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必修一幂函数二分法


课题:§2.3 幂函数
教学目标: 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用. 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法,来研究幂函 数的图象和性质. 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
教学重点: 重点 难点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 画五个具体幂函数的图象并由图象概

括其性质,体会图象的变化规律.

教学程序与环节设计:

创设情境

问题引入.

组织探究

幂函数的图象和性质.

尝试练习

幂函数性质的初步应用.

巩固反思

复述幂函数的图象规律及性质.

作业回馈

幂函数性质的初步应用.

课外活动

利用图形计算器或计算机探索一 般幂函数的图象规律.

第 1 页 共 21 页

教学过程与操作设计:
环节 教学内容设计 阅读教材 P90 的具体实例(1)~(5),思考下列问 题: 创 设 (答案) 情 境 师生:共同辨析这种新 1.(1)乘以 1;(2)求平方;(3)求立方;(4) 开方;(5)取倒数(或求-1 次方). 2.上述问题中涉及到的函数,都是形如 函数,其中 x 是自变量,是 ? 常数. 材料一:幂函数定义及其图象. 一般地,形如 师:说明: 幂函数的定义来自 于实践, 它同指数函数、 对数函数一样,也是基 本初等函数,同样也是 一种“形式定义”的函 数, 引导学生注意辨析.
1 2

师生双边互动 生: 独立思考完成引例.

1.它们的对应法则分别是什么? 2.以上问题中的函数有什么共同特征?

师:引导学生分析归纳 概括得出结论.

函数与指数函数的异 同.

y ? x? 的

y ? x ? ( a ? R)
的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 下面我们举例学习这类函数的一些性质. 作出下列函数的图象: 组 (1) y ? x ;(2) (4) y 织
1 列表(略) [解] ○

y ? x ;(3) y ? x 2 ;

生:利用所学知识和方 法尝试作出五个具体幂 函数的图象,观察所图 象,体会幂函数的变化 规律.

? x ?1 ;(5) y ? x 3 .



2 图象 ○

师:引导学生应用画函 究 数的性质画图象,如: 定义域、奇偶性.

师生共同分析,强调画 图象易犯的错误.

环节

教学内容设计

师生双边互动

第 2 页 共 21 页

材料二:幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且 图象都过点(1,1); (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在 区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函

师: 引导学生观察图象, 归纳概括幂函数的的性 质及图象变化规律.

生:观察图象,分组讨 和图象的变化规律,并 展示各自的结论进行交 流评析,并填表.

数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; 论,探究幂函数的性质 (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上 是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于

? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.
材料三:观察与思考 组 观察图象,总结填写下表:
1

织 定义域 值域 探 奇偶性 单调性 定点 究

y?x

y ? x2

y ? x3

y ? x2

y ? x ?1

材料五:例题 [例 1] (教材 P92 例题) [例 2] 比较下列两个代数值的大小: (1) (a ? 1) (2) (2 ? a
1.5
1 .5

师:引导学生回顾讨论 函数性质的方法,规范 解题格式与步骤. 并指出函数单调性 是判别大小的重要工 具,幂函数的图象可以 在单调性、奇偶性基础 上较快描出.
2 ? 3

,a

2 ? 2 3

) ,2

2

[例 3] 讨论函数

y ? x 3 的定义域、奇偶性,作出 答,共同讨论、评析.

生:独立思考,给出解

它的图象,并根据图象说明函数的单调性.

环节

呈现教学材料

师生互动设计

第 3 页 共 21 页

1.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的 值的大小: (1) 2.3 , 2.4 ;
6 3 4

3 4

6

(2) 0.315 , 0.355 ; (3) ( 尝 试 练 习 (4) 1.1
?

2 ) 2 , ( 3) 2 ;
1 2

?

3

?

3

, 0 .9

?

1 2



2.作出函数 y

? x 的图象,根据图象讨论这个

3 2

函数有哪些性质,并给出证明. 3 .作出函数

y ? x ?2 和函数 y ? ( x ? 3) ?2 的图

象,求这两个函数的定义域和单调区间. 4.用图象法解方程: (1)

x ? x ? 1;

(2 ) x ? x ? 3 .
3 2

规律 1: 在第一象限, 作 1.如图所示,曲线是幂函 数 直线 x ? a(a ? 1) ,它 同各幂函数图象相交, 按交点从下到上的顺 序,幂指数按从小到大 的顺序排列.

y ? x? 在 第 一 象 限 内 的 图
1 ,2 四 2

象, 已知 ? 分别取 ? 1,1, 探 究 与 发 现

个值,则相应图象依次 为: .

2.在同一坐标系内,作出下列函数的图象,你能 发现什么规律? (1) y (2)
? 1

? x ?3 和 y ? x 3 ;
5 4

规律 2: 幂指数互为倒数 的幂函数在第一象限内 的图象关于直线 y ? x 对称.

y?x 和y?x .

4 5

1 .在函数 y ? 作业回 馈

1 , y ? 2 x 2 , y ? x 2 ? x, y ? 1 2 x
C .2 呈现教学材料
第 4 页 共 21 页

中,幂函数的个数为: A.0 B.1 D .3 师生互动设计

环节

2 .已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 试求出这个函数的解析式.

2) ,

3.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通 过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四次方 成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速率 为 400cm3/s,求该气体通过半径为 r 的管道时,其流量 速率 R 的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5cm, 计算该气体的流量速率. 4.1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的 平均增长率为 x%,2008 年底世界人口数为 y(亿), 写出: (1)1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界人 口数; (2)2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析 式. 课 外 活 动 收 获 与 体 会 面? 2. 幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方 利用图形计算器探索一般幂函数 随 ? 的变化规律. 1. 谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的 奇偶性、单调性之间的关系?

y ? x ? 的图象

课题:§3.1.1 方程的根与函数的零点
教学目标: 知识与技能 理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关 系,掌握零点存在的判定条件. 过程与方法 零点存在性的判定. 情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.
教学重点: 重点 零点的概念及存在性的判定. 第 5 页 共 21 页

难点

零点的确定.

教学程序与环节设计:

创设情境

结合二次函数引入课题.

组织探究

二次函数的零点及零点存在性的.

尝试练习

零点存在性为练习重点.

探索研究

进一步探索函数零点存在性的判定.

作业回馈

重点放在零点的存在性判断及零点的确定上. 研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符 号,并尝试进行系统的总结.

课外活动

第 6 页 共 21 页

教学过程与操作设计:
环节 教学内容设置 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应 的二次函数的图象: 创 设 情 境
1 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 ○
2

师生双边互动 师:引导学生解方程, 画函数图象,分析方程 的根与图象和 x 轴交点

y ? x2 ? 2x ? 3 y ? x 2 ? 2x ? 1 y ? x 2 ? 2x ? 3

坐标的关系,引出零点 的概念. 生: 独立思考完成解答, 观察、思考、总结、概 括得出结论,并进行交 流. 师:上述结论推广到一 般的一元二次方程和二 次函数又怎样?

2 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 ○
2

3 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 ○
2

函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x)(x ? D) , 把使 f ( x) ? 0 成立 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点. 师:引导学生仔细体会 左边的这段文字,感悟 其中的思想方法. 函数零点的意义: 组 函 数 y ? f ( x) 的 零 点 就 是 方 程 f ( x) ? 0 实 数 根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 织 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图 探 象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 生:认真理解函数零点 的意义,并根据函数零 点的意义探索其求法:
1 ○ 2 ○

代数法; 几何法.



函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点:
1 (代数法)求方程 f ( x ) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以 ○

将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的 性质找出零点.

第 7 页 共 21 页

二次函数的零点: 二次函数

师:引导学生运用函数 零点的意义探索二次函 数零点的情况.

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等
2

环节

教学内容设置 实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次 函数有两个零点. 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实
2

师生双边互动 生:根据函数零点的意 义探索研究二次函数的 零点情况, 并进行交流, 总结概括形成结论.

根(二重根),二次函数的图象与 x 轴有一个交 点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二
2

次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 组 象:
1 在区间 [?2,1] 上有零点______; ○

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 的图

生:分析函数,按提示 探索,完成解答,并认 真思考.



f (?2) ? _______, f (1) ? _______,
f (?2) · f (1) _____0(<或>).

师:引导学生结合函数 图象,分析函数在区间 端点上的函数值的符号 情况,与函数零点是否 存在之间的关系.


2 在区间 [ 2,4] 上有零点______; ○



f (2) · f (4) ____0(<或>).
(Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

生:结合函数图象,思 考、讨论、总结归纳得 出函数零点存在的条 件,并进行交流、评析.

师:引导学生理解函数 零点存在定理,分析其
1 在区间 [ a , b] 上______(有/无)零点; ○

中各条件的作用.

f (a ) · f (b) _____0(<或>).
2 在区间 [b, c ] 上______(有/无)零点; ○

第 8 页 共 21 页

f (b) · f (c) _____0(<或>).
3 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; ○

f (c) · f ( d ) _____0(<或>).

由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给 定区间上是否存在零点.

环节

教学内容设置 例 1.求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数. 问题:

师生互动设计 师:引导学生探索判断 函数零点的方法,指出 可以借助计算机或计算 器来画函数的图象,结 合图象对函数有一个零 点形成直观的认识. 生:借助计算机或计算

例 题 研 究

1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? 2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的 单调性具有什么特性?

例 2.求函数 的大致图象.

y ? x 3 ? 2x 2 ? x ? 2 ,并画出它

器画出函数的图象,结 合图象确定零点所在的 区间,然后利用函数单 调性判断零点的个数.

第 9 页 共 21 页

1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个 根: (1) ? x ? 3x ? 5 ? 0 ;
2

师:结合图象考察零点 所在的大致区间与个 数,结合函数的单调性 说明零点的个数;让学 生认识到函数的图象及 基本性质(特别是单调 性)在确定函数零点中 的重要作用.

(2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ; (3) x ? 4 x ? 4 ;
2

尝 试 练 习

(4) 5x ? 2 x ? 3x ? 5 .
2 2

2.利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大 致区间: (1)

f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 5 ;

(2) f ( x) ? 2 x ln(x ? 2) ? 3 ; (3)

f ( x) ? e x?1 ? 4x ? 4 ;

(4) f ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x .

1. 已知

f ( x) ? 2x 4 ? 7 x 3 ? 17x 2 ? 58x ? 24 ,

请探究方程 f ( x) ? 0 的根.如果方程有根,指出每个 根所在的区间(区间长度不超过 1). 探 究 与 发 现 2.设函数

f ( x) ? 2 x ? ax ? 1 .

(1)利用计算机探求 a ? 2 和 a ? 3 时函数

f ( x) 的零点个数;
(2)当 a ? R 时,函数 f ( x ) 的零点是怎样分布 的?

环节

教学内容设置

师生互动设计

第 10 页 共 21 页

1. 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 1、2 题; 2. 求下列函数的零点: (1) y

? x 2 ? 5x ? 4 ;
2

(2) y ? ? x (3) y (4)

? x ? 20 ;

? ( x ? 1)(x 2 ? 3x ? 1) ;

f ( x) ? ( x 2 ? 2)(x 2 ? 3x ? 2) .

3. 求下列函数的零点,图象顶点的坐标,画出 各自的简图,并指出函数值在哪些区间上大 于零,哪些区间上小于零: 作 业 回 馈 (1) y ?

1 2 x ? 2x ? 1 ; 3
2

(2) y ? ?2 x 4. 已知

? 4x ? 1.

f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 :

(1 ) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零 点; (2) 如果函数至少有一个零点在原点右侧, 求m 的值. 5. 求下列函数的定义域: (1)

y ? x2 ? 9 ; x 2 ? 3x ? 4 ;

(2) y ? (3) y 研究

? ? x 2 ? 4 x ? 12
考虑列表,建议画出图 象帮助分析.

课 外 活 动

y ? ax2 ? bx ? c , ax2 ? bx ? c ? 0 ,

ax2 ? bx ? c ? 0 , ax2 ? bx ? c ? 0 的相互关系,以
零点作为研究出发点,并将研究结果尝试用一种系统 的、简洁的方式总结表达.

收 获 与 体 会 说说方程的根与函数的零点的关系,并给出判定 方程在某个区产存在根的基本步骤.

第 11 页 共 21 页

课题:§3.1.2 用二分法求方程的近似解
教学目标: 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件, 了解二分法是求方程近似 解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用. 过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解, 并了解这一数学思想, 为学习算 法做准备. 情感、态度、价值观 体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一.
教学重点: 重点 难点 通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处 恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解. 理问题的意识.

教学程序与环节设计:

创设情境

由二分查找及高次多项式方程的求问题引入.

组织探究

二分法的意义、算法思想及方法步骤.

探索发现

体会函数零点的意义,明确二分法的适用范围.

尝试练习

二分法的算法思想及方法步骤,初步应用二分法解 决简单问题. 二分法应用于实际. 1. 二分法为什么可以逼近零点的再分析; 2. 追寻阿贝尔和伽罗瓦.

作业回馈

课外活动

第 12 页 共 21 页

教学过程与操作设计:
环节 教学内容设计 材料一:二分查找(binary-search) (第六届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克 分区联赛提高组初赛试题第 15 题)某数列有 1000 个 各不相同的单元,由低至高按序排列;现要对该数列 进行二分法检索(binary-search),在最坏的情况下,需 检索( )个单元。 A.1000 B.10 C.100 D.500 生:体会二分查找的思 想与方法. 创 设 情 境 材料二:高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数 二分法检索(二分查找或折半查找)演示. 师:从学生感兴趣的计 算机编程问题,引导学 生分析二分法的算法思 想与方法,引入课题. 师生双边互动

y ? f ( x) 的零点(即 f ( x) ? 0 的根),对于 f ( x) 为
一次或二次函数,我们有熟知的公式解法(二次时, 称为求根公式). 在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根公 式,但对于高于 4 次的函数,类似的努力却一直没有 成功,到了十九世纪,根据阿贝尔( Abel)和伽罗瓦 (Galois)的研究,人们认识到高于 4 次的代数方程不 存在求根公式,亦即,不存在用四则运算及根号表示 的一般的公式解.同时,即使对于 3 次和 4 次的代数 方程,其公式解的表示也相当复杂,一般来讲并不适 宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一 些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法,这是一 个在计算数学中十分重要的课题. 二分法及步骤: 对 于 在 区 间 [a , b] 上 连 续 不 断 , 且 满 足

师:从高次代数方程的 解的探索历程,引导学 生认识引入二分法的意 义.

师:阐述二分法的逼近 原理,引导学生理解二 分法的算法思想,明确 二分法求函数近似零点 的具体步骤.

f (a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把函
组 织 探 究 数 f ( x ) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端 点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二 分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f ( x ) 的零点近似 值的步骤如下: 1.确定区间 [a , b] ,验证 f ( a ) · f (b) ? 0 , 给定精度 ? ; 2.求区间 (a , b) 的中点 x1 ;

分析条件 “ f ( a ) · f (b) ? 0 ”、 “精度 ? ”、“区间中 点”及“ | a ? b |? ? ” 的意义.

第 13 页 共 21 页

3.计算

f ( x1 ) :

环节
1 若 ○

呈现教学材料

师生互动设计 生:结合引例“二分查 找”理解二分法的算法 思想与计算原理.

f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1(此时零点

2 若 f (a) · ○

x0 ? (a, x1 ) );
3 若 ○

f ( x1 ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1(此时零点

师:引导学生分析理解 求区间 (a , b) 的中点的

x0 ? ( x1 , b) );
4.判断是否达到精度 ? ; 即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ); 否则重复步骤 2~4. 例题解析: 组 织 探 究 例 1. 求函数

方法 x1 ?

a?b . 2

师:引导学生利用二分 法逐步寻求函数零点的

f ( x) ? x ? x
3

? 2x ? 2 的一个正

近似值,注意规范方法、 步骤与书写格式.

数零点(精确到 0 .1 ). 分析:首先利用函数性质或借助计算机、计算器 画出函数图象,确定函数零点大致所在的区间,然后 利用二分法逐步计算解答. 解:(略). 注意:
1 第一步确定零点所在的大致区间 (a , b) ,可 ○

生:根据二分法的思想 与步骤独立完成解答, 并进行交流、讨论、评 析.

利用函数性质,也可借助计算机或计算器,但尽量取 端点为整数的区间,尽量缩短区间长度,通常可确定 一个长度为 1 的区间;
2 建议列表样式如下: ○

零点所在区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5]

中点函数值

区间长度 1 0.5 0.25

师:引导学生应用函数 单调性确定方程解的个 数.

f (1.5) >0

f (1.25) <0
f (1.375) <0

生:认真思考,运用所 学知识寻求确定方程解 的个数的方法,并进行、 讨论、交流、归纳、概 括、评析形成结论.

如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小于 精度时,即为计算的最后一步.

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例 2.借助计算器或计算机用二分法求方程

2 x ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1 ).
解:(略). 思考:本例除借助计算器或计算机确定方程解所 在的大致区间和解的个数外,你是否还可以想到有什 么方法确定方程的根的个数?

结论:图象在闭区间 [a , b] 上连续的单调函数

f ( x) ,在 (a , b) 上至多有一个零点.
环节 呈现教学材料 1) 函数零点的性质 从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f ( x ) 的图象与 x 轴 交点的横坐标; 探 究 与 发 现 若函数 f ( x ) 的图象在 x 师生互动设计 师:引导学生从“数” 和“形”两个角度去体 会函数零点的意义,掌 握常见函数零点的求

? x0 处与 x 轴相切,则 法,明确二分法的适用
范围.

零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f ( x ) 的图象在 x 零点 x0 通常称为变号零点.

? x0 处与 x 轴相交,则

2) 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件 f ( a ) · f (b) ? 0 表明用二分法求 函数的近似零点都是指变号零点. 1) 教材 P106 练习 1、2 题; 2) 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 1、2 题; 3) 求方程 log3 尝 试 练 习 5) 探究函数 所在区间; 4) 求方程 0.9 ?
x

x ? x ? 3 的解的个数及其大致
2 x ? 0 的实数解的个数; 21

y ? 0.3 x 与函数 y ? log0.3 x 的图

象有无交点,如有交点,求出交点,或给出 一个与交点距离不超过 0 .1 的点.
第 15 页 共 21 页

1) 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 3~6 题、(B 组)第 4 题; 2) 提高作业:
1 已知函数 ○

f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 .
作 业 回 馈
2 借助于计算机或计算器,用二分法求函数 ○

(1 ) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个交 点? (2)如果函数的一个零点在原点,求 m 的值.

f ( x) ? x 3 ? 2 的零点(精确到 0.01 );

3 3 用二分法求 ○

3 的近似值(精确到 0.01 ).
呈现教学材料 师生互动设计

环节

课 外 活 动

查找有关系资料或利用 internet 查找有关高次代 数方程的解的研究史料,追寻阿贝尔( Abel)和伽罗 瓦(Galois),增强探索精神,培养创新意识.

说说方程的根与函数的零点的关系,并给出判定 收 获 与 体 会 方程在某个区间存在根的基本步骤,及方程根的个数 的判定方法; 谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解, 对数学有了哪些新的认识?

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课题:§3.2.1 几类不同增长的函数模型
教学目标: 知识与技能 结合实例体会直线上升、 指数爆炸、 对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函 数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数 模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等),了解函数模型的广泛应用. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函 数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.
教学重点: 重点 难点 将实际问题转化为函数模型, 比较常数函数、 一次函数、 指数函数、 对数函数模型的增长差异, 怎样选择数学模型分析解决实际问题. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 教学程序与环节设计:

创设情境

实际问题引入,激发学生兴趣.

组织探究

选择变量、建立模型,利用数据表格、函数图象讨论 模型,体会不同函数模型增长的含义及其差异. 总结例题的探究方法,并进一步探索研究幂函数、指 数函数、对数函数的增长差异,形成结论性报告. 师生交流共同小结,归纳一般的应用题的求 解方法步骤. 强化基本方法,规范基本格式.

探索研究

巩固反思

作业回馈

课外活动

收集一些社会生活中普遍使用的函数模型,了解函数 模型的广泛应用.

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教学过程与操作设计:
环节 教学内容设计 材料:澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉戏 创 设 情 境 的兔子, 但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋. 1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛 的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加, 不到 100 年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉 了相当于 75 亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降 低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头 痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十 世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之 九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气. 师生双边互动 师:指出:一般而言, 在理想条件(食物或养 料充足, 空间条件充裕, 气候适宜, 没有敌害等) 下,种群在一定时期内 的增长大致符合“J”型 曲线;在有限环境(空 间有限,食物有限,有 捕食者存在等)中,种 群增长到一定程度后不 增长, 曲线呈 “S” 型. 可 用指数函数描述一个种 群的前期增长,用对数 函数描述后期增长的 例 1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资 方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多 回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比 前一天翻一番. 组 请问,你会选择哪种投资方案? 师:引导学生分析本例 探究: 织 1) 在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述 这些数量关系? 探 中的数量关系,并思考 应当选择怎样的函数模 型来描述. 生:观察表格,获取信 息,体会三种函数的增 长差异,特别是指数爆 究 2)分析解答(略) 炸,说出自己的发现, 并进行交流. 师:引导学生观察表格 3)根据例 1 表格中所提供的数据,你对三种方案 分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识? 中三种方案的数量变化 情况,对于“增加量” 进行比较,体会“直线 增长”、“指数爆炸” 等. 环节 教学内容设计 师生双边互动 生:阅读题目,理解题 意,思考探究问题. 师:创设问题情境,以 问题引入能激起学生的 热情,使课堂里的有效 思维增强.

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4)你能借助计算器或计算机作出函数图象,并通 过图象描述一下三种方案的特点吗?

师:引导学生利用函数 图象分析三种方案的不 同变化趋势. 生:对三种方案的不同 变化趋势作出描述,并 为方案选择提供依据.

5)根据以上分析,你认为就作出如何选择?

师:引导学生分析影响 方案选择的因素,使学 生认识到要做出正确选 择除了考虑每天的收 益,还要考虑一段时间 内的总收益.



生:通过自主活动,分 析整理数据,并根据其 中的信息做出推理判 断,获得累计收益并给 出本全的完整解答,然 后全班进行交流. 例 2.某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准 师:引导学生分析三种 备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达 函数的不同增长情况对 到 10 万元时, 按销售利润进行奖励, 且奖金 y (单位: 于奖励模型的影响,使 万元)随销售利润 x (单位:万元)的增加而增加但 奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现 有三个奖励模型: 学生明确问题的实质就 是比较三个函数的增长 情况.







y ? 0.25x

y ? log7 x ? 1

y ? 1.002x .

生:进一步体会三种基 本函数模型在实际中的 广泛应用,体会它们的 增长差异. 师:引导学生分析问题 使学生得出:要对每一 个奖励模型的奖金总额 是否超出 5 万元,以及 奖励比例是否超过 25%

问:其中哪个模型能符合公司的要求? 探究: 1) 本例涉及了哪几类函数模型? 本例的实质是什么?

2)你能根据问题中的数据,判定所给的奖励模型 是否符合公司要求吗? 环节 呈现教学材料

进行分析,才能做出正 确选择. 师生互动设计

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生:分析数据特点与作 用判定每一个奖励模型 是否符合要求. 组 3)通过对三个函数模型增长差异的比较,写出例 织 探 究 生:进一步认识三个函 数模型的增长差异,对 问题作出具体解答. 幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析: 你能否仿照前面例题使用的方法,探索研究幂函 探 究 与 发 现 数y 数 师:引导学生仿照前面 例题的探究方法,选用 具体函数进行比较分 析. 2 的解答. 师:引导学生利用解析 式,结合图象,对三个 模型的增长情况进行分 析比较,写出完整的解 答过程.

? x n (n ? 0) 、指数函数 y ? a x (a ? 1) 、对数函

y ? loga x(a ? 1) 在区间 (0,??) 上的增长差异, 生:仿照例题的探究方
法,选用具体函数进行 研究、论证,并进行交 流总结,形成结论性报 告. 师:对学生的结论进行 评析,借助信息技术手 段进行验证演示. 尝试练习: 1) 教材 P116 练习 1、2; 生:通过尝试练习进一 步体会三种不同增长的 函数模型的增长差异及 其实际应用. 小结与反思: 通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指 师:培养学生对数学学 科的深刻认识,体会数 学的应用美.

并进行交流、讨论、概括总结,形成较为准确、详尽 的结论性报告.

巩 固 与 反 思

2) 教材 P119 练习.

数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义,认 识数学的价值,认识数学与现实生活、与其他学科的 密切联系,从而体会数学的实用价值,享受数学的应 用美.

环节

呈现教学材料

师生互动设计

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作 业 与 回 馈 教材 P127 习题 32(A 组)第 1~5 题; (B 组)第 1 题

收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函 课 外 活 动 数、指数函数、对数函数的实例,对它们的增长速度 进行比较,了解函数模型的广泛应用; 有时同一个实际问题可以建立多个函数模型.具 体应用函数模型时,你认为应该怎样选用合理的函数 模型?

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