nbhkdz.com冰点文库

专题4矢量图解运动问题


中学物理教学参考 第 33 卷   第9期 Vol . 33  N o . 9             Physics Teaching in Mi ddle Schools               2004 年 9 月 Sep . 2004 竞赛辅导

专题 4  矢量图解运动问题
沈  晨
有向线段未端重合 , 即从 同一点 出发分

别画出 两相 减 矢量 , 由 B 的有向线段箭头画到 A 矢量箭头的有 向线 段即为 R( 如图 4-1( c ) ) . 运 用这种 方法可以 进行多 个 矢量的连续相加或相减 . 我们可归纳如下 : 图解方法求矢量和 : 相加各矢量依次首尾相接后 , 连接第一个“ 加数” 尾与最后一个“ 加数” 头的有向 线段 即为各矢量之和 . 图解方法求矢量 差 : 末 端共点 地分 别作相 减二 矢 量 , 连接两箭头 、方向指向“ 被减数” 的有向线段即 为该 二矢量之差 . 二 、运动的合成与分解 当物体实际发生 的运动 较复杂 时 , 我们可 将其 等 效为同时参与几个简单的运动 , 前者称作合运动 , 后者 则称作物体实际运 动的分 运动 . 这种双 向的等 效操 作 过程叫运动的合成 与分解 , 是研 究复杂 运动的 重要 方 法. 运动的合成与分解遵循如下原理 : 1. 独立性原理  构成一个合运动的几个分运 动是 彼此独立 、互不相干的 , 物体 的任意 一个 分运动 , 都 按 验的进展 、数学方法的 进展相 比 , 的 确是 微不足 道的 . 但是在人类进入 20 世纪的时候 , 思想实验突然被 频繁 地运用起来 . 爱因斯坦提出了狭义相对论 , 当人们 的思 想离开伽利略大船的船舱 , 来到爱因斯坦火车的时候 , 关于同时的相对性 、关 于尺缩 效应 … … 关于高 速世 界 里才可能发生的一 个个奇 妙的情 景 , 被 爱因斯 坦用 思 想实验论述得合情 合理 . 玻尔和 爱因斯 坦关于 量子 的 概率解释进行争论时 , 他们用思想实验进行的论辩 , 让 人们看到世界上第一流的科学 家是怎样畅游在理念的 世界里 . 在科学发展到今天 , 人们建立了大爆炸宇 宙模 型 , 当代理论物理学家霍 金在对 我们这 些普通 的人 演 图3 讲中谈到 , 世界是十维 的 , 并 说了一 句意 味深长 的话 : 我们看到的世界就是火光照在 山洞壁上的影子啊 ! 主要参考文献 黑格尔 . 哲学史讲演录 ( 第二卷). 北京: 商 务印 书 馆. 1997

教你一手
  一 、矢量加 、减运算的图示 矢量的加 、减运算 , 即矢量的合成与分解是处理物 理问题必备的数学方法 . 矢量 加减依 据平行 四边 形定 则 , 也可简化 为三 角形 ( 多边 形) 法. 其 图 解方 法 如图 4 -1 , 若已知矢量 A 、B 、 ( 如 图 4-1( a) ), 当求 R = A + B , 即作矢量的加法时 , 可将 A 、B 两矢量 依次首( 有向 线段箭头) 尾( 有向线 段未 端) 相接 后 , 由 A 的尾 画到 B 的首的有向线 段即为 R( 如图 4-1( b) ); 当求 R = A

图 4-1 -B , 即作矢量的减 法时 , 通 常将表 示 A 、 B 两矢 量的

绕地球运动 , 而不落回到地面上来 . 牛顿的草图指出了 实验发展的一种预见性 , 这在牛顿时代是一种可能 性 , 在今天变成了现实 . 在物理竞赛中有这样 的一个 问题 : 假设 地球 是一 个密度均匀的球体 , 在地球上 开凿一 个穿过 地心 的直 隧道 , 让一个物体从洞口 自由下 落 , 讨论物体在洞中的运 动形式 及其周期( 如 图 3). 这 个问 题不 能看做是一种脱离实际的游 戏 , 这是一 个同 样会 出 现在 科 学家 的脑海里的思想实验 . 今 天的人 们是无法建成这样的隧道的 , 至 于将来是否有可能造成 , 现在谁

也不能妄下断言 . 伽利略创立近代科学 时用的 三个 方法 , 即实 验方 法 、数学方法和思想实验方法 , 被其后的 200 年中的科 学家继承的主要是前两 个方法 . 思想 实验的 进展 与实

· 59 ·

其自身规律进行 , 不 会因有其 他分运 动的存 在而 发生 改变 . 2. 等时 性原理  合运动是同一物体在同一时间内 同时完成几个分运动的 结果 , 对同一 物体同 时参 与的 几个运动进行合成才有意义 . 3. 矢量性原理  描述运动状态的位移 、速度 、加速 度等物理量都是矢量 , 对运动 进行合 成与分 解时 应按 矢量法则即平行四边形定则作上述物理量的运算 . 将一个复杂运动分解 为几个 分运 动 , 通 常有 两种 方法 : ⑴引入中介参 照系 . 例如船 过河 的运动 , 是 以静 止的河岸为参考的一个 复杂运 动 , 我 们可以 取一 个动 参考物 — — — 运动的河水为中介 , 那么 , 船的运动可分解 为船相对水的运动与水相对岸的运动 . 若设质 点 A 对 静止参考系 C 的速度 ( 绝对速 度) 为 vAC , 动 参考系 B 对 C 的速度( 牵连速度) 为 vBC , 而 A 对 动参考 系 B 的 速度( 相 对速 度) 为 v AB , 则有 v AC = vAB + vBC , vAB = vAC - vBC . 同样地 , 我们可以按这种方法进行位 移或加 速度的合成 与 分解 , 例 如 , a AC = a AB + a BC , a AB = a AC -a BC . 注意矢量运 算式中 下标的 规律 性 . ⑵ 依据 实际 效果分解运动 . 例如 一架飞机 以速度 v 与水 平成 θ角 斜向上飞行 , 实际效 果是在上 升的同 时水平 向前 移动 了 , 我们可将飞机的 运动分解 为竖直 方向与 水平 方向 的两个分运 动 , 若 这两 个 分运 动的 速 度依 次为 v 1 和 v2 , 则有 v = v1 + v 2 . 处理相对运动等复杂运动时 , 涉及速度 、位移或加 速度等矢量的加减运算 , 若用 矢量图 助解常 会收 到奇 效. 例 1  假定某日刮正 北风 , 风速为 u , 一运动 员在 风中跑步 , 他对地面的速度大小是 v , 试问他向 什么方 向跑的时候 , 他会 感到 风 是从 自己 的 正右 侧吹 来 的 ? 这种情况在什么条件 下成为 无解 ? 在 无解的 情况 下 , 运动员向什么方向跑时 , 感到 风与他 跑的方 向所 成夹 角最大 ? 分析与解  设风相对 于人的 速度( 即运 动员 感到 的风速) 为 V , 根据题给条 件 , 有 u = V + v . 三个 速度 矢量中 , u 大小 、方向均确 定 , v 大小一定 , V 与 v 两矢 量互相垂直( 所谓 正右侧), 故可断 定三个矢 量所 构成 的满足题意要求的关系 三角形 应为直 角三角 形 . 如图 4 -2 , 取一点 O , 先 作矢量 u , 以其 矢端为 圆心 , 表示 v 大小的线段长为半径作一圆 , 自 O 点向圆引切线 OA , 则矢量三角形 ■OO′ A 即为符合题意要求的 u 、 V 、v 关 v 系. 由图显见 , 当运动 员朝南偏 西 θ=arccos 方 向以 u 速率 v 奔跑时会感觉风从自己右侧吹来 , 并且在 v < u 时才可能有这种感觉 . 若 v > u , 绝对风速 、风相对 人的速 度及人奔 跑速 v 度关系如图 4-3 , 在 ■ OO′ A′ 中运 用正 弦定 理有 sin β

u π u = , 可知当 β = 时 , α =arcsin 为最 大 , 即 在运 sin α 2 v u 动员向西偏南 arcsin 方向奔跑时感觉风与自己 跑的 v 方向所成夹角最大 .

例 2  一 只木筏离开 河岸 , 初速度为 v , 方向垂 直 于岸 , 划行路线如图 4-4 虚 线所 示 , 经过 时间 T , 木 筏划 到路 线 上 A 处 , 河水速 度恒 定为 u , 且 木筏在水中划行方向 不变 . 用作 图法找到 2 T 、3 T … … 时刻此 木 图 4-4 筏在航线上的确切位置 . 分析与解  设木 筏相对 于水的 速度为 V , 则离 岸 时 , V = v - u , 其矢量关系如图 4-5( a)所示 , 该图同时 给出了此后木筏复 合运动 的速度 情况 : 木筏相 对于 水 的速度 V 方 向不变 、大 小是变化 的 ; 木筏的 绝对速 度 v 大小 、方向均有变化 . 故而我们看到木 筏的运动 轨迹 为一曲线 . 现如图 4-5 中( b) 所示 , 连接 OA 的 有向 线 段是时 间 T 内木 筏的 绝对 位移 s 木 , 而 s 木 = s 木对水 + s 水 , 其中 s 水 沿 x 正 方向 , s 木对水 平行 于 V 方向 . 现作 满足上式 关系 的 位 移 矢量 三 角 形 , 在 x 轴 上得 到 B 点 , 有向线段 OB 即为 s 水 . 由 于水 速 u 恒定 , 则各 T 时间内 s 水 恒定 , 故可 在 x 轴 上得 OB′=2 s 水 , OB″= 3 s 水 , 过 B′ 、B″ 点 … …作平 行于 V 的直 线交木 筏轨 迹 于 A′ 、 A″ … …各点 , 即得 2 T 、3 T … …时 刻此木筏 的确 切位置 .

图 4-5 质点做变速运 动时 , 若 初速度为 v 0 , 末速度为 vt , 则速度增量 Δv =vt - v0 , 这是一个矢量相减运算 , 其图 解关系如图 4-1( c) , 利用这 种矢量 关系图解 速度增 量 问题有其独到之处 . 例 3  某一恒力作用在以恒定速 度 v 运动的 物体 上 , 经 过时间 t , 物 体的 速率 减少 一半 , 经 过同 样的 时

· 60 ·

间速率又减 少一半 , 试求经 过了 3 t 时 间后 , 物体 的速 度 v3 t 之大小 . 分析与解  由于物体 受恒力 作用 , 故在 相同 时间 内 , 速度 增 量相 同 即 Δv =vt - v = v2 t - vt = v3 t -v 2 t . 现作 满 足 题 给 条 件的矢 量图 如图 4 -6 所 图 4-6 示 , 图中 有 向线 段 AB = v v BC = CD =Δv , OB = vt , vt = , OC = v 2 t , v 2t = , 2 4 OD为待 求量 v 3t . 设恒力 方向与 v 方向 成 π-α角 , 由 图给几何 关系 , 在 ■ OAB 、■ OAC 、 OAD 中运 用 余弦 定理 , 得 v 2 2 2 ( ) = v +Δv -2 v·Δv·cos α, 2 v 2 2 ( ) = v 2 +( 2 Δv) -2 v·2 Δv·cos α , 4
2 v 3 t 2 = v 2 +( 3 Δv) -2 v·3 Δv·cos α .

由此方程组可解得物体 在恒 力作 用 3 t 时间 后的 7 v. 4 例 4  从 h 高 处 斜向 上 抛出 一初 速 度大 小为 v 0 的物体 , 讨论抛出角 θ为 多大时 物体落 地的水平 位移 最大 . 分析与解  物体做抛体运动时 , 只受重力作用 . 在 落下 h 高度的时间 t 内 , 速度 增量 Δv 恒为 竖直向 下 , 速度大小为 v 3 t = 大小为 gt , 落 地时速度 v 的大小 为 v 02 +2 gh , v0 、v t 与与 Δv 构 成 如 图 4-7 所 示 矢量 三角形 关系. 图 中 θ角 、 α角 分 别 是 初 速 度 、落 地速度 与水 平方 向的夹 角. 注意 到在矢 量三 角形 1 的面 积 S ■ = 2 图 4-7 gt· v 0cos θ式中 , v 0 t cos θ即 为 抛 体 飞 行 的 水 平 位 移 x , 则 有 S ■ = 1 gx . 这样 , 我们 只须 考虑 何时矢 量三 角形 有最 大面 2 1 积即可 . 由于 S ■= v 0· v t sin(θ +α ), 而 v0 、 vt 大小 2 v0 确定 , 则当( θ +α )=90 ° ,即θ =arctan 时, 2 v 0 +2 gh 1 1 S ■有最大值 : gx = v 0· vt , 亦即 物体飞 行的 水平 2 2 位移将达到最大 , 其值为 x m = v 0 +2 gh . g 例 5  网球以 速度 v0 落到 一重 球 拍上 后弹 性地 v0
2

射回 . 为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回 , 球 拍应 以什么样的速度 vP 运动 ? 如果速度 v 0 和球拍面 的法 线的夹角是 α , 速度 vP 和此法线的夹 角 φ是多 少 ? 设 任何时刻球拍和球都是做平动 的 . 分析与解  本题求解的关 键是作满足题给条件的 矢量关系图 , 而矢量图的 完成又 有赖于 准确地 把握 各 矢 量 间 的 关系 , 题 中 给 出 了三个重 要的 关于 矢量 间 关系 的隐 含条件 : 第一, 重 球拍 的 “ 重 ” 告 诉 我 们 , 可 以 认 为 拍的 速 度 vP 在 碰 球前 后保 持不变 ; 第二, 网 球 是 弹 性 地射 回 , 则 告 诉 我 们 在 碰 撞前 后 , 球 相 对 图 4-8 于 拍 的 速 度大 小 相 等 、 方 向相反 ; 第三 , 由于球 和拍都 是作平 动的 , 故球 相对 于 拍只有沿拍面法向 速度而 无切向 速度分 量 . 现 取球 拍 面之法线为 x 轴 , 使 y 轴沿拍面 , O 为网球 入射点 , 如 图 4-8 所示 , 从 O 点沿与 x 轴成 α角方 向作有向 线段 OA = v0 , 作射 线 OP ⊥ OA , 从 A 点 作 x 轴 平 行线 交 OP 于 B , 取 AB 中点 C , 则有向线段 OB 即是球离拍时 的速度 vt , 有向 线段 OC 则是 球拍 速度 vP , 而 有向 线 段 CA 、CB 则是射 入时 球对 拍速 度 v0 - vP 和 弹回 时 球对球拍速度 vt - vP , 前 面已经 分析 到 , 它们是 等值 、 反向且沿球拍法向的 . 根据所作的矢量图 , 在直角 三角 AB OA 形 OAB 中 , 斜 边上 的 中线 OC = , AB = . 故 2 cos α v0 vP= , 而球拍速度与球拍法线 方向夹 角为 φ=2 2cos θ π ( -α )=π-2 α . 2

小试身手
1. 甲 、乙两船在静水中 航行速 度分别 为 v 甲 和 v乙 , 两 船从同一渡口向河 对岸划 去 . 已 知甲船 想以最 短时 间 过河 , 乙船想以最短航程过河 , 结果两船抵达对岸 的地 点恰 好相同 , 则 甲 、乙两 船渡河 所用 时间之 比 t 甲∶t 乙 =      . 2. 骑自行车的人以 20 km/ h 的速率向 东行驶 , 感 到风从正北方吹来 , 以 40 km/ h 的速率向东行驶 , 感到 风从东北方向吹来 , 试求风向和风速 . 3. 从离地面同一高度 h 、相距 l 的两处 同时各 抛 出一个石块 , 一个以速 度 v1 竖直上 抛 , 另一个 石块 以 速度 v 2 向第一 个石块原来位置水平抛出 , 求这两 个石 块在运动过程中 , 它们之间的最短距离 . 4. 如图 4-9 所 示 , 一 条 船平 行 于 平 直海 岸 线 航 行 , 船离岸的距离为 D , 船速为 v 0 , 一艘速率为 v( v< v 0) 的海上警卫小艇 从港口 出发沿 直线航行 去拦截 这 条船 . ( 1) 证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某 特定

· 61 ·

· 62 ·

· 63 ·


(专题4 矢量图解运动问题)

如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 (专题4 矢量图解运动问题) 高中物理竞赛课程讲义高中物理竞赛课程讲义隐藏...

矢量图解运动问题 (1)

矢量图解运动问题 (1)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。物理竞赛中关于矢量图解运动问题问题的探讨专题4 矢量图解运动问题 文/沈 晨 教你一手 一、矢量加、减...

专题4_矢量图解运动问题

如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 专题4_矢量图解运动问题 物理竞赛物理竞赛隐藏>> 分享到: X 分享到:...

专题四: 运动的合成与分解

专题四: 运动的合成与分解_高一理化生_理化生_高中...运动的合成或分解是认识和解决复杂运动问题的方法 和...相同的矢量取正值, 与正方向相反的矢量 取负值,...

专题四 图解法分析动态平衡问题

专题四 图解法分析动态平衡问题_动画/交互技巧_PPT制作技巧_实用文档。平衡问题专题...(3)用力的合成或力的分解作平 行四边形(也可简化为矢量三角形)(4)正确找出...

专题4 平抛运动常见题型及应用专题

高一物理必修 2 平抛运动常见题型及应用专题(一)平...(4) 在同一时刻, 平抛运动的速度 (与水平方向...任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角...

第4单元运动图象-追及与相遇问题

4 单元运动图象---追及与相遇问题一、知识点扫描...三、专题归类方法 巧解追击问题的四种方法相关说明 ...(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定 [典例]...

第4讲__专题__求解平衡问题的常用方法及特例

第4讲教学目标: 专题 求解平衡问题的常用方法及特例...(连接体) 内某个物体的受力和运动情况, 一般可...②图解法: 即根据物体的平衡条件作出力 的矢量图,...

第三章 平面机构的运动分析 习题与答案

4 相对速度瞬心和绝对速度瞬心有什么区别? 5 在...2 。 (用相对运动图解法,并列出必要的解算式。 )...0 l 1 2 r 30 (1) (机构位置) 封闭矢量方程...

教案4 运动的描述

专题推荐 幼班教师寄语 小学教师开学发言稿 秋季初中...问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用. 运动的...是矢量.瞬时速度的大小叫速率,是标量. 4. [速度...