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寒假作业——函数与导数测试题(一)
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1 已知函数 y ? f (x) , x ? ?a, b?,那么集合 {( x, y) | y ? f ( x), x ? [a, b]} ? {( x, y) | x ? 2} 中所含元素的个数是 A. 0 个 B. 1 个 C. 0 或 1 个
2

D. 0

或 1 或无数个

2、若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为[0,m],值域为 [? A. (0,4] B. [ ,4]

25 ,?4] ,则 m 的取值范围是 4

3 3 3 C. [ ,3] D. [ ,?? ) 2 2 2 x 3、已知函数 y ? f ( x) ? a ? k 经过点(0,4) ,其反函数 y ? f
则 f (x) 在定义域上是 A. 奇函数 B. 偶函数 4、若 a>1,且 a A. x ? y
?x y

?1

( x) 的图象经过点(7,1),

C. 增函数
x

D. 减函数

? log a ? a ? y ? log a , 则正实数xy之间的关系适合
C. x ? y D. 随 a 的不同取值,大小关系不定

B. x ? y

5、已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, f (x) 在 x ? ?0,?? ? 上为增函数,且 f ( ) ? 0, 则

1 3

不等式 f (log 1 ) ? 0 的解集为
x
8

A. (0, )
2

1 2

B. (2,??)
2

C. ( ,1) ? (2,??)
2 2

1 2

D. [0, ) ? (2,??)

1 2

的最大值是 6、已知 3x ? 2 y ? 6 x, 则 u= x ? y ? 1
A.

5 2

B. 3

C.

7 2

D. 4

7、 f (x) 是定义在 R 上以 2 为周期的奇函数, x ? (0,1) 时, f ( x) ? lg 设 当 (1,2)上是 A. 增函数且 f (x) <0 C. 减函数且 f (x) <0 8、若 f ( x) ? A. 1 个 B. 增函数且 f (x) >0 D. 减函数且 f (x) >0
?1

1 则 f (x) 在 1? x
( )

ax ? b与f
B. 2 个

( x)都过(1,2) 点,则 f (x) 与 f
D. 4 个
1

?1

( x) 图象交点个数为

C. 3 个

9、函数 y ? 1 ? 3x ? x 的极大值,极小值分别是
3

A. 极小值-1,极大值 1 C. 极小值-2,极大值 2 A. 3x ? 5 x
2
3

B. 极小值-2,极大值 3 D. 极小值-1,极大值 3
2

10、若函数 y ? f (x) 的导函数 f ?( x) ? 6 x ? 5, 则f ( x) 可以是 B. 2 x ? 5x ? 6
3
2

C. 2 x ? 5
3

D. 6 x ? 5x ? 6
2

11、函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 5 在[0,3]上最大,最小值分别为 A. 5,-15 B. 5,4 C. -4,-15
3

D. 5,-16

12、已知函数 f (x) 的导数为 f ?( x) ? 4 x ? 4 x ,且图象过点(0,-5) ,当函数 f (x) 取 得极大值-5 时,x 的值应为 A. –1 B. 0 C. 1 二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13、已知函数 f ( x) ? mx
4 m?n

D. ±1
3

的导数为 f ?( x) ? 8 x ,则 m n ?

. ,b ? . .

14、设曲线 y ? x ? ax ? b 在 x=1 处的切线方程是 y ? x ,则 a ? 15、已知 f (x) 的值域为 [ , ] ,则 y ? f ( x) ? 1 ? 2 f ( x) 的值域为

3 4 8 9

16、在已给的坐标系中,画出同时满足下列条件的一个函数 y ? f (x) 的图像, ① f (x) 的定义域是[-2,2]; ② f (x) 是奇函数; ③ f (x) 在 ?0,2? 上是减函数; ④ f (x) 既有最大值,又有最小值; ⑤ f (?1) ? 0 ; ⑥ f (x) 不存在反函数.
1 y

0

1

x

2

三、解答题(共 74 分) 17、 (12 分)已知 f ( x) ?

2x ( x ? R), 讨论f ( x) 的性质,并画出其草图. 1? x2

3

18、 (12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? a x ? 2b ? a 。
2 2 3

(Ⅰ)当 x ? (?2, 时,f ( x) ? 0;当x ? (??, 2) ? (6, ?)时f ( x) ? 0,求a、b 的值 6) ? ? 及 f (x) 的表达式。 (Ⅱ) F ( x) ? ? 设 值?

k f ( x) ? 4(k ? 1) x ? 2(6k ? 1),k取何值时,函数F ( x) 的值恒为负 4

4

19、 (12 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),且当 x∈[-1,1]时,f(x)=x3. (1)求 f(x)在[1,5]上的表达式; (2)若 A={x| f(x)>a,x∈R},且 A ? ? ,求实数 a 的取值范围。

5

20、 (12 分) 已知关于 n 的不等式

1 1 1 1 2 ? ? ??? ? ? log a (a ? 1) ? 对一切大 n ?1 n ? 2 2n 12 3

于 1 的自然数 n 都成立,试求实数 a 的取值范围.

6

21、 (12 分)某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为 200m2 的三级污水处 理池,由于地形限制,长、宽都不能超过 16m.如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中 间两条隔墙建造单价为每米 248 元, 池底建造单价为每平方米 80 元 (池壁厚度忽略不计, 且池无盖). (1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(m)的函数关系式,并指出其定义域; (2) 求污水处理池的长和宽各为多少时, 污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.

7

22、 (14 分)设 a ? 0,函数f ( x) ? x ? ax 在 [1,??) 上是单调函数.
3

(1)求实数 a 的取值范围; (2)设 x 0 ≥1, f (x) ≥1,且 f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0 .

8

寒假作业——函数与导数测试题答案
一、选择题 CCCAD, BACDB, AB 二、填空题 (13)

1 4

(14) a ? ?3, b ? 3

(15) [ , ]

(17)? f (? x) ?

? 2x ? ? f ( x) ,故 f (x) 为奇函数.在区间(0,+∞)上, 1? x2
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 x1 1 ? x1
2

7 7 9 8

(16)略

设任意 x1 ? x2 则

?

2 x2 1 ? x2
2

?

2( x1 ? x 2 )(1 ? x1 x 2 ) (1 ? x1 )(1 ? x 2 )
2 2

,

当 0<x1<x2≤1 时,可知 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0.

y

? f ( x)在?0,1?上是增函数;
当 1<x1<x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,
1 -1 0 -1 1 x

故f ( x)在(1,??)上为减函数.
当 x ? ??时, f ( x) ? 0, x 轴为图象的渐近线.

2x ≤1。 1? x2 根据奇函数的性质,可以作出 x ? R 的图象来.(如图)
值域:x>0 时, f ( x) ? 18、 (1)a=-4,b=-8 (2) k ? ?

1 . 8

? ?( x ? 2)2   x ? ?1, 3 ? ? 19、(1) f ( x ) ? ? 2 x ? ? 3, 5? ?( x - 4) ?
(2)a<1。
20、设 f (n) ?

1 1 1 ? ? ??? ? (n ? N且n ? 2). n ?1 n ? 2 2n
1 1 1 1 ? ? ? ? 0, 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 (2n ? 1)( 2n ? 2)
9

? f (n ? 1) ? f (n) ?

? f (n)是关于n的单调增函数且当n ≥2 时, f (n) ? f (2) ?
故要使 f (n) ?

1 1 7 ? ? , 3 4 12

1 2 log a (a ? 1) ? 对一切n ≥2, n ? N 恒成立,则需且只需 12 3 7 1 2 1 ? log a (a ? 1) ? 即log a (a ? 1) ? ?1, 又a ? 1 ? 0 0 ? a ? 1 ? 解得: 12 12 3 a
1? 5 . 2
故所求 a 的取值范围为 {a | 1 ? a ?

1? a ?

1? 5 }. 2

21、①因污水处理水池的长为 xm, 则宽为

200 m, 总造价 x

y ? 400 (2 x ? 2 ?

200 200 324 ) ? 248 ? ? 2 ? 80 ? 200 ? 800 ( x ? ) ? 16000 . x x x

?0 ? x ? 16 ? 由题设条件 ? 即函数定义域为[12.5,16] 200 ?0 ? x ? 16, 解得12 .5 ? x ? 16 ?

324 ) ? 16000 在[12.5,16] 上的单调性, x 对于任意的 x1 , x2 ? [12.5,16], 不妨设x1 ? x2 ,
②先研究函数 y ? f ( x) ? 800 ( x ? 则 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 800[( x 2 ? x1 ) ? 324 (

1 1 324 ? )] ? 800 ? ( x 2 ? x1 )(1 ? ) x 2 x1 x1 x2 ? 324 324 ? 1, 则1 ? ? 0. x1 x 2 x1 x 2

?12.5 ? x1 ? x 2 ? 16,

? 0 ? x1 ? x 2 ? 16 2 ? 324 ,

又 x2 ? x1 ? 0,

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0,即f ( x2 ) ? f ( x1 ).

故函数 y=f(x)在[12.5,16]上是减函数. ∴当 x=16 时,y 取得最小值,此时

y min ? 800 (16 ?

324 200 200 ) ? 16000 ? 45000 (元), ? ? 12.5(m). 16 x 16

综上,当污水处理池的长为 16m,宽为 12.5m 时,总造价最低,最低为 45000 元.

22 、 解 : 1 ) (

y ? ? f ?( x) ? 3x 2 ? a, 若 f (x) 在 ?1,?? ? 上 是 单 调 递 减 函 数 , 则 须
10

y ? ? 0,即a ? 3x 2 , 这样的实数 a 不存在.故 f (x) 在 ?1,?? ? 上不可能是单调递减函数.
若 f (x) 在 ?1,?? ? 上是单调递增函数,则 a ≤ 3x ,
2

由于 x ? ?1,?? ?, 故3x ? 3 .从而 0<a≤3.
2

(2)方法 1、可知 f (x) 在 ?1,?? ? 上只能为单调增函数.

若 1≤ x0 ? f ( x0 ) ,则

f ( x0 ) ? f ( f ( x0 )) ? x0矛盾, 若 1≤ f ( x0 ) ? x0 , 则f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ), 即x0 ? f ( x0 )
矛盾,故只有 f ( x0 ) ? x0 成立. (2)方法 2:设 f ( x0 ) ? u, 则f (u ) ? x0 ,? x0 ? ax0 ? u, u ? au ? x0 , 两式相减
3 3

得 ( x0 ? u ) ? a( x0 ? u ) ? u ? x0 ? ( x0 ? u )( x0 ? x0 u ? u ? 1 ? a) ? 0,? x0 ≥1,u≥1,
3 3 2 2 2 2 ? x0 ? x0 u ? u 2 ? 3, 又0 ? a ? 3 ,? x0 ? x0 u ? u 2 ? 1 ? a ? 0

? x0 ? u ? 0,即u ? x0 , 亦即f ( x0 ) ? x0 , 证毕.

11