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浙江省嘉兴市2013届高三教学测试数学理试题(一)2013嘉兴一模 Word版含答案


2013 年高三教学测试(一)

理科数学试题卷
注意事项: 1. 本科考试分试題卷和答題卷,考生须在答題卷上作答.答题前,请在答題卷的密 封 线内填写学校、班级、学号、姓名; 2. 本试題卷分为第 1 卷(选择題)和第π 卷(非选择題)两部分,共 6 页,全卷满 分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 如果事件 A , B 互斥,那么


P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

棱柱的体积公式
V ? Sh

如果事件 A , B 相互独立,那么 柱的高
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱

棱锥的体积公式
1 V ? Sh 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱

锥的高
k Pn ? k ? ? Cn pk ?1 ? k ? n?k

, ? k ? 0,1,2,?, n ?

棱台的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

球的表面积公式

S ? 4? R 2

?

?

3 球的体积公式 V ? ? R

4 3

其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下

底面积, 其中 R 表示球的半径
h 表示棱台的高

第 I 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1. 若i为虚数单位,则复数

1? i = 1? i

A. i B. -i

C.

2i

D.-

2i

2. 函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

). cos x 的最小正周期是
C. 2π D . 4π

A.

? 2

B. π

3. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 A. O B. -1

C. ?

3 2

D. ?

7 4

4. 已知α ,β 是空间中两个不同平面,m , n是空间中两条不 同直线,则下列命题中错误的是 A. 若 m//n B. 若 m//α C. 若m 丄α m 丄α , α 则n 丄α 则 m//n 则 α //β 则 α 丄β

?β ,

, m 丄β ,

D. 若 m 丄 α , m ? β 5. 已知函数 ?

? f1 ( x), x ? 0 下列命题正确的是 ? f 2 ( x), x ? 0

A. 若 f 1 ( x ) 是增函数, f 2 ( x) 是减函数,则 f (x) 存在最大值 B. 若 f (x) 存在最大值,则 f 1 ( x ) 是增函数, f 2 ( x) 是减函数 C. 若 f 1 ( x ) , f 2 ( x) 均为减函数,则 f (x) 是减函数 D. 若 f (x) 是减函数,则 f 1 ( x ) , f 2 ( x) 均为减函数 6. 已知 a,b∈R,a.b≠O,则“a>0,b>0” 是“ A.充分不必要条件 C. 充要条件 7. 已知双曲线 c:

a?b ? ab ”的 2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,以右焦点 F 为圆心,|OF|为半径的圆交双 a2 b2

曲线两渐近线于点 M、N (异于原点 O),若|MN|= 2 3a ,则双曲线 C 的离心率 是 A.

2

B.

3

C. 2

D.

3 ?1

8. 已知 0 ? x ? A.若 x ?

?
2

,则下列命题正确的是 B.若 x ?

1 1 则. x ? sin x sin x 1 1 C. 若 x ? ,则 x ? sin x sin x

1 1 ,则 x ? sin x sin x 1 1 D若x ? ,则 x ? sin x sin x

9. 如图,给定由 10 个点(任意相邻两点距离为 1)组成的 正三角形点阵, 在其中任意取三个点,以这三个点为顶 点构成的正三角形的个数是 A. 13 B. 14 C. 15 D. 17

10. 已知函数 f(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),集合 A = {x 丨 f(x)=0}, B = {x|f(f(x)))= 0},若 A ? B ? A b?0 C 0?b?4 B b<0或 b ? 4 D b ? 4或b ? 4 非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 已知奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)= log2(x+ 3), 则 f(-1)=__▲__ 且存在x0∈B,x0∈A则实数b的取值范围是

?x ? y ? 2 ? 12. 已知实数x,y满足 ? x ? y ? 2 则z = 2x+y的最小值是__▲__ ?? 1 ? x ? 2 ?
13. —个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__▲__

14. 设(x-2) =a0+a1(x+1)+a2(x+1) +?+a6(x+1) ,则 a0+a1+a2+?+a6 的值为__▲__ 15. 一盒中有 6 个小球,其中 4 个白球,2 个黑球?从盒中一次任取 3 个球,若为黑球则 放 回盒中,若为白球则涂黑后再放回盒中.此时盒中黑球个数 X 的均值 E(X) =__▲__. 16. 若 a, b 是两个非零向量, | a |?| b |? ? | a ? b |, ? ? [ 且 取值范围是__▲__.

6

2

6

3 则 ,1] , b 与 a ? b 的夹角的 3

2 17. 己知抛物线 y =4x 的焦点为 F,若点 A, B 是该抛物线上的点, ?AFB ?

?
2

,线段 AB

的中点 M 在抛物线的准线上的射影为 N,则

| MN | 的最大值为__▲__. | AB |

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟? 18. (本题满分 14 分) 在Δ ABC 中, ,c 分 别 是 角 a,b (I )求角 B 的大小 (II) 若 S ?ABC ? 3 ,求 b 的最小值. A , B , C 所 对 的 边 ,且 a=

1 c + bcosC . 2

19. (本题满分 14 分) 已知等差数列{an}的公差不为零,且 a3 =5, a1 , a2.a5 成等比数列 ( I ) 求数列{an}的通项公式: (II)若数列{bn}满足 b1+ 2 b 2+ 4 b 3 + ?+2n bn=an 且数列{bn}的前 n 项和 Tn 试比较Tn与
-1

3n ? 1 的大小 n ?1

20. (本题满分 15 分) 如图,直角梯形 ABCD 中,AB//CD, ?BCD = 90° , BC = CD = 底面 ABCD, FD 丄底面 ABCD 且有 EC=FD= 2. (I )求证:AD 丄 BF :

2 ,AD = BD:EC 丄

(II )若线段 EC 上一点 M 在平面 BDF 上的射影恰好是 BF 的中点 N,试求二面角 B-MF-C 的余弦值.

21 (本题满分 15 分) 已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1,F2, O 为原点. 2

(I)如图①,点 M 为椭圆 C 上的一点,N 是 MF1 的中点,且 NF2 丄 MF1,求点 M 到 y 轴的距 离; (II)如图②,直线 l: :y=k + m 与椭圆 C 上相交于 P,G 两点,若在椭圆 C 上存 在点 R,使 OPRQ 为平行四边形,求 m 的取值范围.

22. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (2a ? 2) x ? (2a ? 1) ln x 2

(I )求 f(x)的单调区间; (II)对任意的 a ? [ , ], x1 , x 2 ? [1,2] ,恒有 | f ( x1 ) | ? f ( x 2 ) ? ? | 数 ? 的取值范围.

3 5 2 2

1 1 ? | ,求正实 x1 x 2

三、解答题(本大题共 5 小题,第 18-20 题各 14 分,第 21、22 题各 15 分,共 72 分) 18.解: (Ⅰ)由正弦定理可得:

sin A ?

1 sinC ? sin B cos C 2 ,

?2 分 ?4 分

又因为 A ? ? ? ( B ? C ) ,所以 sin A ? sin(B ? C ) ,

可得

sin B cos C ? cos B sinC ? 1 ? B? 2 .所以 3

1 sinC ? sin B cos C 2 ,

?6 分



cos B ?

?7 分

1 ? ac sin ? 3 S ?ABC ? 3 ,所以 2 3 (Ⅱ) 因为 ,所以 ac ? 4
2 2 2 由余弦定理可知: b ? a ? c ? ac ? 2ac ? ac ? ac 2 所以 b ? 4 ,即 b ? 2 ,所以 b 的最小值为 2.

?10 分 ?12 分 ?14 分

19.解: (Ⅰ)在等差数列中,设公差为 d (d ? 0) ,

?a 1 a 5 ? a 2 2 ?a1 (a1 ? 4d ) ? (a1 ? d ) 2 ? ? ? ? ? a1 ? 2d ? 5 ? a3 ? 5 由题 ? ,? ? ,
?a 1 ? 1 ? ?d ? 2

?3 分

解得:

.

?4 分 ?5 分 ①

? a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1 .
n?1 (Ⅱ) b1 ? 2b2 ? 4b3 ? ? ? 2 bn ? a n

20.解: (Ⅰ)证明:∵ BC ? DC ,且 BC ? CD ? 2 , ∴ BD ? 2 且 ?CBD ? ?BDC ? 45 ;
?

?1 分
?

又由 AB // DC ,可知 ?DBA ? ?CBD ? 45

∵ AD ? 2 ,∴ ?ADB是等腰三角形,且 ?DAB ? ?DBA ? 45 ,
?

∴ ?ADB ? 90 ,即 AD? DB ;
?

?3 分 ?4 分 ?6 分

∵ FD ? 底面 ABCD 于 D, AD? 平面 ABCD,∴ AD? DF , ∴ AD ? 平面 DBF.又∵ BF ? 平面 DBF,∴可得 AD? BF .

(Ⅱ)解:如图,以点 C 为原点,直线 CD、CB、CE 方向为 x、y、z 轴建系. 可得 D( 2 ,0,0), B(0, 2 ,0), F ( 2 ,0,2), A(2 2 , 2 ,0) ,
N( 2 2 , ,1) 2 2 .

?8 分

z
?9 分

又∵ N 恰好为 BF 的中点,∴
MN ? (

M
设 M (0,0, z0 ) ,∴
2 2 , ,1 ? z 0 ) 2 2 .

E

又∵

? MN ? BD ? 0 ? ? ? MN ? DF ? 0 ?

M

N
,∴可得 z0 ? 1 . ?11 分

故 M 为线段 CE 的中点.

x
A

D
y B

C

设平面 BMF 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 且 BF ? ( 2 ,? 2 ,?2) ,

20 题解答

? BF ? n ? 0 ? 2 x1 ? 2 y1 ? 2 z1 ? 0 ? 1 ? ? ? BM ? (0,? 2 ,1) ,由 ? BM ? n1 ? 0 可得 ? ? 2 y1 ? z1 ? 0 ? ? ,
? x1 ? 3 ? ? y1 ? 1 ? z ? 2 n1 ? (3,1, 2 ) 取? 1 得 .

?13 分 ?14 分

又∵平面 MFC 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0) ,
cos ? n1 , n2 ?? n1 ? n2 n1 n2 ? 3 6



.

3 6 . 故所求二面角 B-MF-C 的余弦值为

?15 分 ?1 分

21.解(Ⅰ) F1 ( ?1, 0) , 设 M ( x 0 , y 0 ) ,则 MF1 的中点为 N (

x0 ? 1 y0 , ), 2 2

?2 分

∵ MF1 ? NF2 ,∴ MF1 ? NF2 ? 0 ,即 ( x0 ? 1, y0 ) ? ( ∴ x0 2 ? 2 x0 ? 3 ? y0 2 ? 0 又有
x0 2 ? y0 ? 1 , 2
2

x0 ? 3 y0 , ) ?0, 2 2
?4 分

?3 分

(1) (2)

由(1)(2)解得 x 0 ? 2 ? 2 2 ( x 0 ? 2 ? 2 2 舍去) 、 所以点 M 到 y 轴的距离为 2 2 ? 2 . (Ⅱ)设 P( x1 , y1 ) , Q( x 2 , y 2 ) , ∵OPRQ 为平行四边形,∴ x1 ? x2 ? xR , y1 ? y 2 ? y R . ∵R 点在椭圆上,∴ 即
( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 1 , 2

?5 分 ?6 分

?8 分

( x1 ? x 2 ) 2 ? [ k ( x 1 ? x 2 ) ? 2m ] 2 ? 1 , 2

?9 分 ?10 分

化简得, (1 ? 2k 2 )( x1 ? x2 )2 ? 8km( x1 ? x2 ) ? 8m2 ? 2 .?(1)
? x2 ? ? y2 ? 1 由? 2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0 . ? y ? kx ? m ?

由 ? ? 0 ,得 2k 2 ? 1 ? m 2 ?(2) , 且 x1 ? x 2 ? ?

?11 分 ?12 分

4km 1 ? 2k 2


? 32k 2 m 2 1 ? 2k 2 ? 8m 2 ? 2 ,

代入(1)式,得

16(1 ? 2k 2 )k 2 m 2 (1 ? 2k 2 ) 2

化简得 4m 2 ? 1 ? 2k 2 ,代入(2)式,得 m ? 0 . 又 4m 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 , ∴ m ? ?

?14 分 ?15 分

1 1 或m? . 2 2

22.解: (Ⅰ)

f ?( x ) ? x ? (2a ? 2) ?

2a ? 1 ( x ? 2a ? 1)( x ? 1) x = x ( x ? 0)
?1 分

? 令 f ( x ) ? 0 , x1 ? 2a ? 1, x2 ? 1
f ?( x ) ? ( x ? 1)2 ?0 x ,所以 f ( x ) 增区间是 ?0,??? ;

① a ? 0 时,

② a ? 0 时, 2a ? 1 ? 1 ,所以 f ( x ) 增区间是 (0,1) 与 ( 2a ? 1,??) ,减区间是 (1,2a ? 1)

③ ④

?

1 ?a?0 2 时,0 ? 2a ? 1 ? 1 , 所以 f ( x ) 增区间是 (0,2a ? 1) 与 (1,??) , 减区间是 ( 2a ? 1,1)

a??

1 2 时, 2a ? 1 ? 0 ,所以 f ( x ) 增区间是 (1,??) ,减区间是 (0,1)

?5 分

3 5 a ?[ , ] 2 2 ,所以 ( 2a ? 1) ? [4,6] ,由(1)知 f ( x ) 在 [1,2] 上为减函数. ?6 分 (Ⅰ)因为
若 x 1 ? x 2 ,则原不等式恒成立,∴ ? ? (0, ? ? )
1 1 ? 若 x 1 ? x 2 ,不妨设 1 ? x1 ? x 2 ? 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , x1 x2 ,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ( 1 1 ? ) x1 x 2

?7 分

f ( x1 ) ? ?

所以原不等式即为:

,即

1 1 ? f ( x2 ) ? ? x1 x2 对任意的

3 5 a ?[ , ] 2 2 , x1 , x2 ? [1,2] 恒成立


g( x ) ? f ( x ) ?

?

3 5 a ?[ , ] x ,所以对任意的 2 2 , x1 , x2 ? [1,2] 有 g( x1 ) ? g( x 2 ) 恒成立,所以

g( x ) ? f ( x ) ?

?
x 在闭区间 [1,2] 上为增函数
3 5 a ?[ , ] 2 2 , x ? [1,2] 恒成立
?9 分

? 所以 g ( x ) ? 0 对任意的

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