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选修4-4坐标系与参数方程2016高考复习


选修 4-4:坐标系与参数方程
内容概述 : ①本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。 ②坐标系是解析几何的基础。在坐标系中,可以用有序实数组确定点的位置,进而用方程刻 画几何图形。为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象,需要建立不同的坐标系。 极坐标系是与直角坐标系不同的坐标系,对于有些几何图形,选用这些坐标系可以使建立的 方程更

加简单。 ③参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标系下的又一 种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习参数方程有助于学生 进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。

? ? 2 ? x2 ? y2 ? y ? t an? ? , x ? 0 ? x ? 注:极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘 ? ,使之出现 ? 2 是常用的方法. 【例 2】极坐标方程 ? ? cos ? 化为直角坐标方程为 ( ) 1 2 1 1 1 2 A. ( x ? ) ? y ? B. x2 +(y+ )2 = 2 4 2 4 1 1 1 1 C. x2 +(y ? )2 = D. (x ? )2 + y2 = 2 4 2 4

? x ? ? cos? (2)互化公式 ? , ? y ? ? sin ?

(1)了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 (2)了解坐标系的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角 坐标的互化。 (3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的极坐标 方程。 (4)了解参数方程,了解参数的意义。 M (5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
x 1. 极坐标系 O ①极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素,缺一不可。 规定:当点 M 在极点时,它的极坐标 ? ? 0,? 可以取任意值。 ②平面直角坐标与极坐标的区别: 在平面直角坐标系内,点与有序实数对(x,y)是一一对应的,可是在极坐标系中,虽然一 个有序实数对 ( ? ,? ) 只能与一个点 P 对应,但一个点 P 却可以与无数多个有序实数对对应

【例 3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1) ? ? sin ? ? 2 cos? (2) ? ?

2 cos ? sin 2 ?

3. 简单曲线的极坐标方程 1 极坐标方程的定义: 在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程 f ( ? ,? ) ? 0 ,并且 坐标适合方程 f ( ? ,? ) ? 0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f ( ? ,? ) ? 0 叫做曲线 C 的极坐标方 程。 (由于 ?与? 都有明确的几何特征, 有些曲线所蕴含的运动规律用极坐标方程表示更简洁) ①圆心在( a ,0) (a ? 0) 半径为 a 的圆的极坐标方程为:
M

θ

M θ

θ C(a,0) x

O

x

( ? ,? ) ,极坐标系中的点与有序实数对极坐标 ( ? ,? ) 不是一一对应的。 ③极坐标系中,点 M ( ? ,? ) 的极坐标统一表达式 ( ? ,2k? ? ? ), k ? Z 。 ④如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示,
同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。 【例 1】在极坐标系中,描出点 M ( 2,

②以极点为圆心半径等于 r 的圆的极坐标方程为 : ③(1)过极点,极角为 (2)过极点,极角为

( ? 是定值, ? 是任意的)

?
3

) ,并写出点 M 的统一极坐标。

? 的射线 OM 的极坐标方程: 4 5?
4

的射线 OM ? 的极坐标方程:
θ= π 4

l

? 5? 表示 ? 直线 l 极坐标议程可以用 ? ? 和? ? 4 4

x

2.极坐标与直角坐标的互化: (1)互化的前提: ①极点与直角坐标的原点重合;极轴与 x 轴的正方向重合;③ 两种坐标系中取相同的长度单 位。
选修 4-4

极坐标系里的直线表示起来很不方便,要用两条射线组合而成。原 因在哪? 为了弥补这个不足,可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表 示为: ? ? ? ( ? ? R ) 或 ? ? 5 ? ( ? ? R) 4 4
-1-

【例 4】极坐标方程 ( ? ? 1) ( ? ? ? )=0( ? ? 0)表示的图形是( ) (A)两个圆 (B)两条直线 (C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线 【例 5】①过极点且关于极轴的倾斜角是 ②过点 (2,

M 0 M ? ( x, y) ? ( x0 , y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 )
设 e 是直线 l 的单位方向向量,则

) 且与极轴垂直的直线方程为( ) 3 A. ? ? ?4 cos? B. ? cos ? ? 1 ? 0
C. ? sin ? ? ? 3 D.

?

? 的直线的极坐标方程是___________ 3

e ? (cos? , sin ? ),? ? ?0, ? ?

y

因为 M 0 M // e, 所以存在实数 t ? R, 使 M 0 M // t e, 即

M(x,y) M0

? ? ? 3 sin ?


M 0 M ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ? t (cos? , sin ? ) 于是 x ? x0 ? t cos? , y ? y0 ? t sin ? 即 x ? x0 ? t cos? , y ? y0 ? t sin ?
过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? , 的直线 l 的参数方程为 ? ③参数 t 的几何意义? M 0 M // t e, e ? 1? M 0 M ? t

x

③过点 (2,

?

3 A. ? sin ? ? 1

) 且与平行于极轴的直线的极坐标方程是(
B. ? cos ? ? 1 D.

? x ? x0 ? t cos? (t为参数) ? y ? y 0 ? t sin ?

C. ? sin ? ? 3

? cos? ? 3

④过点 (2, ) 且与极轴所成的角为 ? 的直线的极坐标方程是 3 4.参数方程:参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标 系下的又一种表示形式.参数方程实际上是一个方程组,其中 x , y 分别为曲线上点 M 的横 坐标和纵坐标。 ①定义:一般地,在直角坐标系中,一动点的坐标 x 和 y 同时可以独立地表示成第三个变量 t

?

所以,直线参数方程中参数 t 的绝对值等于直线上动点 M 到定点 M 0 的距离. ④利用直线参数方程中参数 t 的几何意义,简化求直线上两点间的距离.

? x ? x0 ? a ? t (t为参数) t ? M 0 M ,只有 a 2 ? b 2 ? 1 时, t 才具有此几何意义。 ? y ? y ? b ? t 0 ?
⑤【结论】

直线与曲线y ? f ( x)交于M 1 , M 2两点,对应的参数 分别为t1 , t2 .

(1) M1M 2 ? t1 ? t2 (2)t ? t1 ? t2 2

的函数。即 且满足(1)对于[a,b]中的任何一个 t1,则①得到的(x1,y1)点都在曲线 C 上;(2)曲线上的 任意一点 P(x0,y0)的坐标 x0,y0 通过①在[a,b]上可求得一个 t. 那么上述方程叫曲线 C 的参数方程。相对参数方程而言,过去的方程就叫做曲线 C 的直 角坐标方程,简称普通方程。 ②直线的参数方程 问题:已知一条直线过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? , 求这条直线的方程. 解:直线的普通方程为 y ? y0 ? tan? ( x ? x0 )

(1)曲线的弦M 1M 2的长是多少?
【例 6 市摸底 23 题】

(2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少?

sin ? ( x ? x0 ) cos ? y ? y 0 x ? x0 ?x=x0 ? t cos ? ? 进一步整理 整理,得到 ? (t是参数) sin ? cos? ? y ? y0 ? t sin ? y ? y 0 x ? x0 ? ?t 令该比例的比值为 t ,即 sin ? cos? 【问题】 :已知一条直线过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? , 求这条直线的方程.
把它变形成 y ? y 0 ? 解:在直线上任取一点 M(x,y),则
选修 4-4

? 3 x ? 6? t ? ? 2 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 在以 O 为极点, (t为参数); ?y ? 1 t ? 2 ? x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 10cos? ,曲线 C1 与 C 2 交 于 A, B 两点,求 AB .
解:在 ρ=10cos θ 的两边同乘以 ρ,得 ρ2=10ρcos θ, 则曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2=10x,……………………………………3 分 3 2 1 3 将曲线 C1 的参数方程代入上式,得 6+ t + t2=10 6+ t , 2 4 2 整理,得 t2+ 3t-24=0, 设这个方程的两根为 t1,t2,则 t1+t2=- 3,t1t2=-24, 所以|AB|=|t2-t1|= (t1+t2)2-4t1t2=3 11.………………………………10 分

(

)

(

)

-2-

高考是在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果你掌握极坐标参数方程内容, 建议你选择“极坐标与参数方程”,因为该题较容易得满分.同时,由于极坐标与参数方程近 三年考题的难易程度都差不多,因而预计 2012 年的考题的难易程度也不会有太大的变动.
(08 新课标卷)

解: (Ⅰ)由曲线



( 为参数)得 的普通方程为:

, . 为圆心是

两式平方相加消去参数 ,得曲线 ,半径是 1 的圆. 由曲线 :

t ? 2, ?x ? ? x ? cos ?, 2 已知曲线 C1: ? ( ? 为参数) ,曲线 C2: ? (t 为参数) . ? ? y ? sin ? 2 ? y? t ? ? 2 (Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数;

?

2

( 为参数)得



(Ⅱ) 若把 C1, C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半, 分别得到曲线 C1?,C2? . 写出 C1?,C2? 的参数方程. C1? 与 C 2? 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由. 解: (Ⅰ) C1 是圆, C2 是直线.

两式平方相加消去参数 ,得曲线

的普通方程为:



为中心是坐标原点,

焦点在 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆. (Ⅱ)因为 上的点 ,故 由 离 从而当 , : 对应的参数为 中点为 为直线 ,故 ,又 . ,则 到 的距 为 上的点,所以

C1 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1,圆心 C1 (0, 0) ,半径 r ? 1 .
C2 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .因为圆心 C1 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为1 , 所以 C2 与 C1 只有一个公共点. ? x ? cos ?, ? ? (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为 C1 : ? ( ? 为参数) ; 1 y ? sin ? ? ? 2
? 2 1 2 x? t ? 2, 2 2 ? C 2 :? (t 为参数) .化为普通方程为:C1? : x ? 4 y ? 1 ,C 2? : y ? x ? , ? 2 ? 2 2 ?y ? 2 t ? ? 4

( 为参数)消去参数 知, . 时, 取得最小值



联立消元得 2 x ? 2 2 x ? 1 ? 0 , 其判别式 ? ? (2 2) ? 4 ? 2 ?1 ? 0 , 所以压缩后的直线 C 2?
2

2

——————————————————————————————————————— (10 新课标卷)

与椭圆 C1? 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. 评注:本题较为综合的考查了参数方程和普通方程之间的转化,在研究图象的伸缩变换时用 参数方程比较容易得到。而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过解方程组得到较好。 ————————————————————————————————————————
(09 新课标卷)

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数) ,C2 ? ( ? 为参数) ? y ? t sin ? ? y ? sin ? ? (Ⅰ)当 ? = 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3
已知直线 C1 ?

已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C2 :? ( ? 为参数) 。 ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线。 解: (Ⅰ)因为直线 所以当 时, : 的普通方程为 的普通方程为 ( 为参数)表示过定点 ,圆 . : ,倾斜角为 的直线,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

( 为参数)是圆心

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
选修 4-4

在圆点半径为 的圆,

-3-

联立方程组

,解得



的交点为 ,即



. (或由直 .

(Ⅱ)由曲线 加得

的参数方程 , 即



为参数)得 , 从而

,两式平方相 , 又 . ,

(Ⅱ)由(Ⅰ) 的普通方程为 接消去参数 可得) . 又直线 垂直 ,所以直线 的方程为 ,解得

普通方程为 的极坐标方程为 与 与 的交点 的交点 的极径为 的极径为

所以曲线 射线 , 射线 根据极径

,同理,曲线 , . .

的极坐标方程为

联立方程组

点坐标为

的几何意义,得



的中点, 故当

变化时, 点轨迹的参数方程为:



为参数) ,由

——————————————————————————————————————— 【2012 省联考题】在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐



,即



两式平方相加得, 故

点轨迹的普通方程为 ,半径为 的圆.



点轨迹是圆心为

? 3 x ? ?2 ? t ? 2 (t为参数); 标系,曲线 C 的方程为 ? ? 4 cos? ,直线 l 的方程为 ? 直线 l 与曲线 ? 1 ?y ? t ? 2 ? T C 的公共点为 。 (1) 求点 T 的极坐标; (2) 过点 T 作直线 l ? , l ? 被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l ? 的极坐标方程。 2 2 解: (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 x ? 4 x ? y ? 0 . ………..2 分
? 3 x ? ?2 ? t ? 2 代入上式并整理得 t 2 ? 4 3t ? 12 ? 0 . 将? ? ?y ? 1 t ? ? 2
解得 t ? 2 3 .∴点 T 的坐标为 (1, 3) . 其极坐标为 (2, 与 C1 的异于极点的 ………..4 分 ………5 分

———————————————————————————————————————— (11 新课标卷) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . 解: (Ⅰ)设 , ,则由条件 ,得 ,即

? x ? 2cos ? ( ? 为参数)M 是 C1 上的动点, ? y ? 2 ? 2sin ?

?
3

?
3

)

(Ⅱ)设直线 l ? 的方程为 y ? 3 ? k ( x ?1),即kx ? y ? 3 ? k ? 0 . ………..7 分 由(Ⅰ)得曲线 C 是以 (2, 0) 为圆心的圆,且圆心到直线 l ? 的距离为 3 . 则,

3?k k 2 ?1

? 3 .解得 k ? 0 ,或 k ? 3 .
………..9 分

.由于

点在

上,所以

,即



直线 l ? 的方程为 y ? 3 ,或 y ? 3x . 其极坐标方程为 ? sin ? ? 3或? ?

?
3

( ? ? R) .…………………………10 分

从而

的参数方程为



为参数) .
选修 4-4 -4-


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