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全国高中数学联赛模拟试题9

时间:2009-12-26


全国高中数学联赛模拟试题(九)
(命题人:葛军)

第一试
一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1、已知 n、s 是整数.若不论 n 是什么整数,方程 x2?8nx+7s=0 没有整数解, 则所有这样的数 s 的集合是 (A)奇数集 (B)所有形如 6k+1 的数集 (C)偶数集 (D)所有形如 4k+3 的数集 2、某个货场有 1997 辆车排队等待装货,要求第一辆车必须装 9 箱货物,每 相邻的 4 辆车装货总数为 34 箱.为满足上述要求,至少应该有货物的箱 数是 (A)16966 (B)16975 (C)16984 (D)17009 3、非常数数列{ai}满足 ai2?1 ? ai ai ?1 ? ai2 ? 0 ,且 ai ?1 ? ai ?1 ,i=0,1,2,…,n.对 于给定的自然数 n,a1=an+1=1,则 ? a i 等于
i ?0 n ?1

(A)2

(B)?1

(C)1

(D)0

4、已知?、?是方程 ax2+bx+c=0(a、b、c 为实数)的两根,且?是虚数,
?? ? 是实数,则 ? ? ? 的值是 ? ? k ?1 ? ? ?
5985 k

?2 ?

(A)1

(B)2
2

(C)0
2 2

(D) 3 i
2 2 2

?1 ? b ??1 ? c ? ? ?1 ? a ??1 ? c ? ? ?1 ? a ??1 ? b ? ,则 A 5、已知 a+b+c=abc, A ?
bc ac ab

的值是 (A)3

(B)?3
n

(C)4

(D)?4

6、对 xi∈{1,2,…,n}, i=1,2,…,n, ? xi ? 有
i ?1

n?n ? 1? ,1x2…xn=n!使 x1,x2,…,xn, x , 2

一定是 1,2,…,n 的一个排列的最大数 n 是 (A)4 (B)6 (C)8

(D)9

二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
1、设点 P 是凸多边形 A1A2…An 内一点,点 P 到直线 A1A2 的距离为 h1,到 直线 A2A3 的距离为 h2,…,到直线 An-1An 的距离为 hn-1,到直线 AnA1 的
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距离为 hn.若存在点 P 使

a a1 a 2 ? ? ? ? n (ai=AiAi+1,i=1,2,…,n?1, h1 h2 hn

an=AnA1)取得最小值,则此凸多边形一定符合条件 . 2、已知 a 为自然数,存在一个以 a 为首项系数的二次整数系数的多项式, 它有两个小于 1 的不同正根.那么,a 的最小值是 . 3、已知 F ?a,? ? ?
a 2 ? 2a sin ? ? 2 ,a、?∈R,a≠0.那么,对于任意的 a、 a 2 ? 2a cos? ? 2

?,F(a,?)的最大值和最小值分别是



4、已知 t>0,关于 x 的方程为 x ? t ? x 2 ? 2 ,则这个方程有相异实根的 个数情况是 . 5、已知集合{1,2,3,…,3n?1,3n},可以分为 n 个互不相交的三元组{x,y,z},其 中 x+y=3z,则满足上述要求的两个最小的正整数 n 是 . n k 6、任给一个自然数 k,一定存在整数 n,使得 x +x+1 被 x +x+1 整除,则这 样的有序实数对(n,k)是(对于给定的 k) .

三、 (20 分)
过正方体的某条对角线的截面面积为 S,试求

S 最大 S 最小

之值.

四、 (20 分)
数列{an}定义如下:a1=3,an= 3an ?1 (n≥2) .试求 an(n≥2)的末位 数.

五、 (20 分)
已知 a、b、c∈R+,且 a+b+c=1. 13 证明: ≤a2+b2+c2+4abc<1. 27

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第二试
一、 (50 分)
已知△ABC 中,内心为 I,外接圆为⊙O,点 B 关于⊙O 的对径点为 K,在 AB 的延长线上取点 N,CB 的延长线上取 M,使得 MC=NA=s,s 为△ABC 的半周长.证明:IK⊥MN.

二、 (50 分)
M 是平面上所有点(x,y)的集合,其中 x、y 均是整数,且 1≤x≤12, 1≤y≤13.证明:不少于 49 个点的 M 的每一个子集,必包含一个矩形 的 4 个顶点,且此矩形的边平行于坐标轴.

三、 (50 分)
实系数多项式 f(x)=x3+ax2+bx+c 满足 b<0,ab=9c.试判别此多项式 是否有三个不同的实根,说明理由.

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参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 C 6 C

二、填空题: 1、该凸多边形存在内切圆; 3、 2 ? 3 , 2 ? 3 ; 5、5,8;
2 3 . 3

2、5; 4、9; 6、(k,k)或(3m+2,2)(m∈N+) .

三、

四、7. 五、证略.

第二试
一、证略; 二、证略. 三、 有.

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