a3 ? 5a3 ? 20 ,又 S3 ? 15 ,

? a3 ? 7 , S2 ? 4a3 ? 20 ? 8 ,又 S2 ? S1 ? a2 ? (2a2 ? 7) ? a2 ? 3a2 ? 7 , ? a2 ? 5 , a1 ? S1 ? 2a2 ? 7 ? 3 ,
综上知 a1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 7 ; (2)由(1)猜想 an ? 2n ? 1,下面用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,结论显然成立; ②假设当 n ? k ( k ? 1 )时, ak ? 2k ? 1 , 则 Sk ? 3 ? 5 ? 7 ? (2k ? 1) ?

3 ? (2k ? 1) 2 ? k ? k (k ? 2) ,又 Sk ? 2kak ?1 ? 3k ? 4k , 2

?k (k ? 2) ? 2kak ?1 ? 3k 2 ? 4k ,解得 2ak ?1 ? 4k ? 6 ,
? ak ?1 ? 2(k ? 1) ? 1 ,即当 n ? k ? 1 时,结论成立;
由①②知, ?n ? N*, an ? 2n ? 1 .

22.【2014 年湖北卷(理 18) 】已知等差数列 {a n } 满足: a 1 =2,且 a1 , a2 , a 3 成等比数列. (1) 求数列 {a n } 的通项公式. (2) 记 Sn 为数列 {a n } 的前 n 项和, 是否存在正整数 n , 使得 Sn ? 60n ? 800? 若存在, 求 n 的最小值;若不存在,说明理由. (Ⅱ)根据 {an } 的通项公式表示出 {an } 的前错误!未找到引用源。项和公式错误!未找到 引用源。,令 S n ? 60n ? 800 ,解此不等式。 【解析】 (1)设数列 {a n } 的公差为 d ,依题意, d, 2 ? d, 2 ? 4d 成等比数列,故有

(2 ? d)2 ? 2(2 ? 4d)

12

2 化简得 d ? 4d ? 0 ,解得 d ? 0 或 d ? 4

当 d ? 0 时, a n ? 2 当 d ? 4 时, a n ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 从而得数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 2 或 a n ? 4n ? 2 。 (2)当 a n ? 2 时, Sn ? 2n 。显然 2n ? 60n ? 800 此时不存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n ? 800 成立。 当 a n ? 4n ? 2 时, S n ?
2

n[2 ? (4 n ? 2)] ? 2n 2 2
2

令 2n ? 60n ? 800 ,即 n ? 30n ? 400 ? 0 , 解得 n ? 40 或 n ? ?10 (舍去) , 此时存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n ? 800 成立, n 的最小值为 41。 综上,当 a n ? 2 时,不存在满足题意的 n ; 当 a n ? 4n ? 2 时,存在满足题意的 n ,其最小值为 41。 23.【2014 年江西卷(理 17) 】 (本小题满分 12 分) 已 知 首 项 都 是 1 的 两 个 数 列 (1) 令 (2) 若 ,求数列 ,求数列 . 的通项公式; 的前 n 项和 .



), 满 足

【解析】(1) an bn ?1 ? an ?1bn ? 2bn ?1bn ? 0, bn ? 0 同时除以 bn ?1bn ,得到
an an?1 ? ? 2 ? 0 ????????????????????2 分 bn bn?1

?

an ?1 an ? ? 2 即: cn ?1 ? cn ? 2 ????????????????????3 分 bn ?1 bn
a1 ? 1 ,公差为 2 的等差数列?????????????4 分 b1

所以, ?cn ? 是首项为

所以, cn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ????????????????????5 分 (2)
cn ? an ? 2n ? 1 ,? an ? ? 2n ? 1? 3n ?1 ???????????????6 分 bn

13

? Sn ? 1? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? 34 ? ?3Sn ? 1? 33 ? 3 ? 34 ? 5 ? 35 ?

? ? 2n ? 3? ? 3n ? ? 2n ? 1? ? 3n ?1 ? ? 2n ? 3? ? 3n?1 ? ? 2n ? 1? ? 3n? 2 ?????????9 分

两式相减得:
?2Sn ? 32 ? 2 ? ?33 ? 34 ? ? 3n?1 ? ? ? 2n ?1? ? 3n?2 ? ?18 ? ? 2n ? 2? ? 3n?2 ???????11 分

? Sn ? 9 ? ? n ? 1? ? 3n ? 2 ???????12 分

24.【2014 年上海卷(理 23) 】(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分, 第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? 3an , n ? N , a1 ? 1 .
*

1 3

(1) 若 a2 ? 2 , a3 ? x , a4 ? 9 ,求 x 的取值范围; (2) 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,Sn ? a1 ? a2 ? 求 q 的取值范围; (3) 若 a1 , a2 ,

1 * ? an . 若 S n ? S n ?1 ? 3S n ,n ? N , 3

, ak 成等差数列,且 a1 ? a2 ? , ak 的公差.

? ak ? 1000 ,求正整数 k 的最大值,以及

k 取最大值时相应数列 a1 , a2 ,
1 3 综上可得 3 ? x ? 6 ;

【解析】 : (1)依题意, a2 ? a3 ? 3a2 ,∴

2 1 ? x ? 6 ,又 a3 ? a4 ? 3a3 ,∴ 3 ? x ? 27 , 3 3 1 ?q?3 3

(2)由已知得 an ? q n?1 ,又 a1 ? a2 ? 3a1 ,∴ 当 q ? 1 时, Sn ? n , 当 1 ? q ? 3 时, Sn ?

1 3

1 n Sn ? Sn ?1 ? 3Sn ,即 ? n ? 1 ? 3n ,成立 3 3

qn ?1 1 1 qn ? 1 q n ?1? 1 qn ? 1 , S n ? S n ?1 ? 3S n , 即 , ? ?3 q ?1 3 3 q? 1 q 1 ? q 1?



?3qn?1 ? qn ? 2 ? 0 1 q n?1 ? 1 ,∵ q ? 1 , ? n ? 3 ,此不等式即 ? n?1 n 3 q ?1 ?q ? 3q ? 2 ? 0
n?1

∴ 3q

? qn ? 2 ? qn (3q ?1) ? 2 ? 2qn ? 2 ? 0 ,
n?1

对于不等式 q

? 3qn ? 2 ? 0 ,令 n ? 1 ,得 q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得1 ? q ? 2 ,

又当 1 ? q ? 2 时, q ? 3 ? 0 ,
14

∴ qn?1 ? 3qn ? 2 ? qn (q ? 3) ? 2 ? q(q ? 3) ? 2 ? (q ?1)(q ? 2) ? 0 成立, ∴1 ? q ? 2



1 1 ? qn 1 1 1 ? q n 1 ? q n ?1 1 ? q n ? q ? 1 时, , S n ? S n ?1 ? 3S n , 即 Sn ? ? ?3 3 1? q 3 31 ? q 1 ? q 1 q ?



即?

?3qn?1 ? qn ? 2 ? 0
n ?1 n ?q ? 3q ? 2 ? 0

, 3q ? 1 ? 0, q ? 3 ? 0

∵ 3qn?1 ? qn ? 2 ? qn (3q ?1) ? 2 ? 2qn ? 2 ? 0

qn?1 ? 3qn ? 2 ? qn (q ? 3) ? 2 ? q(q ? 3) ? 2 ? (q ?1)(q ? 2) ? 0
1 ? q ? 1 时,不等式恒成立 3 1 综上, q 的取值范围为 ? q ? 2 3
∴ (3)设公差为 d ,显然,当 k ? 1000, d ? 0 时,是一组符合题意的解, ∴ kmax ? 1000 ,则由已知得 ∴?

1 ? (k ? 2)d ? 1 ? (k ? 1)d ? 3[1 ? (k ? 2)d ] , 3

? (2k ? 1)d ? ?2 2 2 ,d ? ? ,当 k ? 1000 时,不等式即 d ? ? , 2k ? 1 2k ? 5 ?(2k ? 5)d ? ?2
2 k (k ? 1)d ? 1000 , , a1 ? a2 ? ... ? ak ? k ? 2k ? 1 2

∴d ? ?

∴ k ? 1000 时, d ?

2000 ? 2k 2 ?? , k (k ? 1) 2k ? 1

解得 1000 ? 999000 ? k ? 1000 ? 999000 ,∴ k ? 1999 , ∴ k 的最大值为 1999 ,此时公差 d ?

2000 ? 2k 1998 1 ?? ?? k (k ? 1) 1999 ?1998 1999

25.【2014 年浙江卷(理 19) 】 (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 和 {bn } 满足 a1a2 ??? an ? ( 2) n (n ? N * ) .若 {an } 为等比数列,且 a1 ? 2 ,
b

b3 ? 6 ? b2 . ⑴求 an 与 bn ; 1 1 ? (n ? N * ) .记数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn . ⑵设 cn ? an bn ①求 Sn ;

15

②求正整数 k ,使得对任意 n ? N ,均有 Sk ? Sn .
*

解: (Ⅰ )∵ a1a2a3…an=

(n∈N ) ① ,当 n≥2,n∈N 时, ② ,

*

*

由① ② 知:

,令 n=3,则有

.∵ b3=6+b2,∴ a3=8. =4, 由题意知 an>0, ∴ q>0, ∴ q=2.
*

∵ {an}为等比数列, 且 a1=2, ∴ {an}的公比为 q, 则 ∴ (n∈N ) .又由 a1a2a3…an= , ,∴ bn=n(n+1) (n∈N ) . (Ⅱ ) (i)∵ cn= ∴ Sn=c1+c2+c3+…+cn= = =
* *

(n∈N )得:

. =

=

=



(ii)因为 c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;当 n≥5 时,





=

>0,得

, 所以,当 n≥5 时,cn<0,综上,对任意 n∈N 恒有 S4≥Sn,故 k=4
*

16


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