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空间向量知识点归纳(期末复习)


空间向量期末复习
知识要点:
1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注: (1)向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 (2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图) 。
王新敞
奎屯

新疆

??? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ; BA ? OA ? OB ? a ? b ; OP ? ?a(? ? R) ? ? ? ? 运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? ? ? ? ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量, a 平行于 b ,记作 a // b 。 一直线,也可能是平行直线。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同
?

(2) 共线向量定理: 空间任意两个向量 a 、b ( b ≠ 0 ) ,a // b 存在实数 λ, 使 a =λ b 。 4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。 (2)共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的条件是存在实数

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? ? ? ? ? ? ? ? 唯一的有序实数组 x, y , z ,使 p ? xa ? yb ? zc 。 ? ? ? ? ? ? ??? 若三向量 a, b , c 不共面,我们把 {a, b , c} 叫做空间的一个基底, a, b , c 叫做基向量,空
5. 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数

x , y 使 p ? xa ? yb 。

?

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x, y, z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 。

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? O B 叫做向量 a 与 b 的夹角, 则 ?A 记作 ? a, b ? ; 且规定 0 ?? a, b ?? ? , OA ? a, OB? b, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 显然有 ? a, b ??? b , a ? ;若 ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b 。 2 ??? ? ??? ? ? ? ? | a |。 (2) 向量的模: 设 OA ? a , 则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模, 记作: ? ? ? ? ? ? ? ? (3)向量的数量积:已知向量 a, b ,则 | a | ? | b | ? cos ? a, b ? 叫做 a, b 的数量积,记
( 1 )空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a, b ,在空间任取一点 O ,作

6. 空间向量的数量积。

1

作 a ? b ,即 a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? 。 (4)空间向量数量积的性质: ① a ? e ?| a | cos ? a, e ? 。② a ? b ? a ? b ? 0 。③ | a |2 ? a ? a 。 (5)空间向量数量积运算律:

? ?

? ?
?

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?

? ?

? ?

? ?

?

?

? ?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) 。
7.空间向量的坐标运算: (1).向量的直角坐标运算

① (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) 。② a ? b ? b ? a (交换律) 。

? ?

设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) 则 (1) a + b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a = (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (λ ∈R);

?

?

?

?

? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2).设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) . ?
(4) a · b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; (3).设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

(2) a - b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

?

?

r

r

? ? ? | a |2 ? a ? a = x12 ? y12 ? z12 r r r r r r r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 . a Pb ? a ? ?b(b ? 0) ; ? ? (4).夹角公式 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1, b2 , b3 ) , a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? 则 cos ? a, b ?? . 2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32
(5).异面直线所成角

r r r r | a ?b | cos ? ?| cos a, b | = r r ? | a |?| b |

| x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

.

(6).直线和平面所成的角的求法 如图所示,设直线 l 的方向向量为 e,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角 为 φ,两向量 e 与 n 的夹角为 θ,则有 sin φ=|cos θ|= |n· e| . |n||e|

(7). 二面角的求法 (1)如图①,AB,CD 是二面角 α lβ 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 θ ??? ? ???? =〈 AB , CD 〉 . (2)如图②③,n1,n2 分别是二面角 α lβ 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大 小 θ=〈n1,n2〉或 π-〈n1,n2〉 .

cos? ? cos ? n1 , n2 ? ?
练习题:

n1n2 n1 n2
)
2

1.已知 a=(-3,2,5),b=(1,x,-1)且 a· b=2,则 x 的值是(

A.3

B.4

C.5

D.6 )

2.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y),若 a∥b,则( A.x=6,y=15 C.x=3,y=15 15 B.x=3,y= 2 15 D.x=6,y= 2

→ → 3.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|= 3,且 a 分别与AB,AC垂 直,则向量 a 为( ) A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1) C.(1,1,1)或(-1,-1,-1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1) 4.若 a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则|a-2b|=________. 5.如图所示,

1 1 已知正四面体 ABCD 中,AE= AB,CF= CD,则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为 4 4 ________. 4. 258 解析 ∵a-2b=(8,-5,13), ∴|a-2b|= 82+?-5?2+132= 258. 4 5. 13 解析 因四面体 ABCD 是正四面体, 顶点 A 在底面 BCD 内的射影为△BCD 的垂心, 所 以有 BC⊥DA,AB⊥CD.设正四面体的棱长为 4, →→ → → → → 则BF· DE=(BC+CF)· (DA+AE) →→ →→ =0+BC· AE+CF· DA+0 =4×1×cos 120° +1×4×cos 120° =-4, 2 2 BF=DE= 4 +1 -2×4×1×cos 60° = 13, 所以异面直线 DE 与 BF 的夹角 θ 的余弦值为:

cos θ=



4 . 13

??? ? ???? ???? 6.如图所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,设 AA1 =a, AB =b, AD =c,M,N,

P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量: ??? ? (1) AP ; ???? ? (2) A1 N ;

3

???? ???? ? (3) MP + NC1 .

解:(1)∵P 是 C1D1 的中点, ??? ? ???? ????? ???? ? ∴ AP = AA1 + A1 D1 + D1 P
???? 1 ????? ? =a+ AD + D1C1 2 ? 1 ??? =a+c+ AB 2

1 =a+c+ b. 2 (2)∵N 是 BC 的中点,
? ???? ? ???? ? ???? ??? 1 ??? ∴ A1 N = A1 A + AB + BN =-a+b+ BC 2

1 ???? 1 =-a+b+ AD =-a+b+ c. 2 2 (3)∵M 是 AA1 的中点,
???? ???? ??? ? 1 ???? ??? ? ∴ MP = MA + AP = A1 A + AP 2

1 1 1 1 a+c+ b?= a+ b+c, =- a+? 2 ? 2 2 2 ?
? ???? ???? ? ???? ???? ? 1 ??? 又 NC1 = NC + CC1 = BC + AA1 2

1 ???? ???? 1 = AD + AA1 = c+a, 2 2
???? ???? ? 1 1 ? ? 1? ∴ MP + NC1 =? ?2a+2b+c?+?a+2c?

3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2 7.已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中, △ABC 为等腰直角三角形, ∠BAC=90° , 且 AB=AA1, D,E,F 分别为 B1A,C1C,BC 的中点.

(1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求证:B1F⊥平面 AEF. 证明:以 A 为原点,AB,AC,AA1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间 直角坐标系 Axyz,令 AB=AA1=4,则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B1(4,0,4),D(2,0,2), A1(0,0,4),

4

???? ???? (1) DE =(-2,4,0),平面 ABC 的法向量为 AA1 =(0,0,4), ???? ???? ∵ DE ·AA1 =0,DE?平面 ABC,

∴DE∥平面 ABC. ??? ? ???? ? (2) B1 F =(-2,2,-4), EF =(2,-2,-2), ? ???? ? ??? EF =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, B1 F · ? ???? ? ??? ∴ B1 F ⊥ EF ,B1F⊥EF, ???? ? ???? B1 F ·AF =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0, ???? ? ???? ∴ B1 F ⊥ AF ,∴B1F⊥AF. ∵AF∩EF=F,∴B1F⊥平面 AEF. 8.如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在 四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90° ,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上, PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30° 的角.求证: (1)CM∥平面 PAD; (2)平面 PAB⊥平面 PAD. 证明:以 C 为坐标原点,CB 为 x 轴,CD 为 y 轴,CP 为 z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系 Cxyz.

∵PC⊥平面 ABCD, ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PBC=30° , ∵PC=2,∴BC=2 3,PB=4, ∴D(0,1,0),B(2 3,0,0),A(2 3,4,0),P(0,0,2),M?
???? ??? ? ∴ DP =(0,-1,2), DA =(2 3,3,0),

3 3? , ? 2 ,0,2?

???? ? 3 3 CM =? ,0, ?. 2? ?2

5

(1)设 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量, ???? ? DP · n=0, ?-y+2z=0, 由? ??? 即? ? ?2 3x+3y=0, n=0, ? DA · 令 y=2,得 n=(- 3,2,1).
???? ? 3 3 CM =- 3× +2×0+1× =0, ∵n· 2 2 ???? ? ∴n⊥ CM .又 CM?平面 PAD,

∴CM∥平面 PAD. (2)如图,取 AP 的中点 E,连接 BE,

??? ? 则 E( 3,2,1), BE =(- 3,2,1).

∵PB=AB,∴BE⊥PA. ??? ? ??? ? DA =(- 3,2,1)· 又∵ BE · (2 3,3,0)=0, ??? ? ??? ? ∴ BE ⊥ DA .∴BE⊥DA. 又 PA∩DA=A,∴BE⊥平面 PAD. 又∵BE?平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 PAD. 9. 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点. (1)求直线 AD 和直线 B1C 所成角的大小; (2)求证:平面 EB1D⊥平面 B1CD.

解:不妨设正方体的棱长为 2 个单位长度,以 DA,DC,DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.

6

根据已知得:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,2). ??? ? ???? DA · CB1 ??? ? ??? ? ???? ???? 2 ? ???? = . (1)∵ DA =(2,0,0), CB1 =(2,0,2),∴cos〈 DA , CB1 〉= ??? 2 | DA || CB1 | π ∴直线 AD 和直线 B1C 所成角为 . 4 (2)证明:取 B1D 的中点 F,得 F(1,1,1),连接 EF. ∵E 为 AB 的中点,∴E(2,1,0), ??? ? ???? ∴ EF =(-1,0,1), DC =(0,2,0), ??? ? ???? ??? ? ???? DC =0, EF · ∴ EF · CB1 =0, ∴EF⊥DC,EF⊥CB1. ∵DC∩CB1=C,∴EF⊥平面 B1CD. 又∵EF?平面 EB1D,∴平面 EB1D⊥平面 B1CD. 10. 如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平 面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB. (1)求证:AB⊥DE; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; EF (3)线段 EA 上是否存在点 F,使 EC∥平面 FBD?若存在,求出 ;若不存在,请说明 EA 理由. 解:(1)证明:取 AB 的中点 O,连接 EO,DO. 因为 EB=EA,所以 EO⊥AB. 因为四边形 ABCD 为直角梯形. AB=2CD=2BC,AB⊥BC, 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB⊥OD. 因为 EO∩DO=O, 所以 AB⊥平面 EOD,所以 AB⊥ED. (2)因为平面 ABE⊥平面 ABCD,且 EO⊥AB, 所以 EO⊥平面 ABCD,所以 EO⊥OD. 由 OB, OD, OE 两两垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.

7

因为三角形 EAB 为等腰直角三角形, 所以 OA=OB=OD=OE, 设 OB=1, 所以 O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), ??? ? D(0,1,0),E(0,0,1).所以 EC =(1,1,-1), ???? 平面 ABE 的一个法向量为 OD =(0,1,0). 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 θ, ??? ? ???? ??? ? ???? OD | | EC · 3 ? ???? = , 所以 sin θ=|cos〈 EC , OD 〉|= ??? 3 | EC || OD | 即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 11. 3 . 3

(12 分)如图,在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,BC =4,E 是 PD 的中点. (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (2)求点 B 到平面 PCD 的距离. 21.

(1)证明 如图,以 A 为原点,AD、AB、AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系,则依题意可知 A(0,0,0),B(0,2,0), C(4,2,0),D(4,0,0),P(0,0,2). → → → ∴PD=(4,0,-2),CD=(0,-2,0),PA=(0,0,-2). 设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x,y,1),



? ? ? ?-2y=0 ? ? ?? 1 ?4x-2=0 ? ?x= ,
y=0 2

?

1 ? 所以平面 PCD 的一个法向量为? ?2,0,1?. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AB, 又∵AB⊥AD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面 PAD. → ∴平面 PAD 的法向量为AB=(0,2,0). → → ∵n· AB=0,∴n⊥AB. ∴平面 PDC⊥平面 PAD.
8

(2)解

n 5 2 5? 由(1)知平面 PCD 的一个单位法向量为 =? ,0, . |n| ? 5 5 ?



5 2 5?? 4 5 = , ,0, 5 5 ?? ? ?5 4 5 ∴点 B 到平面 PCD 的距离为 . 5 12. 如图所示,在多面体 ABCDA1B1C1D1 中,上、下两个底面 A1B1C1D1 和 ABCD 互

? =??4,0,0?·

相平行,且都是正方形,DD1⊥底面 ABCD,AB=2A1B1=2DD1=2a. (1)求异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值; (2)已知 F 是 AD 的中点,求证:FB1⊥平面 BCC1B1; (3)在(2)的条件下,求二面角 FCC1B 的余弦值.

解:以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所 示的空间直角坐标系 Dxyz,则 A(2a,0,0),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),F(a,0,0), B1(a,a,a),C1(0,a,a). ???? ? ???? ? (1)∵ AB1 =(-a,a,a), DD1 =(0,0,a), ???? ? ???? ? ? AB1 · DD1 ? ???? ? ???? ? 3 ? ???? ? ?= , ∴|cos〈 AB1 , DD1 〉|=? ???? 3 | AB |· | DD |

?

1

1

?

∴异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值为

3 . 3

??? ? ???? ???? (2)证明:∵ BB1 =(-a,-a,a), BC =(-2a,0,0), FB1 =(0,a,a),

? BB1 =0, ? FB1 · ∴? ???? ??? ? BC =0, ? ? FB1 ·
∴FB1⊥BB1,FB1⊥BC. ∵BB1∩BC=B,∴FB1⊥平面 BCC1B1. ???? (3)由(2)知, FB1 为平面 BCC1B1 的一个法向量.

???? ????

9

设 n=(x1,y1,z1)为平面 FCC1 的法向量, ??? ? ???? ? ∵ CC1 =(0,-a,a), FC =(-a,2a,0),

? n· CC1 =0, ?-ay1+az1=0, ? ∴? ??? 得? ? ?-ax1+2ay1=0. ? FC =0, ? n·
令 y1=1,则 n=(2,1,1), ???? n FB1 · ???? 3 ∴cos〈 FB1 ,n〉= ???? = , 3 | FB1 |· |n| ∵二面角 FCC1B 为锐角, ∴二面角 FCC1B 的余弦值为 3 . 3

???? ?

13. 如图, 四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点. (1)证明:B1C1⊥CE; (2)求二面角 B1CEC1 的正弦值. (3)设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 AM 的长. 解:法一:如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题 意得 A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0). ??? ? ????? (1)证明:易得 B1C1 =(1,0,-1), CE =(-1,1,-1),于是 ? ????? ??? CE =0,所以 B1C1⊥CE. B1C1 · ???? ? (2) B1C =(1,-2,-1). 设平面 B1CE 的法向量 m=(x,y,z), ????? ?m· B1C1 =0, ? ?x-2y-z=0, ? 则? ??? 即 消去 x,得 y+2z=0,不妨令 z=1,可得一个法 ? ?-x+y-z=0. ? CE =0, ?m· 向量为 m=(-3,-2,1). 2 ,求线段 6

????? 由(1)知,B1C1⊥CE,又 CC1⊥B1C1,可得 B1C1⊥平面 CEC1,故 B1C1 =(1,0,-1)为平
面 CEC1 的一个法向量.

????? m· B1C1 ????? -4 2 7 ????? = 于是 cos〈m, B1C1 〉= =- , 7 14× 2 |m|· | B1C1 |

10

????? 21 从而 sin 〈m, B1C1 〉= . 7
21 . 7 ??? ? ???? ? ???? ? ??? ? ???? ? ???? ? (3) AE =(0,1,0), EC1 =(1,1,1).设 EM =λ EC1 =(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有 AM = AE + ???? ? ??? ? EM =(λ,λ+1,λ).可取 AB =(0,0,2)为平面 ADD1A1 的一个法向量.设 θ 为直线 AM 与平 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? | AM ·AB | 2λ ? ??? ? = 面 ADD1A1 所成的角,则 sin θ=|cos〈 AM , AB 〉|= ???? = 2 | AM |· | AB | 2× λ +?λ+1?2+λ2 所以二面角 B1CEC1 的正弦值为 λ λ 2 1 .于是 = ,解得 λ= ,所以 AM= 2. 2 6 3 3λ +2λ+1 3λ +2λ+1
2

法二:(1)证明:因为侧棱 CC1⊥底面 A1B1C1D1,B1C1?平面 A1B1C1D1,所以 CC1⊥B1C1.经计算可得 B1E= 5,B1C1= 2,EC1
2 = 3,从而 B1E2=B1C2 1+EC1,所以在△B1EC1 中,B1C1⊥C1E,又

CC1,C1E?平面 CC1E,CC1∩C1E=C1,所以 B1C1⊥平面 CC1E.又 CE?平面 CC1E,故 B1C1⊥CE. (2)过 B1 作 B1G⊥CE 于点 G,连接 C1G.由(1)知,B1C1⊥CE,故 CE⊥平面 B1C1G,得 CE⊥C1G,所以∠B1GC1 为二面角 B1CEC1 的平面角.在△CC1E 中,由 CE=C1E= 3, 2 6 42 21 CC1=2,可得 C1G= .在 Rt△B1C1G 中,B1G= ,所以 sin ∠B1GC1= , 3 3 7 即二面角 B1CEC1 的正弦值为 21 . 7

(3)连接 D1E,过点 M 作 MH⊥ED1 于点 H,可得 MH⊥平面 ADD1A1,连接 AH,AM, 则∠MAH 为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角. 设 AM=x,从而在 Rt△AHM 中,有 MH= 2 34 x,AH= x.在 Rt△C1D1E 中,C1D1=1, 6 6

1 ED1= 2,得 EH= 2MH= x.在△AEH 中,∠AEH=135° ,AE=1,由 AH2=AE2+EH2- 3 2AE· EHcos 135° , 得 17 2 1 2 x =1+ x2+ x, 18 9 3

整理得 5x2-2 2x-6=0,解得 x= 2.所以线段 AM 的长为 2.

11

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