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高中数学竞赛辅导(第一讲)


第一讲

集合概念及集合上的运算
知识、方法、技能

高中一年级数学(上) (试验本)课本中给出了集合的概念;一般地,符合某种条件(或 具有某种性质)的对象集中在一起就成为一个集合. 在此基础上,介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、 无限集,集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补

集、并集等十 余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题, 形成了以集合为背 景的题目和用集合表示空间的线面及其关系,表面平面轨迹及其关系,表示充要条件,描述 排列组合,用集合的性质进行组合计数等综合型题目. 赛题精讲 Ⅰ.集合中待定元素的确定 充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系,往往能解决某些以集合为背景的高 中数学竞赛题.请看下述几例. 例 1:求点集 {( x, y ) | lg( x ?
3

1 3 1 y ? ) ? lg x ? lg y} 中元素的个数. 3 9
3

【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之. 【略解】由所设知 x ? 0, y ? 0, 及x ? 由平均值不等式,有 x ?
3

1 3 1 y ? ? xy , 3 9

1 3 1 1 1 y ? ? 33 ( x 3 ) ? ( y 3 ) ? ( ) ? xy, 3 9 3 9

当且仅当 x ?
3

1 3 1 1 1 y ? ,即x ? 3 , y ? 3 (虚根舍去)时,等号成立. 3 9 9 3

故所给点集仅有一个元素. 【评述】此题解方程中,应用了不等式取等号的充要条件,是一种重要解题方法,应注意掌 握之. 例 2:已知 A ? { y | y ? x ? 4x ? 3, x ? R}, B ? { y | y ? ? x ? 2x ? 2, x ? R}.求A ? B.
2 2

【思路分析】先进一步确定集合 A、B. 【略解】 y ? ( x ? 2) ? 1 ? 1, 又 y ? ?( x ? 1) ? 3 ? 3.
2 2

∴A= { y | y ? ?1}, B ? { y | y ? 3}, 故A ? B ? { y | ?1 ? y ? 3}. 【评述】此题应避免如下错误解法: 联立方程组
1

? y ? x 2 ? 4 x ? 3, ? 消去 y,2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0. ? 2 ? y ? ? x ? 2 x ? 2. ?

因方程无实根,故 A ? B ? ? .

这里的错因是将 A、 的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛 B 物线的值域. 例 3:已知集合 A ? {( x, y) || x | ? | y |? a, a ? 0}, B ? {( x, y) || xy | ?1 ?| x | ? | y |}. 若 A ? B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则 a 的值为 . 【思路分析】可作图,以数形结合法来解之. 【略解】点集 A 是顶点为(a,0)(0,a)(-a,0)(0,-a)的正方形的四条边构成(如 , , , 图Ⅰ-1-1-1). 将 | xy | ?1 ?| x | ? | y | ,变形为 (| x | ?1)(| y | ?1) ? 0, 所以,集合 B 是由四条直线 x ? ?1, y ? ?1 构成. 欲使 A ? B 为正八边形的顶点所构成,只有 a ? 2或1 ? a ? 2 这两种情况. (1)当 a ? 2 时,由于正八形的边长只能为 2,显然有 2a ? 2 2 ? 2, 故 a ? 2? 2 . (2)当 1 ? a ? 2 时,设正八形边长为 l,则

2?l , l ? 2 2 ? 2, 2 l 这时, a ? 1 ? ? 2 . 2 l cos 45? ?
综上所述,a 的值为 2 ? 2或 2, 如图Ⅰ-1-1-1 中 A( 2 ,0), B(2 ? 2,0). 图Ⅰ-1-1-1

【评述】上述两题均为 1987 年全国高中联赛试题,题目并不难,读者应从解题过程中体会 此类题目的解法. Ⅱ.集合之间的基本关系 充分应用集合之间的基本关系(即子、交、并、补) ,往往能形成一些颇具技巧的集合 综合题.请看下述几例. 例 4:设集合 A ? { | n ? Z}, B ? {n | n ? Z}, C ? {n ? 在下列关系中,成立的是 A. A ? B ? C ? D
? ? ?

n 2

1 n 1 | n ? Z}, D ? { ? | n ? Z}, 则 2 3 6
( )

B. A ? B ? ? , C ? D ? ?

2

C. A ? B ? C , C ? D
?

D. A ? B ? B, C ? D ? ?

1 2n ? 1 n 1 2n ? 1 ? , ? ? , n ? Z. 2 2 3 6 6 n 1 n 1 【解法 1】∵ A ? { | n ? Z}, B ? {n | n ? Z}, C ? {n ? | n ? Z}, D ? { ? | n ? Z}, 2 2 3 6
【思路分析】应注意数的特征,即 n ? ∴ A ? B ? C , C ? D .故应选 C.
?

【解法 2】如果把 A、B、C、D 与角的集合相对应,令

A? ? {

n? ? n? ? | n ? Z}, B ? ? {n? | n ? Z}, C ? ? {n? ? | n ? Z}, D ? { ? | n ? Z}. 2 2 3 6

结论仍然不变,显然 A′为终边在坐标轴上的角的集合,B′为终边在 x 轴上的角的集 合,C′为终边在 y 轴上的角的集合,D′为终边在 y 轴上及在直线 y ? ?

3 x 上的角的集 3

合,故应选(C). 【评述】解法 1 是直接法,解法 2 运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的 的角的集合,研究角的终边,思路清晰易懂,实属巧思妙解. 例 5:设有集合 A ? {x | x 2 ? [ x] ? 2}和B ? {x || x |? 2}, 求A ? B和A ? B (其中[x]表示不 超过实数 x 之值的最大整数). 【思路分析】应首先确定集合 A 与 B. 从而 ? 1 ? x ? 2.显然,2 ? A.
2

∴ A ? B ? {x | ?2 ? x ? 2}.

若 x ? A ? B, 则x ? [ x] ? 2, [ x] ?{1,0,?1,?2}, 从而得出 x ? 3([x] ? 1)或x ? ?1([x] ? ?1). 于是 A ? B ? {?1, 3}

【评述】此题中集合 B 中元素 x 满足“|x|<3”时,会出现什么样的结果,读者试解之. 例 6: f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R),且A ? {x | x ? f ( x), x ? R}, B ? {x | x ? f [ f ( x)], x ? R} , 设 如果 A 为只含一个元素的集合,则 A=B. 【思路分析】应从 A 为只含一个元素的集合入手,即从方程 f ( x) ? x ? 0 有重根来解之. 【略解】设 A ? {? | ? ? R}, 则方程f ( x) ? x ? 0 有重根 ? ,于是 f ( x) ? x ? ( x ? ? ) ,
2

f ( x) ? ( x ? ? ) 2 ? x..从而x ? f [ f ( x)],即 x ? [(x ? ? ) 2 ? ( x ? ? )]2 ? ( x ? ? ) 2 ? x,
整理得 ( x ? ? ) [(x ? ? ? 1) ? 1] ? 0,
2 2

因 x, ? 均为实数
3

( x ? ? ? 1) 2 ? 1 ? 0, 故x ? ?. 即 B ? {?} ? A.
【评述】此类函数方程问题,应注意将之转化为一般方程来解之. 例 7:已知 M ? {( x, y) | y ? x 2 }, N ? {( x, y) | x 2 ? ( y ? a) 2 ? 1 求M ? N ? N 成立时,a }. 需满足的充要条件. 【思路分析】由 M ? N ? N , 可知N ? M . 【略解】 M ? N ? N ? N ? M . 由 x 2 ? ( y ? a) 2 ? 1得x 2 ? y ? y 2 ? (2a ? 1) y ? (1 ? a 2 ). 于是, 若 ? y 2 ? (2a ? 1) y ? (1 ? a 2 ) ? 0 ①

必有 y ? x 2 ,即N ? M . 而①成立的条件是 即 4(1 ? a ) ? (2a ? 1) ? 0,
2 2

y m a x?
1 4

? 4(1 ? a 2 ) ? (2a ? 1) 2 ? 0, ?4

解得 a ? 1 .

【评述】此类求参数范围的问题,应注意利用集合的关系,将问题转化为不等式问题来求解. 例 8:设 A、B 是坐标平面上的两个点集, Cr ? {( x, y) | x ? y ? r }.
2 2 2

若对任何 r ? 0 都有 Cr ? A ? Cr ? B ,则必有 A ? B .此命题是否正确? 【思路分析】要想说明一个命题不正确,只需举出一个反例即可. 【略解】不正确. 反例:取 A ? {( x, y) | x ? y ? 1 B 为 A 去掉(0,0)后的集合. },
2 2

容易看出 Cr ? A ? Cr ? B, 但 A 不包含在 B 中. 【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要,应注意掌握之. Ⅲ.有限集合中元素的个数 有限集合元素的个数在课本 P23 介绍了如下性质: 一般地,对任意两个有限集合 A、B,有

card( A ? B) ? card( A) ? card( B) ? card( A ? B).
我们还可将之推广为: 一般地,对任意 n 个有限集合 A1 , A2 ,?, An , 有

card( A1 ? A2 ? A3 ? ? ? An?1 ? An )
4

? [card( A1 ) ? card( A2 ) ? card( A3 ) ? ? ? card( An )] ? [card( A1 ? A2 ) ? card( A1 ? A3 )]
? ? ? card( A1 ? An ) ? ? ? card( An?1 ? An )] ? [card( A1 ? A2 ? A3 )] ? ? ? card( An?2 ? An?1 ? An )]

? ? ? (?1) n?1 ? card( A1 ? A3 ??? An ).
应用上述结论,可解决一类求有限集合元素个数问题. 【例 9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有 21 个优秀,物理总评 19 人优秀,化 学总评有 20 人优秀,数学和物理都优秀的有 9 人,物理和化学都优秀的有 7 人,化学和数 学都优秀的有 8 人,试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围(该 班有 5 名学生没有任一科是优秀). 【思路分析】应首先确定集合,以便进行计算. 【详解】 A={数学总评优秀的学生}, 设 B={物理总评优秀的学生}, C={化学总评优秀的学生}. 则 card( A) ? 21, card( B) ? 19, card(C ) ? 20, card( A ? B) ? 9, card( B ? C ) ? 7, card(C ? A) ? 8. ∵ card( A ? B ? C ) ? card( A) ? card( B) ? card(C ) ? card( A ? B) ? card( B ? C ) ? card(C ? A)

? card( A ? B ? C ),

∴ card( A ? B ? C ) ? card( A ? B ? C ) ? 21? 19 ? 20 ? 9 ? 8 ? 36.

这里, card( A ? B ? C ) 是数、理、化中至少一门是优秀的人数, card( A ? B ? C ) 是这 三科全优的人数.可见,估计 card( A ? B ? C ) 的范围的问题与估计 card( A ? B ? C ) 的范 围有关.

card( A ? B), card( B ? C ), card(C ? A)} ? 7 ,可知 注意到 card( A ? B ? C ) ? min{ 0 ? card( A ? B ? C ) ? 7 . 因而可得 36 ? card( A ? B ? C ) ? 43.
又∵ card( A ? B ? C) ? card( A ? B ? C) ? card(U ),其中card( A ? B ? C) ? 5. ∴ 41 ? card(U ) ? 48. 这表明全班人数在 41~48 人之间.

仅数学优秀的人数是 card( A ? B ? C). ∴ card( A ? B ? C) ? card( A ? B ? C) ? card( B ? C) ? card( A ? B ? C) ? card( B)

? card(C ) ? card( B ? C ) ? card( A ? B ? C ) ? 32.
可见 4 ? card( A ? B ? C) ? 11 , 同理可知 3 ? card( B ? A ? C) ? 10,

5 ? card(C ? B ? A) ? 12.
故仅数学单科优秀的学生在 4~11 之间,仅物理单科优秀的学生数在 3~10 之间,仅化学
5

单科优秀的学生在 5~12 人之间. 【评述】根据题意,设计这些具有单一性质的集合,列出已知数据,并把问题用集合中元素 数目的符号准确地提出来,在此基础上引用有关运算公式计算,这是解本题这类计数问题的 一般过程. 针对性练习题 1.设 S={1,2,?,n},A 为至少含有两项的、公差为正的等差数列,其项都在 S 中,且添 加 S 的其他元素于 A 后均不能构成与 A 有相同公差的等差数列.求这种 A 的个数, (这 里只有两项的数列也看做等差数列). 2.设集合 Sn={1,2,?,n},若 X 是 Sn 的子集,把 X 中的所有数的和为 X 的“容量”.(规 定空集的容量为 0) ,若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集. (1)求证:Sn 的奇子集与偶子集个数相等. (2)求证:当 n ? 3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等. (3)当 n ? 3 时,求 Sn 的所有奇子集的容量之和. 3.设 M={1,2,3,?,1995},A 是 M 的子集且满足条件:当 x ? A 时, 15 x ? A ,则 A 中元素的个数最多是多少个. 4.集合 {x | ?1 ? log 1 10 ? ?
x

1 , x ? N*}的真子集的个数是多少个? 2
k

5.对于集合 M ? {x | x ? 3n, n ? 1,2,3,4}, N ? {x | x ? 3 , k ? 1,2,3}. 若有集合 S 满足

M ? N ? S ? M ? N ,则这样的 S 有多少个?
6.求集合方程有序解的个数 X ? Y ? {1,2,?, n}. 7.设 E={1,2,3,?,200}, G ? {a1 , a2 , a3 ,?, a100 } ? E ,且 G 具有下列两条性质:
?

(Ⅰ)对任何 1 ? i ? j ? 100,恒有 ai ? a j ? 201 ; (Ⅱ)

?a
i ?1

100

i

? 10080 .

试证:G 中的奇数的个数是 4 的倍数,且 G 中所有数字的平方和为一个定数.

6


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