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2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科


2012 学年第一学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 (理科)
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 2013.1 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1.方程组 ?

?2 x ? y ? 1 的增广矩阵是_____

_____________. ? x ? 3 y ? ?2
? 1? ? 2?

2. 已知幂函数 f ( x ) 的图像过点 ? 8, ? ,则此幂函数的解析式是 f ( x) ? _____________.

3.若 ? 为第四象限角,且 sin ?

?? ? 4 ? ? ? ? ,则 sin 2? ? ___________. ?2 ? 5
x2 y 2 ? ? 1 的右焦 6 10

4. 若抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点与双曲线 点重合,则实数 p 的值是 .

5.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? 部分图像如右图所示,则 f ( x) ? _________.

?
2

)的

6.若 n ? (1, ?2) 是直线 l 的一个法向量,则直线 l 的倾斜角的大小为_________________. (结果用反三角函数值表示)

?

2x ? 1
7.不等式

2 2x 2

0 1 ≥ 0 的解为 ?1
.

0 3

8.高三(1)班班委会由 4 名男生和 3 名女生组成,现从中任选 3 人参加上海市某社区敬老服务工作,则选出的人中至少有一名女生 的概率是 .(结果用最简分数表示)

9.如图所示的程序框图,输出 b 的结果是_________. 10.已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公比为 q(q ? 0) ,前 n 项和 为 S n ,若 lim
n ??

S n?1 ? 1 ,则公比 q 的取值范围是 Sn

.

11. 若平面向量 ai 满足 ai ? 1 (i ? 1, 2,3, 4) 且 ai ? ai ?1 ? 0 (i ? 1,2,3) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 可能的值有 ____________个. 12.在 ?ABC 中, ?A ? 60
0

??

??

?? ??? ?

?? ?? ? ?? ? ?? ?

, M 是 AB 的中点,若 AB ? 2, BC ? 2 3 , D 在线段 AC 上运动,

则 DB ? DM 的最小值为____________.

??? ? ???? ?

13.函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a, b? ? ?

?

?

? a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的 ?b, a ? b

图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x 3 是否存在最 大值?若存在,在横 线处填写其最大值;若不存在,直接填写“不存在”_______________. 14.已知线段 A0 A10 的长度为 10 ,点 A1 , A2 ,?, A9 依次将线段 A0 A10 十等分.在 A0 处标 0 ,往右数 1 点 标 1 , 再 往 右 数 2 点 标 2 , 再 往 右 数 3 点 标 3 ……( 如 图 ) , 遇 到 最 右 端 或 最 左 端 返 回 , 按 照

A0 ? A10 ? A0 ? A10 ? ? 的方向顺序,不断标下去,
那么标到 2010 这个数时,所在点上的最小数为_____________.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
15.下列排列数中,等于 (n ? 5)(n ? 6)?(n ?12) (n ? 13, n ? N ) 的是
*





7 (A) P n ?12

7 (B) P n ?5

8 (C) P n ?5

8 (D) P n ?12
0

16.在 ?ABC 中, “ cos A ? sin A ? cos B ? sin B ”是“ ?C ? 90 ”的 (A) 充分非必要条件 (C) 充要条件 17.若函数 f ( x) ? (A) a ? 0 (B) 必要非充分条件 (D) 既不充分也不必要条件





ax 2 ? 1 在 ? 0, ??? 上单调递增,那么实数 a 的取值范围是 x
(B) a ? 0 (C) a ? 0 (D) a ? 0





18.对于直角坐标平面 xOy 内的点 A( x, y ) (不是原点), A 的“对偶点” B 是指:满足 OA OB ? 1 且在 射线 OA 上的那个点 . 若 P, Q, R, S 是在同一直线上的四个不同的点 (都不是原点),则它们的“对偶 点” P' , Q' , R' , S ' (A) 一定共线 (C) 要么共线,要么共圆 (B) 一定共圆 (D) 既不共线,也不共圆 ( )

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | 求 a 的取值范围.

x ?3 ? 0} ,实数 a 使得集合 B ? ?x | ( x ? a)( x ? 5) ? 0? 满足 A ? B , x?4

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) = log 2

x ?1 . x ?1

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并证明; (2)求 f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) ,并求使得函数 g ( x) ? f ?1 ( x) ? log2 k 有零点的实数 k 的取值范围.

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (理) 某种型号汽车四个轮胎半径相同, 均为 R ? 40cm , 同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为 l ? 280cm (假定四个轮胎中心构成一个矩形 ). 当该型号汽 车 开 上 一 段 上 坡 路 ABC ( 如 图 (1) 所 示 , 其 中

3 ?ABC ? ? ( ? ? ? ? ? )),且前轮 E 已在 BC 段上时,后轮中心在 F 位置;若前轮中心到达 G 处时, 4 后轮中心在 H 处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在 E 和 G 处时与地面的接触点分别为 S 和 T ,且 BS ? 60cm , ST ? 100cm . (其它因素忽略不计) (1)如图(2)所示, FH 和 GE 的延长线交于点 O ,
求证: OE ? 40 cot

?
2

? 60 (cm);

(2)当 ? = ? 时,后轮中心从 F 处移动到 H 处实际移动了多少厘米? (精确到 1cm)

5 6

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分. 第 3 小题满分 6

分. 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点为 F (1, 0) ,点 (?1, ) 在椭圆 C 上,点 T 满足 2 a b 2

??? ? OT ?

a2 a 2 ? b2

??? ? ,过点 F 作一直线交椭圆于 P 、 Q 两点 . ? OF (其中 O 为坐标原点)

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 ?PQT 面积的最大值; (3)设点 P? 为点 P 关于 x 轴的对称点,判断 P?Q 与 QT 的位置关系,并说明理由.

???? ?

??? ?

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分. 第 3 小题满分 8 分. 对于数列 {xn } ,从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为是原来 数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后, 打算研究首项为正整数 a ,公比为正整数 q(q ? 1) 的无穷等比数列 {an } 的子数列问题. 为此,他任取了其中三项 ak , am , an (k ? m ? n) . (1) 若 ak , am , an (k ? m ? n) 成等比数列,求 k , m, n 之间满足的等量关系; (2) 他猜想: “在上述数列 {an } 中存在一个子数列 {bn } 是等差数列” ,为此,他研究了 ak ? an 与 2am 的 大小关系,请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确; (3) 他又想:在首项为正整数 a , 公差为正整数 d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数 列?请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.


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