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高中数学竞赛讲义 极限的概念及求极限方法

时间:2011-02-19


极限
数列极限的定义 一般地,如果当项数 n 无限增大时,无穷数列 {an } 的项 an 无限地趋近于某个 常数 a (即 an ? a 无限地接近于 0),那么就说数列 {an } 以 a 为极限. 注: a 不一定是 {an } 中的项. 几个常用的极限
1 (1) lim C = C ( C 为常数);(2) lim =0 ;(3) lim q n =

0 ( q < 1 ). n →∞ n →∞ n n →∞ 两个重要极限

sin x (1) lim =0 x →0 x

? 1? (2) lim ?1 + ? = e x →∞ ? x?

x

数列极限的四则运算法则 设 数 列 { an } { bn } 当 lim an = a , lim bn = b 时 , lim( an ± bn ) = a ± b ; 、 ,
n →∞ n →∞ n →∞

lim( an bn ) = a b ; lim
n →∞

an a = ( b ≠ 0 ). n →∞ b b n

求极限的各种方法
1.约去零因子求极限 . 例 1:求极限 lim
x →1

x4 ?1 x ?1

【说明】 x → 1 表明 x与1 无限接近,但 x ≠ 1 ,所以 x ? 1 这一零因子可以约去。
【解】 lim ( x ? 1)( x + 1)( x 2 + 1) = lim( x + 1)( x 2 + 1) = 6 x →1 x →1 x ?1 x3 ? x2 x→∞ 3 x 3 + 1

2.分子分母同除求极限
例 2:求极限 lim 【说明】

∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ∞

【解】 lim

1? 1 x3 ? x2 1 x = lim = 3 1 x→∞ 3 x + 1 x→∞ 3 + 3 x3

【注】(1) 一般分子分母同除 x 的最高次方;

? ?0 a n x n + a n ?1 x n ?1 + L + a 0 ? (2) lim = ?∞ m ?1 x→∞ b x m + b + L + b0 ? a m m ?1 x n ? ? bn

m>n m<n m=n

3.分子(母)有理化求极限 .分子 母 有理化求极限 例 3:求极限 lim ( x 2 + 3 ? x 2 + 1)
x → +∞

【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】 lim ( x 2 + 3 ? x 2 + 1) = lim
x → +∞

( x 2 + 3 ? x 2 + 1)( x 2 + 3 + x 2 + 1)

x → +∞

x2 + 3 + x2 +1

= lim

2 x + 3 + x2 +1
2

x → +∞

=0

例 4:求极限 lim
x →0

1 + tan x ? 1 + sin x x3

【解】 lim
x →0

1 + tan x ? 1 + sin x tan x ? sin x = lim 3 3 x →0 x x 1 + tan x ? 1 + sin x 1 lim

= lim
x →0

tan x ? sin x 1 tan x ? sin x 1 = lim = 3 2 x →0 4 x x3 1 + tan x + 1 + sin x x→0

【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解题的 分离极限式中的非零因子 ........... 关键 4.应用两个重要极限求极限 .
sin x 1 1 两个重要极限是 lim = 1 和 lim(1 + ) x = lim(1 + ) n = lim(1 + x) x = e ,第一个重 x→0 x→∞ n→ ∞ x →0 x x n
1

要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
? x + 1? 例 5:求极限 lim ? ? x → +∞ x ? 1 ? ?
x

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑 + 分。

1 ,最后凑指数部 X

x ?1 1? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?2 ? ? x + 1? ? 2 ??1 + 1 ? 【解】 lim ? ? = xlim ?1 + ? = xlim ?? ?1 + ? ? =e x ?1 ? x → +∞ x ? 1 → +∞ → +∞ x ?1? x ?1? ? ? ? ? 2 ? ?? ? ? ? x x

2

1 ? ? ? x + 2a ? 例 6:(1) lim ?1 ? 2 ? ;(2)已知 lim ? ? = 8 ,求 a 。 x → +∞ x → +∞ ? x ? ? x?a ?
x x

5.用等价无穷小量代换求极限 . 【说明】 (1)常见等价无穷小有: 当 x → 0 时, x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x) ~ e x ? 1 ,
1 2 b x , (1 + ax ) ? 1 ~ abx ; 2 (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式; 因式 .. 1 ? cos x ~

(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 应作为首选 ..... x ln(1 + x) = 例 7:求极限 lim x → 0 1 ? cos x x ln(1 + x) x?x 【解】 lim = lim =2. 解 x → 0 1 ? cos x x →0 1 2 x 2 sin x ? x 例 8:求极限 lim x →0 tan 3 x 【解】 lim 解
?1x sin x ? x sin x ? x cos x ? 1 1 = lim = lim = = lim 2 2 = ? 3 2 3 x →0 tan x x →0 x →0 x→0 6 x 3x 3x
2

6.用罗必塔法则求极限 . 例 9:求极限 lim 【说明】
ln cos 2 x ? ln(1 + sin 2 x) x →0 x2

∞ 0 或 型的极限,可通过罗必塔法则来求。 ∞ 0 ? 2 sin 2 x sin 2 x ? 2 ln cos 2 x ? ln(1 + sin x) 1 + sin 2 x 【解】 lim = lim cos 2 x 解 x →0 x →0 2x x2 = lim
sin 2 x ? ? 2 1 ? ? ? ? = ?3 2 x →0 2 x ? cos 2 x 1 + sin x ?

【注】许多变动上显的积分表示的极限,常用罗必塔法则求解

∫ 例 10:设函数 f(x)连续,且 f (0) ≠ 0 ,求极限 lim
x→0

x

0

( x ? t ) f (t )dt
x 0

x ∫ f ( x ? t )dt

.

【解】 由于 ∫ f ( x ? t )dt = 解
0

x

x ?t =u 0



x

f (u )(? du ) = ∫ f (u )du ,于是
0 x 0

x

∫ lim
x →0

x

0

( x ? t ) f (t )dt
x 0

x ∫ f ( x ? t )dt

= lim
x →0

x ∫ f (t )dt ? ∫ tf (t )dt
0

x

x ∫ f (u )du
0

x

∫ = lim
x →0

x

0

f (t )dt + xf ( x) ? xf ( x)



x

0

f (u )du + xf ( x)

= lim
x →0

∫ ∫
x 0

x

0

f (t )dt

f (u )du + xf ( x)


= lim
x →0

x

0

f (t )dt x x + f ( x) =



x

0

f (u )du

f ( 0) 1 = . f ( 0) + f ( 0) 2

7.用对数恒等式求 lim f ( x) g ( x ) 极限 . 例 11:极限 lim[1 + ln(1 + x)]
x →0 2 2 x

2 x →0

【解】 解

lim[1 + ln(1 + x)] x = lim e x
x →0

ln[1+ ln(1+ x )]

= e x→0

lim

2 ln[1+ ln(1+ x )] x

= e x→0

lim

2 ln(1+ x ) x

= e2.

【注】对于 1∞ 型未定式 lim f ( x) g ( x ) 的极限,也可用公式 注
lim f ( x) g ( x ) (1∞ ) = e lim( f ( x )?1) g ( x )

因为
lim f ( x) g ( x ) = e lim g ( x ) ln( f ( x )) = e lim g ( x ) ln(1+ f ( x ) ?1) = e lim( f ( x ) ?1) g ( x )

1 例 12:求极限 lim 3 x →0 x

?? 2 + cos x ? x ? ?? ? ? 1? . 3 ? ?? ? ? ?
? 2 + cos x ? x ln ? ? 3 ? ?

【解 1】 原式 = lim 解
x →0

e

x3

? 2 + cos x ? ln ? ? ?1 3 ? ? = lim x →0 x2

1 ( ? sin x) ? ln 2 + cos x) ln 3 ( ? 2 + cos x = lim = lim x →0 x →0 x2 2x 1 1 sin x 1 = ? lim ? =? 2 x →0 2 + cos x x 6 e
? 2 + cos x ? x ln ? ? 3 ? ?

【解 2】 原式 = lim 解
x →0

x3 = lim
x →0

? 2 + cos x ? ln ? ? ?1 3 ? ? = lim x →0 x2
cos x ? 1 ) cos x ? 1 1 3 = lim =? 2 2 x →0 x 3x 6

ln + (1

8.利用 Taylor 公式求极限

例 13 求极限 lim

a x + a ?x ? 2 , x →0 x2

(a > 0).

【解】 解

a x = e x ln a = 1 + x ln a +

x2 2 ln a + o( x 2 ) , 2

a ? x = 1 ? x ln a +

x2 2 ln a + o( x 2 ) ; 2

a x + a ? x ? 2 = x 2 ln 2 a + o( x 2 ).


lim

a x + a ?x ? 2 x 2 ln 2 a + o( x 2 ) = lim = ln 2 a . 2 2 x →0 x →0 x x

1 1 例 14 求极限 lim ( ? cot x ) . x →0 x x 1 1 1 sin x ? x cos x 【解】 lim ( ? cot x ) = lim 解 x →0 x x x →0 x x sin x 3 x x2 x ? + ο ( x3 ) ? x[1 ? + ο ( x 2 )] 3! 2! = lim 3 x →0 x

1 1 3 ? ) x + ο ( x3 ) 1 2! 3! = lim = 3 x →0 x 3. (

9.数列极限转化成函数极限求解 .数列极限转化成函数极限求解

1? ? 例 15:极限 lim? n sin ? n →∞ n? ?

n2

【说明】这是 1∞ 形式的的数列极限,由于数列极限不能使用罗必塔法则,若直接求有 一定难度,若转化成函数极限,可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解。
1? ? 【解】考虑辅助极限 lim ? x sin ? x → +∞ x? ?
x2
? 1 ?1 ? ? ? sin y ?1 ? y2 ? y ?

= lim e
x → +∞

1 ? ? x 2 ? x sin ?1 ? x ? ?

= lim+ e
y →0

=e

?

1 6

1? ? 所以, lim? n sin ? n →∞ n? ?

n2

=e

?

1 6

10.n 项和数列极限问题 . n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.
? 1 1 1 +L+ 例 16:极限 lim? ? 2 2 + n →∞ n2 + 22 n2 + n2 ? n +1 ? ? ? ?

【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把 f (x) 看成[ 0,1 ]定积分。
1 1? ?1? ? n ?? ?2? lim ? f ? ? + f ? ? + L + f ? ? ? = ∫ f ( x)dx ? n ? 0 n →∞ n ? n ?? ?n? ? ? ?

? ? 1? 1 1 1 【解】原式= lim ? + +L+ 2 2 2 n →∞ n ? ?1? ? 2? ?n? 1+ ? ? 1+ ? ? ? 1+ ? ? ?n? ?n? ?n? ?

? ? ? ? ? ? ?

=∫

1 0

1 2 ?1 dx = ? ln 2 2 +1 1+ x2 1
? ? ? ? ?2? f ? ? +L+ ?n? ? n ?? f ? ? ? 的形式, ? ? n ??

? 1 1 1 + +L+ 例 17:极限 lim? 2 2 2 n →∞? n +2 n +n ? n +1

1? ?1? 【说明】 (1)该题遇上一题类似, 但是不能凑成 lim ? f ? ? + n →∞ n ? ? ?n?

因而用两边夹法则求解; (2) 两边夹法则需要放大不等式,常用的方法是都换成最大的或最小的。
? 1 1 1 【解】 lim? + +L+ ? 2 n →∞ n2 + 2 n2 + n ? n +1 ? ? ? ?

因为

n n2 + n n



1 n2 + 1 = lim
n →∞

+ n

1 n2 + 2 =1

+L+

1 n2 + n



n n2 +1

又 lim
n →∞

n2 + n

n2 +1

? 1 1 1 所以 lim? + +L+ ? 2 n →∞ n2 + 2 n2 + n ? n +1

? ? =1 ? ?

12.单调有界数列的极限问题 . 例 18:设数列 { xn } 满足 0 < x1 < π , xn +1 = sin xn (n = 1, 2,L) (Ⅰ)证明 lim xn 存在,并求该极限;
n →∞

? x ? xn2 (Ⅱ)计算 lim ? n +1 ? . n →∞ ? xn ? 【分析 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明 分析】 分析 数列极限的存在.

1

【详解 详解】 详解

(Ⅰ)因为 0 < x1 < π ,则 0 < x2 = sin x1 ≤ 1 < π .

可推得 0 < xn +1 = sin xn ≤ 1 < π , n = 1, 2,L ,则数列 { xn } 有界. 于是
xn +1 sin xn = < 1, (因当 x > 0时, x < x ) 则有 xn +1 < xn ,可见数列 { xn } 单 sin , xn xn
n →∞

调减少,故由单调减少有下界数列必有极限知极限 lim xn 存在. 设 lim xn = l ,在 xn +1 = sin xn 两边令 n → ∞ ,得
n →∞

l = sin l ,解得 l = 0 ,即 lim xn = 0 .
n →∞

(Ⅱ)



? xn +1 ? xn2 ? sin xn ? xn2 ∞ lim ? ? = lim ? ? ,由(Ⅰ)知该极限为 1 型, n →∞ n →∞ xn ? xn ? ? ?
1

1

1

? sin x ?1 ? 2 ?1 ? x2 ? lim ? sin x ? = lim e x ? x = lim e x→0 + ? x x →0 + x→0 + ?
1 ? ? x ? xn2 ? sin xn ? xn2 lim ? n +1 ? = lim ? =e 6. ? n →∞ n →∞ ? xn ? ? xn ? 1 1

1 ?1

?

sin x ? x 2 x3

=e

?

1 6

(使用了罗必塔法则)