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2010年高二数学竞赛题


2010 年广州市高二数学竞赛试题
2010.5.9 考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分.
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 直线 x ? ay ? 1 ? 0(a ? R ) 与

圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 的交点个数是( A. 0 B. 1 C. 2 ) D.无数个

2. 今年春,我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾,苍天无情人有情,某中学组织学生在社区开展 募捐活动,第一天只有 10 人捐款,人均捐款 10 元,之后通过积极宣传,从第二天起,每天的 捐款人数是前一天的 2 倍,且人均捐款数比前一天多 5 元.则截止第 5 天(包括第 5 天)捐款 总数是( A.4800 元 ). B.8000 元 C.9600 元 D.11200 元

3. 函数 f ? x ? ? cos2x ? sin x( x ? R ) 的最大值和最小值分别为 A.

7 , 0 8

B.

7 , ?2 8
2

C.

9 , 0 8

D.

9 , ?2 8

2 2 4. 若点 ? a, b ? 是圆 x ? ? y ? 1? ? 1 内的动点,则函数 f ? x ? ? x ? ax ? b 的一个零点在

? ?1,0? 内,
A.

另一个零点在 ? 0,1? 内的概率为 B.

1 4

1

?

C.

1 2

D.

2

?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. 5. 已知大于 1 的实数 x, y 满足 lg ? 2x ? y ? ? lg x ? lg y , 则 lg x ? lg y 的最小值为 .

6. 将一边长为 4 的正方形纸片按照图 1 中的虚线所示的方法剪开后 拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .

图1
7. 设 a 、 b 、 c 都是单位向量,且 a ? b =0, 则 ? a ? b? ? ? b ? c ? 的最大值为 .

1

w.w.w.k. s.5.u. c.o.m

8. 对于两个正整数 m, n ,定义某种运算“ ? ”如下,当 m, n 都为正偶数或正奇数时,

m ? n ? m ? n ;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ? n ? mn ,则在此定义下,
集合 M ?

?? p, q ? p ? q ? 10, p ? N * , q ?N * ? 中元素的个数是
n

.

9. 设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 3, an an?1 ? ?

?1? * ? (n ? N ) ,则 S2010 ? ____________. ?2?

10. 在 Rt△ ABC 中, AB ? AC ? 1 ,如果椭圆经过 A, B 两点,它的一个焦点为 C ,另一个焦 点在 AB 上,则这个椭圆的离心率为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 11. (本小题满分 15 分) 在△ ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,已知 C ? 2 A,cos A ? (1) 求 cos B 的值; (2)求 b 的值.

? ??? ? 27 3 ??? , BA?BC ? . 4 2

12. (本小题满分 15 分) 如图,已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 45 , 在半平面 ? 内有一个半圆 O , 其直径 AB 在 l 上,
?

M 是这个半圆 O 上任一点(除 A 、 B 外), 直线 AM 、 BM 与另一个半平面 ? 所成的
角分别为 ?1 、 ?2 . 试证明 cos2 ?1 ? cos2 ?2 为定值.
?
M

l A B

?

2

13. (本小题满分 20 分) 如图, 矩形 ABCD 中, AB ? 10 , BC ? 6 , 现以矩形 ABCD 的 AB 边为 x 轴, AB 的中点 为原点建立直角坐标系, P 是 x 轴上方一点, 使得 PC 、 PD 与线段 AB 分别交于点 C1 、 D1 , 且 AD1 , D1C1 , C1B 成等比数列. (1) 求动点 P 的轨迹方程; (2) 求动点 P 到直线 l : x ? y ? 6 ? 0 距离 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.
C1 B O P y

D1 A x

C

D

14. (本小题满分 20 分) 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x 2 ? a | ln x ? 1 | . (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)当 x ? [1,??) 时,求函数 f ( x) 的最小值.

?

?

15. (本小题满分 20 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f (1) ?

5 ,且对于任意实数 x、 y , 2

总有 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) 成立. (1)求 f (0) 的值,并证明 f ( x ) 为偶函数; (2)若数列 {an } 满足 an ? 2 f (n ? 1) ? f (n)(n ? 1, 2,3,?) ,求数列 {an } 的通项公式; ( 3 )若对于任意非零实数 y ,总有 f ( y ) ? 2 . 设有理数 x1 , x2 满足 | x1 |?| x2 | ,判断 f ( x1 ) 和

f ( x2 ) 的大小关系,并证明你的结论.

3

2009 年广州市高二数学竞赛试题 参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解 法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照 评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部 分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:每小题 6 分,满分 24 分. 1.C 2.B 二、填空题:每小题 6 分,满分 36 分. 5.

3.D

4.A

3lg 2

8 2 6. 3

7. 1 ? 2

8. 13

19 ? ? 1 ? 9. ?1 ? ? ? 3 ? ? ?2?

1005

? ? ? ?

10.

6? 3

三、解答题:满分 90 分. 11. (本小题满分 15 分) 解: (1)∵ C ? 2 A, cos A ?

3 ? 0, 4
2

∴ cos C ? cos 2 A ? 2cos A ? 1 ? 2 ? ? ∵ 0 ? A ? ?,0 ? C ? ? , ∴ 0? A?

1 ?3? ? ?1 ? ? 0 . 8 ?4?

2

? ? ,0 ? C ? . 2 2
2

? ? ? cos A cos C ? sin Asin C ? 9 ? . 16 ??? ? ??? ? 27 (2) ∵ BA?BC ? , 2 27 ∴ ac cos B ? . 2
∴ ac ? 24 . ∵

3 7 7 2 , sin C ? 1 ? cos C ? . 8 4 ∴ cos B ? cos ? ?? ? ? A ? C ?? ? ? ? cos ? A ? C ?
∴ sin A ? 1 ? cos A ?

a c c c ? ? ? , sin A sin C sin 2 A 2sin A cos A c 2 ? c. ∴a ? 2 cos A 3
4

2 ? ?a ? c, 由? 3 ? ?ac ? 24.

解得 ?

? a ? 4, ?c ? 6.
2 2

2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 2ac cos B ? 4 ? 6 ? 2 ? 24 ?

∴ b ? 5. 12. (本小题满分 15 分)

9 ? 25 . 16

证明:过 M 作 MH ? ? , H 为垂足,在 ? 内,作 MK ? AB , K 为垂足, 连接 KH , AH , BH ,则 ?MAH ? ?1 , ?MBH ? ?2 . ∵ MH ? ? , AB ? ? , ∴ MH ? AB . ∵ MK ? MH ? M , MK ? 平面 MHK , MH ? 平面 MHK , ∴ AB ? 平面 MHK . ∵ HK ? 平面 MHK , ∴ AB ? HK . ∴ ?MKH 是二面角 ? ? l ? ? 的平面角. ∴ ?MKH ? 45 . ∴ MH ?
?

?
M

K A B

l

2 H MK . 2 ? 2 2 2 在 Rt ?AMB 中, AM ? AK ?AB, BM ? BK ?AB, MK ? AK ?BK . MH MH ,sin ? 2 ? 在 Rt ?MHA 和 Rt ?MHB 中, sin ?1 ? . AM MB
∴ sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ?

MH 2 MH 2 MK 2 MK 2 ? ? ? AM 2 MB 2 2 AK ?AB 2 BK ?AB

AK ?BK AK ?BK ? 2 AK ?AB 2 BK ?AB BK ? AK ? 2 AB AB 1 ? ? . 2 AB 2 ?
∴ cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? 2 ? ( sin ?1 ? sin ? 2 ) ?
2 2

3 2

5

13. (本小题满分 20 分) 解: (1)设点 P 的坐标为 ? x, y ? ? y ? 0? ,过 P 作 PE // CD 交 DA 的延长线于 E ,交 CB 的延 长线于 F .

6 在 ?DPE 中, , 得 , ? ? 5? x 6? y PE DE
得 D1 A ?

D1 A

DA

D1 A

y

6 ?5 ? x ? . 6? y

F

P E

在 ?PCD 中,

C1 D1 CD

?

PD1 PD

?

EA ED

?

y , 6? y

B

18

C1 O

D1 A x

16

得 C1 D1 ?

10 y . 6? y

14

C

12

D
y

6 ?5 ? x ? 同理可得 C1 B ? . 6? y
∵ AD1 , D1C1 , C1B 成等比数列, ∴ D1C1 ? AD1 ?C1 B .
-30

10

8

6

4

2

2

6 ? -20 5 ? x ? 6 ?5 ? x? ? 10 -25 y ? -15 ? ∴ ? . ? ? 6? y 6? y ?6? y ?
2

-10

-5 -2

O l
-4

5

x

10

15

x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? . 化简得 25 9
∴ 动点 P 的轨迹方程为

-6

-8

x y ? ? 1? y ? 0 ? . 25 9

2

2

-10

(2)由图易知当与直线 l 平行的直线与半椭圆相切于点 P 时,点 P 到直线 l 距离的最大.
-14

-12

设与直线 l : x ? y ? 6 ? 0 平行的直线方程为 x ? y ? k ? 0 ,代入 -16 得 34 x ? 50kx ? 25k ? 225 ? 0 ,①
2 2
2 2 由 ? ? 2500k ? 3400 k ? 9 ? 0 ,

x2 y 2 ? ? 1, 25 9

?

?

2 解得 k ? 34 ,由 k ? 0 ,得 k ? ? 34 .

6

故点 P 到直线 l 距离的最大值为

k ?6 2

?

? 34 ? 6 2

? 3 2 ? 17 .

把 k ? ? 34 代入①式,可解得点 P 的坐标为 ?

? 25 34 9 34 ? ? 34 , 34 ? ?. ? ?

14. (本小题满分 20 分)
2 解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? | ln x ? 1 | ,当 x ? e 时, f ( x) ? x ? ln x ? 1, f ?( x) ? 2 x ?

令 x ? 1 ,得 f (1) ? 2, f ?(1) ? 1, 所以切点为(1,2) ,切线的斜率为 1, 所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为: x ? y ? 1 ? 0 . (2)①当 x ? e 时, f ( x) ? x 2 ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ? 故当 x ? e 时, ymin ? f (e) ? e 2 .
2 ②当 1 ? x ? e 时,f ( x) ? x ? a ln x ? a ,f ?( x) ? 2 x ?

1 x

? a ? 0 ,? f ( x) ? 0 恒成立. ? f ( x) 在 [e,??) 上为增函数.

a ( x ? e) . x

a 2 a a ? (x ? )(x ? )( 1 ? x ? e ) x x 2 2

(ⅰ)当

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时,若 x ? (1, e) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 [1, e) 上为增函数. 2 故当 x ? 1 时, y min ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e) .

a a ? e ,即 2 ? a ? 2e 2 时,若 x ? (1, ) 时, f ?( x) ? 0 ; 2 2 a , e) 时, f ?( x) ? 0 , 若 x?( 2 a a ) 上为减函数,在 ( , e] 上为增函数, 所以 f ( x) 在区间 [1, 2 2 a a 3a a a ? ln ,且此时 f ( ) ? f (e) . 故当 x ? 时, y min ? 2 2 2 2 2 a ? e ;即 a ? 2e 2 时,若 x ? (1, e) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间[1, e ]上为减函数, (ⅲ)当 2 2 故当 x ? e 时, ymin ? f (e) ? e . 2 2 综上所述,当 a ? 2e 时, f ( x) 在 [e,??) 和 [1, e) 上的最小值都是 e ,
(ⅱ)当 1 ? 所以 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 f (e) ? e ;
2

a 3a a a a )? ? ln ,而 f ( ) ? f (e) , 2 2 2 2 2 a 3a a a )? ? ln . 所以 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 f ( 2 2 2 2 2 当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [e,??) 时最小值为 e ,在 [1, e) 时的最小值为 f (1) ? 1 ? a , 而 f (1) ? f (e) , 所以 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 f (1) ? 1 ? a .
当 2 ? a ? 2e 时, f ( x) 在 [1, e) 时的最小值为 f (
2

7

所以函数 y ? f ( x) 的最小值为 ymin

? 1 ? a, ? 3a a a ? ? ? ? ln , 2 ?2 2 2 e , ? ?

0 ? a ? 2, 2 ? a ? 2e2 , a ? 2e2 .

15.(本小题满分 20 分) 解:(1)令 x ? 1, y ? 0 ,? f ?1? ? f ? 0? ? f ?1? ? f ?1? ,又? f (1) ?

5 ,? f ? 0? ? 2 . 2

令 x ? 0 ,得 f (0) f ( y) ? f ( y) ? f (? y) ,即 2f ( y) ? f ( y) ? f (? y)

? f ( y) ? f (? y) 对任意的实数 y 总成立, ? f ? x ? 为偶函数. 25 17 ? f (2) ? 2 ,? f (2) ? . (2)令 x ? y ? 1 ,得 f ?1? f ?1? ? f ? 2? ? f ? 0? ,? 4 4 17 5 ? a1 ? 2 f (2) ? f (1) ? ? ? 6 . 2 2
令 x ? n ? 1, y ? 1 ,得 f (n ? 1) f (1) ? f (n ? 2) ? f (n) ,

? f (n ? 2) ?

5 f (n ? 1) ? f (n) . 2

?5 ? ? an?1 ? 2 f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 1? ? 2 ? f ? n ? 1? ? f ? n ?? ? f ? n ? 1? ? 4 f ? n ? 1? ? 2 f ? n ? 2 ? ?

? 2[2 f (n ? 1) ? f (n)] ? 2an

(n …1).

? {an } 是以 6 为首项,以 2 为公比的等比数列.
∴ an ? 6 ? 2n?1 . (3)结论: f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 证明:∵ y ? 0 时, f ( y ) ? 2 , ∴ f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? 2 f ( x) ,即 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? y ) . ∴令 x ? ky ( k ? N ) ,故 ?k ? N ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] 成立.
+ +



f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] ? f [(k ?1) y] ? f [(k ? 2) y] ? ? ? f ( y) ? f (0) ? 0 .
∴对于 k ? N ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) 成立.
+

8

∴对于 m, n ? N+ ,若 n ? m ,则有 f (ny ) ? f ? ?? n ? 1? y ? ? ? ? ? f (my ) 成立. ∵ x1 , x2 ? Q ,所以可设 | x1 |?

q1 q ,| x2 |? 2 ,其中 q1 , q2 是非负整数, p1 , p2 都是正整数, p1 p2

则 | x1 |?

q1 p2 pq 1 , t ? q1 p2 , s ? p1q2 ,则 t , s ? N+ . ,| x2 |? 1 2 ,令 y ? p1 p2 p1 p2 p1 p2

∵ | x1 |?| x2 | ,∴ t ? s ,∴ f (ty) ? f ( sy ) ,即 f (| x1 |) ? f (| x2 |) . ∵函数 f ( x ) 为偶函数,∴ f (| x1 |) ? f ( x1 ), f (| x2 |) ? f ( x2 ) . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

9


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