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人教版-高中数学选修1-1-第二章 2.3.2 抛物线的简单几何性质

时间:2010-07-16


抛物线的简单几何性质

施教者: 夏伟峰

知识回顾
1、抛物线的定义: 2、抛物线的标准方程
= 2 px( p > 0), y2 = -2 px( p > 0) y
2

= 2 py( p > 0), x2 = -2 py( p > 0) x
2

r />
图形

标准方程
y = 2 px( p > 0)
2

焦点坐标 准线方程
p ( ,0) 2

p x=2 p x= 2 p y=2 p y= 2

y 2 = -2 px( p > 0) ( - p ,0) 2 x = 2 py( p > 0)
2

p (0, ) 2

p x 2 = -2 py( p > 0) (0, - 2 )

背 景 引 入

葡萄美酒夜光杯, 欲饮琵琶马上催.
8cm

4cm

问题1:如果测量得酒杯杯口宽 4cm,杯深8cm,试求出该抛 物线方程?

4cm

8cm

解:如图建立平面直角坐标系,

则可知A(-2,8),B(2,8)
所以设抛物线的方程 为: x = 2 py( p > 0)
2

A、B点在抛物线上,代入抛

1 物线方程,可得P= , 4

则所求的抛物线方程为: 1 2 x = y. 2

问题2:研究酒杯轴截面 所在曲线的几何性质。
方程 范 围 对 称 轴 顶 点 离心率

1 x = y 2
2

y?0

y轴 (0,0) e=1

引申:探照灯反射镜的轴截面是抛物线 的一部分。已知灯口圆的直径为 60cm,灯深40cm,则光源的位置 在_____________处 ,光线最亮。
A

F

B

解:如图,在探照灯的轴截面所在平 面内建立平面直角坐标系,是反光镜 的顶点(即抛物线的顶点)与原点重 合,x轴垂直于灯口直径。
设抛物线的标准方程

y

A

y 2 = 2 px( p > 0). 是 由已知条
件可得A(40,30),代入方程,

O

F

x

45 p= 得 4 所以所求的抛物线的
标准方程是

45 y = x, 45 ,0). 焦点为 ( 2
2

B
45 8

8

所以光源在垂直灯口直径且距探照灯顶点



标准 图形 方程
y 2 = 2 px ( p > 0)

焦点 坐标
p ( ,0) 2

准线 方程
p x=2 p x= 2 p y=2

对 顶点 称 轴

离心 率

(0,0) x轴 e=1 (0,0) x轴 e=1

y 2 = -2 px ( - p ,0) 2 ( p > 0) x = 2 py
2

( p > 0)

p (0, ) 2

(0,0) y轴 e=1 (0,0) y轴

x 2 = -2 py ( p > 0)

p p (0,) y= 2 2

e=1

练 习

西湖隧道的横断面由抛物线弧及一个 矩形的三边围成,尺寸如图(单位: m),一辆卡车空车时能通过此隧 道,现载一集装箱,箱宽3m,车与 箱共高4.5m,此车能否通过隧道? 并说明理由。
3 2 6

解:如图,建立坐标系,则A(-3,-3), B(3,-3).设抛物线方程为 x = -2 px( p > 0)
2

y o x

3 将B点代入,得 p = . 2
2

抛物线方程为 x = -3 y (-3 ? x ? 0)

3

C A(-3,-3)

D

因为车和箱共高4.5米,则集装箱上表面 距抛物线型隧道拱顶0.5米. 2 设抛物线上的D点的坐标为(x0,-0.5),

B(3,-3)

6

3 6 x = .所以x0 = ? . 2 2 | CD |= 2 | x0 |= 6 ? 3.
2 0

故此车不能通过隧道.

例1:过抛物线

y = 2 px( p > 0)
2

的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两 点,自A、B向准线作垂线,垂足分别为 ? C、D,求证: ?CFD = 90

例1:

y 2 = 2 px( p > 0) 过抛物线


的焦点F的直线与抛物线

相交于A,B两点,自A、B
向准线作垂线,垂足分别
1 3 6 5 4

为C、D,求证: ?CFD = 90?

证明:如图,由抛物线定义知|AF|=|AC|, 所以 ?ACF = ?AFC 。

? 同理, BFD = ?BDF 。又AC//BD,
因为 ?CAF ? ?DBF = 180 ?
所以 ?ACF ? ?AFC ? ?BFD ? ?BDF = 180
?AFC ? ?BFD = 90? 则
?



可证

?CFD = 90

?

变式1
若在上题的条件中,以线段CD 为直径的圆有与点F有什么关系?

N

M

小结:
主要通过抛物线型酒杯研究 抛物线的几何性质及应用.体 现了数形结合的解析几何思 想.


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