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1.5.3定积分的概念(张用)

时间:2016-12-20


1.5.2 定积分的概念

求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: ?a, x1 ?,? x1, x2 ?,?? xi-1, xi ?,?, ? xn-1, b?, 每个小区间宽度△x =
b-a n

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

(2) 近似代替:任取xi?[xi-1, xi],第i个小曲边梯形的面积用高 y 为f(x )而宽为Dx的小矩形面积
i

f(xi)Dx近似之。 (3)求和:取n个小矩形面积 的和作为曲边梯形面积S的近似值:

y =f ( x)

S ? ? f (xi )Dx
i =1

n

(4)取极限:所求曲边梯形的 面积S为 S = lim
n??

? f (x )Dx
i =1 i

n

O

a

xi xi xi+1 Dx

?

b

x

二、汽车行驶的路程
v
2

g gg

D S1 DS2 D S3 DS4

g

v(t ) = - t 2 + 2
D Sj

问题:汽车以速度 v 组匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程为 S = vt .如果汽车作变速直线运动, 在时刻 t 的速度为 v ?t ? = -t 2 ? 2 (单位:km/h) ,那 么它在 0≤ t ≤1(单位: h)这段时间内行驶的路程 S (单位:km)是多少?
O

gD S g

n

1 1 2 3 j n - 1

t

n n n n

n

分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代 变”的方法,把求匀变速直线运动的路程问题,化归 为匀速直线运动的路程问题.把区间 [0,1] 分成 n 个小 区间,在每个小区间上,由于 v(t ) 的变化很小,可以 近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每 个小区间上行驶路程的近似值,在求和得 S (单位: km)的近似值,最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S (单 位: km)的精确值. (思想:用化归为各个小区间上 匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变 速直线运动的路程) .

解:1.分割 在时间区间 ?0 ,1? 上等间隔地插入 n - 1 个点,将区间

?0 ,1? 等分成 n 个小区间:

? 1? ?1 2? ? n -1 ? 0 , ? , ? , ? ,…, ? ,1? 记 第 i 个区间为 ? ? n? ?n n? ? n ? i i -1 1 ? i -1 i ? = , ? (i = 1, 2 , ? , n) ,其长度为 Dt = ? n n n ? n n? ? 1 ? ?1 2? ? n -1 ? ,1? 上行 把汽车在时间段 ? 0 , ? , ? , ? ,…, ? ? n ? ?n n? ? n ? 驶的路程分别记作: DS1 , DS2 ,…, DSn
显然, S = ? DSi
i =1 n

( 2 ) 近 似 代 替 当 n 很 大 , 即 Dt 很 小 时 , 在 区 间 ? i -1 i ? 2 上,可以认为函数 , v t = t ? 2 的值变化很 ?? ? ? ? n n? 小, 近似的等于一个常数, 不妨认为它近似的等于左端
i -1 ? i -1 ? ? i -1 ? 点 处的函数值 v ? = -? ? 2 ,从物理意义 ? ? n ? n ? ? n ? ? i -1 i ? , ? (i = 1, 2 , ? , n) 上的 上看,即使汽车在时间段 ? ? n n? i -1 速度变化很小, 不妨认为它近似地以时刻 处的速度 n
2

? i -1 ? ? i -1 ? v? ? = -? ? ? 2 作匀速直线运动 ? n ? ? n ?

2

即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速” ,于是的用小矩形的面积 DSi? 近似的代替 DSi , 则有
2 ? ? 1 i -1 ? i -1 ? ? ? DSi ? DSi? = v ? ? ? Dt = ? - ? ? ? 2? ? ? n ? ? ? ? ? n ? ? n

? i -1 ? 1 2 = -? ? ? ? (i = 1,2,?, n) ① ? n ? n n

2

(3)求和
n

由①得,
n n

2 ? i -1 ? i -1 ? 1 2 ? ? ? Sn = ? DSi? = ? v ? ??Dt = ? ? - ? ? ? ? ? i =1 i =1 ? n ? i =1 ? ? ? n ? n n? ?

1 ?1? 1 ? n -1 ? 1 = -0 ? - ? ? ? - ? - ? ? ? ?2 n ?n? n ? n ? n 1 ?2 2 2 = - 3 1 ? 2 ? ? ? ? n - 1? ? ? 2 ? n ? 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? n - 1? n ? 2n - 1? ? 2 = - ?1 - ??1 - ? ? 2 =- 3 n 6 3 ? n ?? 2n ? 1 ? 1 ?? 1 ? 从而得到 S 的近似值 S ? Sn = - ?1 - ??1 - ? ? 2 3 ? n ?? 2n ?

2

2

(4)取极限

当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 , 即 Dt 趋 向 于 0 时 ,

1 ? 1 ?? 1 ? Sn = - ?1 - ??1 - ? ? 2 趋向于 S , 3 ? n ?? 2n ? 1 ? i -1 ? 从而有 S = lim Sn = lim ? ? v ? ? n ?? n ?? ? n ? i =1 n
n

? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 5 = lim ?- ?1 - ??1 - ? ? 2? = n?? ? 3 ? n ?? 2n ? ? 3

思考
思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认 为汽车行驶的路程 S 与由直线 t = 0 , t = 1 , v = 0 和曲线 v = -t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积有什 么关系?
结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程 S = lim S n 在数据上等于由直线 t = 0 , t = 1 , v = 0
n ??

和曲线 v = -t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积.

结论
一般地,如果物体做变速直线运动,速度函 数为 v = v ? t ? , 那么我们也可以采用分割、 近似代 替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变” 的方法及无限逼近的思想,求出它在 a≤ t ≤b 内 所作的位移 S .

三、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”:
n求和------取极限得到解决 n 分割---近似代替---b - .a i =1 i =1

小矩形面积和S=? f (xi )Dx = ? f (xi ) ?

n

如果当n?∞时,S 的无限接近某个常数,

这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作

?a

b

b-a 即 dx= = lim ? xfi。 (xi ) lim f (x)dx,即 )) dx f (x i)?D ? ? ??aa ff((xx ? ?n 0?? n i =1 i =1
bb
n
n

定积分的定义: 即

?

b

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, y f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积表达式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, O b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

y = f ( x)

a

b

x

积分上限

f (x i )Dx i ? ?a f ( x )dx = I = lim ? ? 0 i =1
积分下限

b

n

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

定积分的定义: 即

?

b

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ,直线x=a、x=b及 x轴所围成的曲边梯形的面积为

S= ? f (x)dx;
a

b

(2) 设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间 v = v(t ) [a, b]内运动的距离s为 v

s= ? v(t)dt。
a

b

O

a

b

t

y

根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S = ? f ( x)dx = ? x dx = 0 0 3
v
2

f(x)=x2
S= 1 3
1

g gg

D S1 DS2 D S3 DS4

g

v(t ) = - t 2 + 2
D Sj

O
n

x

gD S g

根据定积分的定义左边图形的面积为 1 1 5 2 S = ? v(t )dt = ? (-t ? 2)dt = 0 0 3
t

O

1 1 2 3 j n - 1

n n n n

n

说明:
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关,即

?a f(x)dx = ?a f (t)dt =?a
(3)

b

b

b

f(u)du。

(2)定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.

?a f(x)dx = - ?b f (x)dx
b

a

定积分的几何意义:

当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y= f ( x)

b

?a f (x)dx = ?a f (x)dx? ?c
O a
b a

b

c

b

f (x)dx。

b x

特别地,当 a=b 时,有? f (x)dx=0。

定积分的几何意义:
当f(x)?0时,由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方,

积分 ? f (x)dx 在几何上表示
a

b

y

y=-f (x)
b

上述曲边梯形面积的负值。
S = ? [- f ( x)]dx
a b

S = ? [- f ( x)]dx
a

=b

?a

b

f ( x)dx . ,
c b

O a
b c

b x
= ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx =a c
b

f (x

= ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx =a c

f (x)dx。

y=f ( x)

当函数 f (x)在 x?[a, b] 有正有负时,
定积分 f ( x)dx
a

?

b

几何意义

就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x
轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)

即? f( x ) dx = S1 - S2 ? S3
a

b

y
S1
O

S3

S2

X

例题分析: 求定积分,只要 1求下列定积分:理解被积函数和 (1) ?0 ( 2x- 4) dx
(2)
5

定积分的意义, 并作出图形,即 可解决。

?
1

2?

0

sinxdx
2

(3)? 1 - x dx
-1

用定积分表示下列阴影部分面积
y y y

y=sinx
O
π

y=x2-4x-5 -1
O

5
X

y=cosx 3? ? 2 2
O
3 π 2 π 2

X

sin x dx ? S=______;
0 5

?
-1

S=______;

π 2 π 2

X

cos x dx - ? cos x dx

S=______;

- ? ( x 2 - 4 x - 5)dx

探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示 图中阴影部分的面积?
y y=f ( x)

S1 =
O
a a

S2 = ? g ( x)dx
a

?

b

a

f ( x)dx
b

S = S1 - S2 = ? f ( x)dx - ? g ( x)dx a a y = g ( x)

b

b

b x

定积分的基本性质
性质1.

?

b

a

kf ( x )dx = k ? f ( x )dx
a

b

性质2.

?

b

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx = ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
a a

b

b

定积分的基本性质
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b

?

a

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

y

y =f ( x)

O

a
c1 c2 a c1



b x
b c2

?

b

a

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx

例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1 f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x






2



(1)在图①中,被积函数 f ( x) = x 在[0,a] 解: 上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面 积为 A = a x 2 dx

?

0

例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1 f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x






2



(2)在图②中,被积函数 f ( x) = x 在[-1 , 2] 解: 上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面 积为 A = 2 x 2 dx

?

-1

例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2

y

f(x)=x2

y
f(x)=1

y

f(x)=(x-1)2-1

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x









(3)在图③中,被积函数 f ( x) = 1在[a,b] 解: 上连续,且f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面 积为 A =

?

b a

dx

例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1 f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0

a

x

-1 0

2

x

a

0

b x

-1 0

2 x

解: (4)在图④中,被积函数 f ( x) = ( x - 1) 2 - 1在[-1 , 2]
上连续,且在 [-1 , 0]上f ( x) ? 0, 在[0, 2]上f ( x) ? 0, 根据定积分的几何意义 可得阴影部分的面积为









A = ? [( x - 1) - 1]dx - ? [( x - 1) - 1]dx
0 -1 2 2 0 2

例3:

利用定积分的几何意义 说明等式?

?
2 -

?
2

sin xdx = 0
y f(x)=sinx

成立。
解: 在右图中,被积函数 f ( x) = sin x
在[-

? ?

, ]上连续,且在 [- , 0]上 2 2 2

?

-

?
2

1

sin x ? 0, 在[0, ]上sin x ? 0,并有 2 ? A1 = A2 , 所以

?

A1 -1

A2

? 2

x

?

2

-

?
2

f ( x)dx = A2 - A1 = 0

练习:

利用定积分的几何意义,判断下列定积分 值的正、负号。
1).? sin xdx
2 0

?

2). ?-1

2

x 2 dx

1). ? sin xdx = 0
0

利用定积分的几何意义,说明下列各式。 成立: ? ?
2?

2).

?

0

sin xdx = 2 ? 2 sin xdx
0

试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y y=x2 y y=f(x)

0 1 2

x

0 a

y=g(x) b x

例2 计算积分

?

1

0

1 - x dx
2

解:由定积分的几何意 义知,该积分值等于
曲线y = 1 - x 2 , x轴,x = 0及x = 1所围 的面积(见下图)

面积值为圆的面积的

1 4

y

所以?

1

0

1 - x dx =
2

?
4
1 x

3.

?2 ? ? ?0

4-x2dx 的几何意义是什么?

提示:是由直线 x=0,x=2,y=0 和曲线 y= 4-x2所围成 1 的曲边梯形面积,即以原点为圆心,2 为半径的 圆的面积即 4
?2 ? ? ?0

4-x2dx=π.

[研一题]
[例 1] 利用定积分的定义,计算 (3x+2)dx 的值.
1
?2 ? ? ?

[自主解答] 令 f(x)=3x+2. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n-1 个分点, 把区间[1,2]等分 n+i-1 n+i 成 n 个小区间[ n , n ](i=1,2,?,n),每个小区间的 n+i n+i-1 1 长度为 Δx= n - n =n.

(2)近似代替、作和 n+i-1 取 ξi= n (i=1,2,?,n),
n 3?n+i-1? n+i-1 1 n 3?i-1? 5 则 Sn= ?f( n )·Δx= ?[ +2]· = ?[ +n] 2 n n n i=1 i=1 i=1 n 2 3 3 n -n = 2[0+1+2+…+(n-1)]+5= × 2 +5 n 2 n

13 3 = - . 2 2n (3)取极限
?2 ? ? ?1

13 3 13 (3x+2)dx=li m Sn=li m ( - )= . 2 2n 2 n→∞ n→∞

[通一类]
1.利用定积分的定义,计算
?1 ? ? ?0

(x2+1)dx 的值.

解:(1)分割 在区间[0,1]上等间隔地插入 n-1 个分点,把区间[0,1]等分 i- 1 i 成 n 个小区间[ n ,n](i=1,2,?,n),每个小区间的长度 1 为 Δx=n.

(2) 近似代替,作和
n i i 取 ξi=n(i=1,2,?,n),则 Sn= ?f(n)Δx i=1 n 2 2 2 ?n+1??2n+1? i2 1 1 1 +2 +?+n ( 2+1)n=n( +n)= +1 n n2 6n2

=?

i=1

1 1 1 = (1+n)(2+n)+1. 6 (3)取极限
?1 ? ? ?0

1 1 1 4 (x +1)dx=lim [ (1+n)(2+n)+1]= . 3 n→∞ 6
2

[例 2] (1)
?3 ? ? ?--3 ?3 ? ? ?

利用定积分的几何意义,求: 9-x2dx;

(2) (2x+1)dx.
3

[自主解答]

(1)在平面上 y= 9-x2表示的几何图形为以

原点为圆心以 3 为半径的上半圆如图(1)所示, 1 9 2 其面积为 S= ·π·3 = π. 2 2 由定积分的几何意义知
?3 ? ? ?

--3

9 9-x dx= π. 2
2

(2)在平面上,f(x)=2x+1 为一条直线.
?3 ? ? ?

0

(2x+1)dx 表示直线 f(x)=2x+1,x=0,x=3,y=0 围成

的直角梯形 OABC 的面积,如图(2), 1 其面积为 S= ×(1+7)×3=12. 2 根据定积分的几何意义知 (2x+1)dx=12.
?3 ? ? ?0

[通一类] 2.用定积分的几何意义求下列各式的值.
(1)
?3 ? ? ?-1

(3x+1)dx;(2) ?


3 2 3 2

1-x2dx.

解:(1)由直线x=-1,x=3,y=0以及y=3x+1所围 成的图形,如图所示:
?3 ? ? ?-1

(3x+1)dx 表示由直线 x=-1,x=3,

y=0 以及 y=3x+1 所围成的图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下方的面积,



?3 ? ? ?- 1

(3x+1)dx

1 1 1 1 = ×(3+ )×(3×3+1)- (- +1)×2 2 3 2 3 50 2 = - =16. 3 3 (2)由 y= 1-x2可知,x2+y2=1(y≥0)图像如图,由定积分 的几何意义知 ?

3 2 3 2

1-x2dx 等于圆心角为 120° 的弓形 CED 的面

积与矩形 ABCD 的面积之和.

1 2 1 2 π 3 2 S 弓形= × π×1 - ×1×1×sin π= - , 2 3 2 3 3 4 3 1 3 S 矩形=|AB|· |BC|=2× × = , 2 2 2 ∴?

3 2 3 2

π 3 3 π 3 1-x dx= - + = + . 3 4 2 3 4
2

[例 3]

?2 ?2 ?4 1 15 7 56 ? ? ? 3 3 2 2 ? x dx= ? x d x= , ? x dx= 已知 x dx= , , , 4 ?1 4 ?1 3 ?2 3

?1 ? ? ?0

求下列各式的值: (1) (3x )dx;(2) (6x )dx;(3) (3x2-2x3)dx.
?2 ? ? ?0

3

?4 ? ? ?1

2

?2 ? ? ?1

[ 自主解答 ] 1 15 3×( + )=12. 4 4

(1) (3x3)dx = 3 x3dx = 3( x3dx + x3dx) =
0 0 0 1

?2 ? ? ?

?2 ? ? ?

?1 ? ? ?

?2 ? ? ?

(2) (6x )dx=6 x dx=6( x dx+ x2dx) 7 56 =6×( + )=126. 3 3 (3) (3x2-2x3)dx= (3x2)dx- (2x3)dx =3 x dx-2 x3dx 7 15 1 =3× -2× =- . 3 4 2
?2 ? ? ?1 ?2 ? ? ?1 ?2 ? ? ?1 ?2 ? ? ?1

?4 ? ? ?1

2

?4 ? ? ?1

2

?2 ? ? ?1

2

?4 ? ? ?2

2

?2 ? ? ?1

[悟一法]
(1)定积分的性质的推广 ①
?b ? ? ?a ?b ? ? ?a

[f1(x)± f2(x)±…±fn(x)]dx
?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ? ? ? ?

= f1(x)dx± f2(x)dx± ?± fn(x)dx; c2 bcnf(x)dx(其中 n ∫ c ② f(x)dx= 1af(x)dx+ c f(x)dx+?+? ? a 1 ∈N*).
?b ? ? ?

(2)奇、偶函数在区间[-a,a]上的定积分 ①若奇函数 y=f(x)在[-a,a]上连续, 则
? a ? ? ?-a

f(x)dx=0.

②若偶函数 y=g(x)在[-a,a]上连续, 则
? a ? ? ?-a

g(x)dx=2 g(x)dx.

?a ? ? ?0

[通一类]
x∈[0,2?, ? ? x, ?4-x, x∈[2,3?, 3.已知 f(x)=? ?5 x - , x∈[3,5], ? ?2 2 求 f(x)在区间[0,5]上的定积分.

解:由定积分的几何意义得
?2 ? ? ?0

1 xdx=A1= ×2×2=2, 2

?3 ? ? ?

1 3 (4-x)dx=A2= ×(1+2)×1= , 2 2 2 ?5 x 1 ? 5 ? ( - )dx=A = ×2×1=1. 3 ? 2 2 2 3 ∴ f(x)dx 5 x = xdx+ (4-x)dx+ ( - )dx 2 0 2 3 2 3 9 =2+ +1= . 2 2
?2 ? ? ? ?3 ? ? ? ?5 ? ? ? ?5 ? ? ?0

利用定积分的几何意义求 [巧思]
?b ? ? ?a

?b ? ? ?

a

?a-x??x-b?dx.

?a-x??x-b?dx 表示由直线 x=a,x=b,y=0

及 曲 线 y = ?a-x??x-b? 围 成 的 图 形 的 面 积 , 由 于 y = ?a-x??x-b?, a+b 2 2 b-a 2 得(x- ) +y =( ) (y≥0). 2 2 由定积分的几何意义
?b ? ? ?a

?a-x??x-b? dx 表示的是圆 (x -

a+b 2 2 b-a 2 ) +y =( ) 在 x 轴上方的部分的面积. 2 2

[妙解]

?b ? ? ?a

?a-x??x-b?dx 表示由曲线 y= ?a-x??x-b?和

直线 x=a,x=b 及 x 轴围成图形的面积.由 y= ?a-x??x-b?, 得 y
2

? ? ? a+b? ? ?2 ?b-a?2 +?x- ? =? 2 ? (y≥0),所以 2 ? ? ? ?

y= ?a-x??x-b?表示以

?a+b ? b-a ? ? ? 2 ,0?为圆心,以 2 为半径的上半圆. ? ?



?b ? ? ?

a

?a-x??x-b?dx 表示如图所示的半圆的面积,S

半圆



b-a 2 1 π?b-a?2 π( )× = , 2 2 8

所以

?b ? ? ?a

π?b-a?2 ?a-x??x-b?dx= . 8

四、小结

1.定积分的实质:特殊和式的逼近值. 2.定积分的思想和方法:
分割 化整为零
求近似以直(不变)代曲(变)

求和
取逼近

积零为整
取逼近

精确值——定积分

3.定积分的几何意义及简单应用


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