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2.6.2数列求和










基础梳理:数列求和的常用方法 (1)公式法:
等差、等比数列求和.

(2)倒序相加法
(3)错位相减法 (4)分组求和法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数 列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等 比或其他常见数

列,即先分别求和,然后再合并,

1 1 1 课前练习.数列 1,4 ,7 ,10 ,…前 10 项的 2 4 8 和为________.
1 1 1 1 解析:1+4 +7 +10 +…+28 2 4 8 512 1 1 1 1 =(1+4+7+…+28)+( + + +…+ ) 2 4 8 512 511 =145 . 512

511 答案:145 512

例1 设数列?an ? 满足a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ?? 3n ?1 an ?

n ,n ? N* . 3

?1? 求数列?an ?的通项公式;
n ? 2? 设bn ? ,求数列?bn ?的前n项和Sn . an n 2 n ?1 1 因为 a ? 3 a ? 3 a ? ?? 3 a ? , ?? 1 2 3 n 3
所以当n ? 2时,a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ?? 3
2 n ?2

① n ?1 ? ,② 3

an ?1

?bn ?等比列 其中?an ?等差列,

错位相减法适用于通项 cn ? an .bn

1 1 ① ? ②得, 3 an ? ,an ? n . 3 3
n ?1

练习:已知数列{an}是首项a1=1的等比数列,且an> 0,{bn}是首项为1的等差数列,又a5+b3=21,a3+b5=13. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列
? bn ? ? ? 2 a ? n?

的前n项和Sn.

解:(1)设{an}的公比为q,{bn}的公差为d,则由
?q 4 ? 1 ? 2d ? 21, ? 已知条件得: ? 2 ? ? q ? 1 ? 4d ? 13,

解得d=2,q=2或q=-2(舍去),

∴an=2n-1,bn=1+2(n-1)=2n-1.
(2)由(1)知
? Sn ?

bn 2n ? 1 ? , n 2an 2

1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n? 2 ? , ① n 2 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 3 2 n ? 1 ? Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n?1 , ② 2 2 2 2 2 2

①-②得:

1 1 [1 ? ( )n?1 ] 2n ? 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 1 2 ? n?1 Sn ? ? ( ? 2 ? ? ? n?1 ) ? n?1 ? ? 2 2 1? 2 2 2 2 2 2 2 2

?

1 1 2n ? 1 ? 1 ? ( )n?1 ? n?1 2 2 2

? Sn ? 3 ?

2n ? 3 2n

1 例2. 数列{an}的前n项和为Sn,若an= n( n ? 1)

求 Sn

裂项相消法:适用于一个数列的各项是由一个等
差数列相邻两项乘积的倒数组成的。
常见的拆项公式有:
1 ① n( n ? 1)

=

1 1 ? n n?1

1 ② (2n ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 ( ? ) = 2 2n ? 1 2n ? 1
=



1 n ? n?1

n?1? n

例 3.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn} 为等比数列,b1=1,且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求 + +…+ . S1 S2 Sn

练习。数列{an}的通项公式是an=

1 n ? n?1

(n∈N*),若前n项的和为10,则项数n为( C ) A. 11 B. 99 C. 120 D. 121

2an 2 练习:已知数列{an}的首项a1= ,an+1= a ? 1 ,n=1,2,…. n 3

(1)求 an
?n? (2)求数列 ? a ? ? n?

分组求和
的前n项和Sn.

an ?

1 ?1? ? ? ?1 ? 2?
n

n ? n?4 2?n sn ? ? n 2 2
2

小结:数列求和的常用方法 (1)公式法:

(2)倒序相加法
(3)错位相减法

(4)分组求和法
(5)裂项相消法


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