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集合与简易逻辑1.3

时间:2011-08-21


第一章

集合与常用逻辑用语

第三节

简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词

第一章

集合与常用逻辑用语

1.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断

p 真

q 真

p∧q 真 __

___ 假 _____ 假 _____ 假 _____

p∨q 真 _____ 真 _____ 真 _____ 假 ______

綈p 假 _____


假 假


真 假

_____ 假
真 _____ 真 _____

第一章

集合与常用逻辑用语

2.全称量词和存在量词 (1)全称量词有:所有的,任意一个,任给,用 ? 符号“___”表示. 存在量词有:存在一个,至少有一个,有些, ? 用符号“___”表示. (2)含有全称量词的命题, 叫做_________; 全称命题 “对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记 ?x∈M,p(x) 为:_____________. (3)含有存在量词的命题,叫做特称命题;“存 在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”可用符号简

?x0∈M,p(x0) 记为:_____________.

第一章

集合与常用逻辑用语

3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ?x∈M,p(x)
?x∈M,綈 p(x) ?x∈M,綈 p(x)

?x0∈M,p(x0)

第一章

集合与常用逻辑用语

1.下列命题中是全称命题并且是真命题的 是( ) A.所有菱形的四条边都相等 B.若 2x 为偶数,则?x∈N 2 C.若对?x∈R,则 x +2x+1>0 D.π 是无理数

第一章

集合与常用逻辑用语

解析:根据全称命题的定义可知判断 A、C 为全称命题,而命题 C:当 x=-1 时,x x2+2x+1>0”为假命题.
2

+2x+1=0,因此命题“若对?x∈R,则

答案:A

第一章

集合与常用逻辑用语

5 2. 已知命题 p: 0∈R, sin x0= ; ?x 使 2 命题 q:?x∈R,都有 x2+x+1>0.下 列结论中正确的是( ) A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧綈 q”是真命题 C.命题“綈 p∧q”是真命题 D.命题“綈 p∨綈 q”是假命题

第一章

集合与常用逻辑用语

解析:∵|sin x|≤1, ∴命题 p 是假命题,綈 p 是真命题. 12 3 3 又 x +x+1=(x+ ) + ≥ >0, 2 4 4
2

∴命题 q 是真命题,綈 q 是假命题, 故“綈 p∧q”是真命题.

答案:C

第一章

集合与常用逻辑用语

2 3.对命题“?x0∈R,x0-2x0+4≤0”

的否定正确的是( ) A.?x0∈R,x2-2x0+4>0 0 B.?x∈R,x2-2x+4≤0 C.?x∈R,x2-2x+4>0 D.?x∈R,x2-2x+4≥0
解析:特称命题的否定是全称命题,x2 -2x+4≤0 的否定是 x2-2x+4>0. 答案:C

第一章

集合与常用逻辑用语

4.命题 p:?x0∈R,x2+ax0+1≤0 为假 0 命题,则实数 a 的取值范围是________.
解析:由题知“?x∈R,x2+ax+1>0”为 真命题,则有 Δ=a2-4<0,∴-2<a<2.

答案:(-2,2)

第一章

集合与常用逻辑用语

判断含有逻辑联结词的命题的真假

判断下列复合命题的真假. (1)x=± 是方程 x2+3x+2=0 的根. 1 (2)方程 x2+x-1=0 的两根符号相反且绝对 值相等. (3)不等式|x+2|≤0 没有实数解.

第一章

集合与常用逻辑用语

【思路点拨】 先确定复合命题的构成形式, 然后判断其中简单命题的真假,最后根据真 值表判断复合命题的真假.

【解析】

(1)这个命题是“p 或 q”的形式,
2

其中 p:x=1 是方程 x2+3x+2=0 的根.q: x=-1 是方程 x +3x+2=0 的根,因 p 假 q 真, 则“p 或 q”为真, 所以该命题是真命题.

第一章

集合与常用逻辑用语

(2)这个命题是“p 且 q”的形式,其中 p:方 程 x2+x-1=0 的两根符号相反,q:方程 x2 +x-1=0 的两根绝对值相等, p 真 q 假, 因 则“p 且 q”为假.所以该命题是假命题. (3)这个命题是“非 p”的形式, 其中 p: 不等 式|x+2|≤0 有实数解,因 p 真,则“非 p” 假,所以该命题是假命题.

第一章

集合与常用逻辑用语

【拓展提升】 正确理解逻辑联结词“或”、 “且”、“非”的含义是解题的关键,应根据 组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结 词进行命题结构与真假的判断,其步骤为: 确定复合命题的构成形式 → 判断其中简单命题的真假 → 根据真值表判断复合命题的真假

第一章

集合与常用逻辑用语

一个复合命题,从字面上看不一定有 “或”“且”“非”字样,这样需要我们掌 握一些词语、符号或式子与逻辑联结词 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 的 关 系 , 如 “ 或 者 ”“x = ± 1”“≤” 的 含 义 为 “ 或 ” ; “ 并 且 ”“ 綊 ” 的 含 义 为 “ 且 ” ; “ 不 是”“ ”的含义为“非”.

第一章

集合与常用逻辑用语

1.已知命题 p:?x0∈R,使 tan x0=1,命题 q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}.下列结 论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧綈 q”是假命题; ③命题“綈 p∨q”是真命题; ④命题“綈 p∨綈 q”是假命题. 其中正确的是( ) A.②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④

第一章

集合与常用逻辑用语

π 解析:∵tan =1, 4 ∴p 为真命题,綈 p 为假命题. 又命题 q 是真命题, ∴綈 q 是假命题. ∴“p∧q”为真命题,“p∧綈 q”是假命 题,“綈 p∧q”是真命题,綈 p∨綈 q 是假 命题.故①②③④都正确. 答案:D

第一章

集合与常用逻辑用语

全(特)称命题及真假判断

试判断以下命题的真假. (1)?x∈R,x2-x+1>0. (2)?x∈{x|x 是无理数},则 x2 是无理数. (3)?α0、 0∈R, sin(α0+β0)=sin α0+sin β0. β 使 1 (4)?x0∈R,使 2 =2. x0-x0+1 【思路点拨】 首先判断命题是全称命题还
是特称命题,然后根据变量的范围判断结论 是否成立.

第一章

集合与常用逻辑用语

12 3 【解析】 (1)∵x -x+1=(x- ) + >0, 2 4 ∴命题“?x∈R,x2-x+1>0”是真命题. (2)∵ 2是无理数,但( 2)2=2 是有理数. 2 ∴命题“?x∈{x|x 是无理数},则 x 是无理数” 是假命题. (3)∵当 α0=β0=0 时,sin(α0+β0)=0,sin α0 +sin β0=0, ∴命题“?α0、β0∈R,使 sin(α0+β0)=sin α0
2

+sin β0”是真命题.

第一章

集合与常用逻辑用语

1 (4)假设存在 x0∈R 使 2 =2, x0-x0+1 ?2x2-2x0+1=0 0 则? 2 . ?x0-x0+1≠0 12 1 2 ∵2x0-2x0+1=2(x0- ) + >0, 2 2 12 3 2 x0-x0+1=(x0- ) + >0, 2 4 ∴不存在 x0∈R 使得 2x2-2x0+1=0. 0 1 即不存在 x0∈R 使得 2 =2. x0-x0+1 1 ∴命题“?x0∈R, 2 使 =2”为假命题. x0-x0+1

第一章

集合与常用逻辑用语

【拓展提升】 (1)要判断一个全称命题是真命 题,必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x, 验证 p(x)成立. (2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出 集合 M 中的一个 x=x0,使 p(x0)不成立即可. (3)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定 的集合 M 中,至少能找到一个 x=x0,使 p(x0) 成立即可,否则这一特称命题就是假命题.

第一章

集合与常用逻辑用语

2.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并 判断其真假. (1)a>0,且 a≠1,则对任意实数 x,ax>0; (2)对任意实数 x1, 2, x1<x2, tanx1<tanx2; x 若 则 (3)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sin x|; (4)?x0∈R,使 x2+1<0. 0

第一章

集合与常用逻辑用语

解析: (1)、 (2)是全称命题, (3)、 (4)是特称命题. (1)∵ax>0(a>0,a≠1)恒成立,∴命题(1)是真 命题. (2)存在 x1=0,x2=π,x1<x2,但 tan0=tanπ, ∴命题(2)是假命题. (3)y=|sin x|是周期函数,π 就是它的一个周期, ∴命题(3)为真命题. (4)对任意 x∈R,2+1>0, x ∴命题(4)是假命题.

第一章

集合与常用逻辑用语

全(特)称命题的否定

写出下列命题的否定,并判断其真假. 1 2 (1)p:?x∈R,x -x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,使得 x2+2x0+2≤0; 0 (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3+1=0. 0
【思路点拨】 首先分析命题中的量词,明 确命题类型,然后对命题进行否定,最后判 断出命题的真假.

第一章

集合与常用逻辑用语

【解析】

(1)綈

1 2 p:?x0∈R,x0-x0+ <0,这 4
2

1 12 是假命题,因为?x∈R,x -x+ =(x- ) ≥0 4 2 恒成立. (2)綈 q: 至少存在一个正方形不是矩形, 假命题. (3)綈 r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题.因为 ?x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0 成立. 3 (4)綈 s:?x∈R,x +1≠0,假命题,这是由于 x =-1 时,x3+1=0.

第一章

集合与常用逻辑用语

【拓展提升】 弄清命题的类型是正确写出 命题否定的前提.另外,要注意命题所含的 量词,没有量词的要结合命题的含义加上量 词,再进行否定.

第一章

集合与常用逻辑用语

3. 写出下列命题的“否定”, 并判断真假. (1)p:?x∈R,不是 3x-5=0 的根. (2)q:有些合数是偶数. (3)r:?x0∈R,|x0-1|>0.

第一章

集合与常用逻辑用语

解析:(1)綈 p:?x0∈R,x0 是 3x-5=0 的 根,真命题. (2)綈 q:每一个合数都不是偶数,假命题. (3)綈 r:?x∈R,|x-1|≤0,假命题.

第一章

集合与常用逻辑用语

与逻辑联结词、全(特)称命 题有关的参数问题
已知两个命题 r(x):sin x+cos x>m,s(x): x2+mx+1>0.如果对?x∈R,r(x)与 s(x)有 且仅有一个是真命题, 求实数 m 的取值范围.

【思路点拨】 由已知条件先求出对?x∈R, r(x),s(x)都是真命题时 m 的范围,再由要求 分析情况讨论出所求 m 的范围.

第一章

集合与常用逻辑用语

π 【解析】 ∵sin x+cos x= 2sin(x+ )≥- 2, 4 ∴当 r(x)是真命题时,m<- 2. 当 Δ<0 时,?x∈R,s(x)为真命题, 即 x2+mx+1>0 恒成立, 有 Δ=m2-4<0,∴-2<m<2. ∴当 r(x)为真,s(x)为假时,m<- 2, 同时 m≤-2 或 m≥2,即 m≤-2, 当 r(x)为假,s(x)为真时,m≥- 2且-2<m<2, 即- 2≤m<2. 综上,实数 m 的取值范围是 m≤-2 或- 2≤m<2.

第一章

集合与常用逻辑用语

【拓展提升】

解决这类问题时,应先根据

题目条件, 推出每一个命题的真假(有时不一 定只有一种情况), 然后再求出每个命题是真 命题时参数的取值范围,最后根据每个命题 的真假情况,求出参数的取值范围.

第一章

集合与常用逻辑用语

4.已知命题 p:?x∈R,ax2+2x+3≥0,如 果命题綈 p 是真命题, 求实数 a 的取值范围.

第一章

集合与常用逻辑用语

解析:∵綈 p 是真命题,∴p 是假命题,又 当 p 是真命题,即 ax2+2x+3≥0 恒成立时, ?a>0 1 应有? ,∴a≥ , 3 ?4-12a≤0 1 ∴当 p 为假命题时,a< . 3 1 ∴实数 a 的取值范围是 a< . 3

第一章

集合与常用逻辑用语

从近两年的高考题来看,全称命题、特称命 题的否定、真假的判断及逻辑联结词是高考 的热点,常与其他知识相结合命题,题型为 选择题,分值为5分,属容易题.尤其全称命 题、特称命题为新课标新增内容,非课改区 高考中有升温的趋势,应引起重视. 预测2012年高考仍将以全称命题的否定和真 假判断为主要考点,重点考查学生的逻辑推 理能力.

第一章

集合与常用逻辑用语

1.(2010· 课标全国,5)已知命题 p1:函数 y =2x-2-x 在 R 为增函数,p2:函数 y=2x+2 -x 在 R 为减函数. 则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈 p1) ∨p2 和 q4:p1∧(綈 p2)中,真命题是( A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4 )

第一章

集合与常用逻辑用语

解析:p1 是真命题,则綈 p1 为假命题;p2 是假 命题,则綈 p2 为真命题; ∴q1:p1∨p2 是真命题,q2:p1∧p2 是假命题, ∴q3:(綈 p1)∨p2 为假命题,q4:p1∧(綈 p2)为 真命题. ∴真命题是 q1,q4,故选 C. 答案:C

第一章

集合与常用逻辑用语

2.(2010· 辽宁,11)已知 a>0,则 x0 满足关 于 x 的方程 ax=b 的充要条件是( ) 1 2 1 2 A.?x∈R, ax -bx≥ ax0-bx0 2 2 1 2 1 2 B.?x∈R, ax -bx≤ ax0-bx0 2 2 1 2 1 2 C.?x∈R, ax -bx≥ ax0-bx0 2 2 1 2 1 2 D.?x∈R, ax -bx≤ ax0-bx0 2 2

第一章

集合与常用逻辑用语

1 2 解析:设函数 f(x)= ax -bx,∴f′(x)= 2 ax-b,由已知可得 f′(x0)=ax0-b=0,又 因为 a>0,所以可知 x0 是函数 f(x)的极小 值点, 也是最小值点. 由最小值定义可知选 项 C 正确. 答案:C

第一章

集合与常用逻辑用语

3. (2010· 湖南, 2)下列命题中的假命题是( ) - A.?x∈R,2x 1>0 B.?x∈N*,(x-1)2>0 C.?x∈R,lg x<1 D.?x∈R,tan x=2 解析: 对于选项 B, x=1 时, 当 结论不成立,
故选 B. 答案:B

第一章

集合与常用逻辑用语

4.(2010· 安徽,11)命题“存在 x∈R,使 得 x2+2x+5=0.”的否定是________. 解析:由定义知命题的否定为“对任何 x ∈R,都有 x2+2x+5≠0.”
答案:对任何 x∈R 都有 x +2x+5≠0
2


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