nbhkdz.com冰点文库

A025=5.2 平面向量的基本定理及坐标表示


§ 5.2 平面向量的基本定理及坐标表示 基础知识 自主学习
要点梳理 1.两个向量的夹角 定义 范围

已知两个 非零 向量a,b, 向量夹角θ的范围 → → 作OA=a,OB=b,则 是 0°≤θ ≤180° , ∠AOB=θ叫做向量a与b的 当θ=0°或180° 时, 夹角(如图) 两向量共线,当θ = 90° 时,两向量 垂直,记作a⊥b.<

br />
2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个 不共线向量,那么对于 这一平面内的任意向量 a, 有且只有 一对实数 λ1,λ2, 使 a=λ1e1+λ2e2 量的一组 基底 . (2)平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量,叫做把向量 正交分解. . 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向

(3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中, 分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两 个单位向量 i,j 作为基底,对于平面内的一个向量 a,由 平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y,使 a= xi+yj,这样,平面内的任一向量 a 都可由 x,y 唯一确定,
(x,y),其 把有序数对(x,y) 叫做向量 a 的坐标,记作 a= 中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标. → → ②设OA=xi+yj,则向量OA的坐标(x,y)就是终点A 的坐

→ 标, 即若OA=(x, 则 A 点坐标为(x,y) , y), 反之亦成立. (O 是坐标原点)

3.平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b= (x1+x2,y1+y2) ,a-b= (x1-x2,y1-y2) , (λx1,λy1) ,|a|= x2+y2 . 1 1 λa= (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的 坐标. → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= (x2-x1,y2-y1) , 2 2 → |AB|= (x2-x1) +(y2-y1) . 4.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a∥b?
x1y2-x2y1=0 .

[难点正本

疑点清源]

1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基 底的选取不唯一,平面内任意向量 a 都可被这个平面的一 组基底 e1,e2 线性表示,且在基底确定后,这样的表示是 唯一的. 2.向量坐标与点的坐标的区别 → 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定, 此时点 A 的坐标与 a 的坐标统 一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点 A(x,y), → 向量 a=OA=(x,y).

基础自测 1.(2010· 陕西)已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=
-1 (-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________.
解析 ∵a=(2,-1),b=(-1,m), ∴a+b=(1,m-1). ∵(a+b)∥c,c=(-1,2),∴2-(-1)· (m-1)=0. ∴m=-1.

2.已知向量 a=(1,2),b=(-3,2),若 ka+b 与 b 平行,则 k=________. 0

解析 由 ka+b 与 b 平行得-3(2k+2)=2(k-3), ∴k=0.

3.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表 示向量 4a、4b-2c、2(a-c)、d 的有向线段首尾相接能
(-2,-6) 构成四边形,则向量 d=____________.
解析 由题知 4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20), 2(a-c)=(4,-2), 由题意知:4a+4b-2c+2(a-c)+d=0, 则(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+d=0, 即(2,6)+d=0,故 d=(-2,-6).

4.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2), → → C(3,1),且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为 ( A ) ? ? 7? 1? A.?2, ? B.?2,- ? 2? 2? ? ? C.(3,2) D.(1,3)
→ → 解析 设 D(x,y),AD=(x,y-2),BC=(4,3), → → 又BC=2AD,
?4=2x, ? ∴? ?3=2(y-2), ?

?x=2, ? ∴? 7 ?y=2. ?

故选 A.

5.(2009· 广东)已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x2),则向 量 a+b( A ) A.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 x 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
解析 ∵a=(x,1),b=(-x,x2), ∴a+b=(0,x2+1). 由 1+x2≠0 及向量的性质知 A 正确.

题型分类 深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用 例 1 如图,在平行四边形 ABCD 中, M,N 分别为 DC,BC 的中点,已 → → 知AM=c,AN=d,试用 c,d 表示 → → AB,AD.
→ → 思维启迪:直接用 c,d 表示AB、AD有难度,可换一 → → → → → → 个角度,由AB,AD表示AN,AM,进而求AB,AD.

解:

→ → 设AB=a,AD=b.

因 M,N 分别为 CD,BC 的中点, → =1b,DM=1a, → 所以BN 2 2 1 2 ? ? ?c=b+2a ?a=3(2d-c) 因而? ?? , ?d=a+1b ?b=2(2c-d) 2 3 ? ? → =2(2d-c),AD=2(2c-d). → 即AB 3 3
探究提高 利用基底表示未知向量,实质就是利用向量 的加、减法及数乘进行线性运算.

变式训练 1 如图,P 是△ABC 内一点,且满足 → → → 条件AP+2BP+3CP=0,设 Q 为 CP 的延长 → → 线与 AB 的交点,令CP=p,试用 p 表示CQ.
→ → → → → → 解 ∵AP=AQ+QP,BP=BQ+QP, → → → → → ∴(AQ+QP)+2(BQ+QP)+3CP=0, → → → → ∴AQ+3QP+2BQ+3CP=0,

又∵A,B,Q 三点共线,C,P,Q 三点共线, → → → → ∴AQ=λBQ,CP=μQP, → → → → ∴λBQ+3QP+2BQ+3μQP=0, → → ∴(λ+2)BQ+(3+3μ)QP=0.
?λ+2=0, → ,QP为不共线向量,∴? ? 而BQ → ?3+3μ=0. ?

→ → → ∴λ=-2,μ=-1.∴CP=-QP=PQ. → → → → 故CQ=CP+PQ=2CP=2p.
点评 → QP → 这里选取不共线向量BQ, 为基底, 运用化归思想,

最终变成 xe1+ye2=0 的形式求解,其中通过引入参数 λ、μ 把题中向量用基底表示是关键.

题型二

向量坐标的基本运算

→ 例2 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a, → → → → BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b, (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n;

→ (3)求M、N的坐标及向量MN的坐标.
解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
?-6m+n=5, ? ∴? ?-3m+8n=-5, ? ?m=-1, ? 解得? ?n=-1. ?

→ → → (3)设 O 为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20). → → → 又∵CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), → ∴N(9,2).∴MN=(9,-18).

探究提高 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运 算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求 出向量的坐标, 解题过程中要注意方程思想的运用及正 确使用运算法则.

变式训练 2

(1)已知点 A、 C 的坐标分别为 A(2, B、 -4)、 → +2BC-1AC的坐标; → → B(0,6)、C(-8,10),求向量AB 2 (2)已知 a=(2,1),b=(-3,4), 1 1 求:①3a+4b;②a-3b;③ a- b. 2 4 解 (1)由 A(2,-4),B(0,6),C(-8,10), → → → 得AB=(-2,10),BC=(-8,4),AC=(-10,14).
→ +2BC-1AC=(-2,10)+2(-8,4)-1(-10,14) → → ∴AB 2 2 =(-2,10)+(-16,8)-(-5,7) =(-18,18)-(-5,7)=(-13,11).

(2)①3a+4b=3(2,1)+4(-3,4) =(6,3)+(-12,16)=(-6,19). ②a-3b=(2,1)-3(-3,4) =(2,1)-(-9,12)=(11,-11). 1 1 1 1 ③ a- b= (2,1)- (-3,4) 2 4 2 4 ? ? ?7 1? ? 3 1? =?1, ?-?- ,1?=? ,- ?. 2? ? 4 2? ? ? ?4

题型三

平行向量的坐标运算

例 3 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), 请解答下列问题: (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d.
思维启迪:(1)向量相等对应坐标相等,列方程解之. (2)由两向量平行的条件列方程解之. (3)设出 d=(x, 由平行关系列方程, y), 由模为 5列方程, 联立方程组求解.



(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 5 ? ?-m+4n=3 ?m= 9 ? 所以? ,得? . ?2m+n=2 ? ?n=8 9 ? (2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a), 16 ∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,∴k=- . 13 (3)设 d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
?4(x-4)-2(y-1)=0 ? 由题意得? , ?(x-4)2+(y-1)2=5 ? ?x=3 ?x=5 ? ? ? 解得 或? ,∴d=(3,-1)或 ?y=-1 ?y=3 ? ?

d=(5,3).

探究提高

(1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代

数化,将数与形有机的结合. (2)根据平行的条件建立方程求参数,是解决这类题目的常 用方法,充分体现了方程思想在向量中的应用.

变式训练 3 已知 a=(1,0),b=(2,1). (1)求|a+3b|; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们 是同向还是反向?
解 (1)因为 a=(1,0),b=(2,1), 所以 a+3b=(7,3),∴|a+3b|= 72+32= 58. (2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为 ka-b 与 a+3b 平行,所以 3(k-2)+7=0, 1 即 k=-3. ? 7 ? 此时 ka-b=(k-2,-1)=?- ,-1?,a+3b=(7,3), ? 3 ? 则 a+3b=-3(ka-b), 即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反.

易错警示 9.忽视平行四边形的多样性致误 试题:(12分)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 (-1,0),(3,0),(1,-5),求第四个顶点的坐标.
学生解答展示 解
设 A ( ? 1 , 0 ), B ( 3 , 0 ), C ( 1 , ? 5 ), D ( x , y ) . ? AB ? DC

? 四边形 ABCD 是平行四边形 而 AB ? ( 3 , 0 ) ? ( ? 1 , 0 ) ? ( 4 , 0 )

DC ? ( 1 , 5 ) ? ( x , y ) ? ( 1 ? x , ? 5 ? y ) ? ( 4 ,0 ) ? (1 ? x , ? 5 ? y ) ?4 ? 1 ? x ? x ? ?3 即? 解得 ? ?0 ? ?5 ? y ? y ? ?5 ? 点 D 的坐标为 ( ? 3 , ? 5 ).

错因分析

(1)此解错因是思维定势,认为

平行四边形只是图所示中的一种情形,由 此在解题构思中丢掉了两种情形.(2)若平 行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐 标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),求 D 点坐标,就只有一 种情况,此题目中给出了平行四边形的三个顶点,并没有 规定顺序,就可能有?ABCD1、?ACD2B、?ACBD3 三种情 形,如图所示.

规范解答 解 如图所示,设 A(-1,0),B(3,0), C(1,-5),D(x,y). (1)若四边形 ABCD1 为平行四边形, → → 则AD =BC,
1

→ → 而AD1=(x+1,y),BC=(-2,-5).
?x+1=-2, → =BC,得? ? 由AD1 → ?y=-5. ? ?x=-3, ? ∴? ∴D1(-3,-5). ?y=-5. ?

[4 分]

→ → (2)若四边形 ACD2B 为平行四边形,则AB=CD2. → → 而AB=(4,0),CD =(x-1,y+5).
2

?x-1=4, ? ∴? ?y+5=0. ?

?x=5, ? ∴? ?y=-5. ?

∴D2(5,-5).

[8 分]

→ → (3)若四边形 ACBD3 为平行四边形,则AD3=CB. → → 而AD =(x+1,y),CB=(2,5),
3

?x+1=2, ? ∴? ?y=5. ?

?x=1, ? ∴? ?y=5. ?

∴D3(1,5).

综上所述, 平行四边形第四个顶点的坐标为(-3, -5)或(5, -5)或(1,5). [12 分]

失误与防范 1.要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们 完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有 大小的信息. 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表 x1 y1 示成 = , 因为 x2, 2 有可能等于 0, y 所以应表示为 x1y2 x2 y2 -x2y1=0.同时,∥b 的充要条件也不能错记为 x1x2-y1y2 a =0,x1y2-x2y1=0 等.

作业

步步高课时规范训练
( §5.2)

p275—p276


§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示

§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示_数学_高中教育_教育专区。§ 5.2 平面...A025=5.2 平面向量的基... 27页 1下载券 5章2课时平面向量的基本... ...

5.2平面向量基本定理及坐标表示

5.2平面向量基本定理及坐标表示_高三数学_数学_高中教育_教育专区。知识梳理具体...那么 a+b=___ ___,a-b=___ ___,λa=___ ___。 3.平面向量共线...

2014届数学5.2平面向量基本定理及坐标表示

zs&tep.com] A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 与向量 a=(12,5)平行的单位向量为 12 5 A....

平面向量基本定理及坐标表示

1 、 ? 2 ,使 a 平面向量基本定理及坐标表示 一.知识点总结 1.平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的...

平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示_数学_高中教育_教育专区。平面向量基本定理及坐标表示...x1 y1 (5)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可表示成 ...

2016高考数学大一轮复习 5.2平面向量基本定理及坐标表示教师用书 理 苏教版

2016高考数学大一轮复习 5.2平面向量基本定理及坐标表示教师用书 理 苏教版_.... 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a...

平面向量的基本定理及坐标表示

4.O 是坐标原点, OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(10,k),当 k=___时,A,B, C 三点共线? 考点一 平面向量基本定理及其应用|(基础送分型考点—...

【步步高】高考数学一轮复习_5.2平面向量基本定理及坐标表示(生)

3.平面向量共线的坐标表示a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0. 概念辨析 1.对平面向量基本定理的理解 (1)平面内的任何两个向量都...

平面向量的基本定理及坐标表示

§ 5.2 平面向量的基本定理及坐标表示 1.两个向量的夹角 定义 →→ 已知两个___向量 a,b,作OA=a,OB =b, 则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹 角(如...

平面向量的基本定理及坐标运算

4、理解用坐标表示平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 ...5、设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a // b ?...