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【优化指导】高中数学 1-6课时演练(含解析)新人教版必修4

时间:2014-07-12


第一章

1.6

1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s (cm)和时 π? ? 间 t (s)的函数关系式为:s=6sin?2π t+ ?,那么单摆来回摆动一次所需 6? ? 的时间为( A.2π s C.0.5 s 2π 解析:∵ω =2π ,∴T= =1. ω 答案:D 2.如图所示为一简谐振动的图象,则下列判断正确的是( ) ) B.π s D.1 s

A.该质点的振动周期为 0.7 s B.该质点的振幅为 5 cm C.该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时振动速度最大 D.该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时的加速度为零 答案:B 3.如图,一个大风车的半径为 8 m,每 12 min 旋转一周,最低点离 地面 2 m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点

P 离地面的距离 h(m)与时间 t(min)之间的函数关系是(
π A.h=8cos t +10 6 π C.h=-8sin t+10 6

)

π B.h=-8cos t+10 3 π D.h=-8cos t+10 6

解析:排除法:由 T=12,排除 B;当 t=0 时,h=2,排除 A、C. 答案:D 4.设某人的血压满足函数式 p(t)=115+25sin(160π t),其中 p(t)为血压(mmHg),t 为 时间(min),则此人每分钟心跳的次数是________.

-1-

2π 1 1 解析:T= = (分).f= =80(次/分). 160π 80 T 答案:80 5.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A、B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d= ________,其中 t∈[0,60]. 解析:将解析式写为 d=Asin(ω x+φ )形式,由题意易知 A=10,当 t=0 时,d=0,得 π πt φ =0;当 t=30 时,d=10,可得 ω = ,所以 d=10si n . 60 60 πt 答案:10sin 60 6.某城市白昼时间的小时数 D(t)的表达式为 D(t)=3sin?

?2π t- ?365

?+12,其中 t ? ?

表示某天的序号,0≤t≤364,t∈N,t=0 表示 1 月 1 日,t=1 表示 1 月 2 日,依此类推. (1)该城市哪一天白昼时间最长?哪一天白昼时间最短? (2)估计该城市一年中有多少天的白昼时间超过 10.5 小时? 2π π 解:(1)令 (t-79)= ,得 t=170.25, 365 2 又 t∈N,故当 t=170 时,D(t)取得最大值. 又 t=170 对应的是 6 月 20 日(闰年除外). 所以该城市 6 月 20 日这一天白昼时间最长. 令 2π 3π (t-79)= ,得 t=352.75. 365 2

又 t∈N,故当 t=353 时,D(t)取得最小值. 又 t=353 对应的是 12 月 20 日(闰年除外), 所以该城市 12 月 20 日这一天白昼时间最短,

?2π t- (2)令 D(t)>10.5,即 3sin? ?365
∴sin?

?+12>10.5, ? ?

?2π t- ?365

?>-1, ? 2 ?

π 2π 7π ∴- < (t-79)< . 6 365 6 ∴48.6<t<291.9. 又 t∈N,∴49≤t≤291,t=49,50,51,…,291,共 243 天. ∴该城市一年中约有 243 天的白昼时间超过 10.5 小时.

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(时间:30 分钟 满分:60 分) 知识点及角度 由图象求解析式 由图象研究函数性质 数据拟合问题 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.图中为一半径为 3 m 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水 轮自点 A 开始旋转,15 s 旋转一圈.水轮上的点 P 到水面距离 y(m)与 时间 x(s)满足函数关系式 y=Asin(ω x+φ )+2,则有( 2π A.ω = ,A=3 15 2π C.ω = ,A=5 15 ) 难易度及题号 基础 1、3、5、7 6 8 中档 2 稍难 4、9 10

15 B.ω = ,A=3 2π 15 D.ω = ,A=5 2π

2π 2π 解析:∵T=15,∴ω = = ,显然 ymax-ymin 的值等于圆的直径长,即 ymax-ymin=6, T 15 故 A=

ymax-ymin 6
2

= =3. 2

答案:A π? ? 2.电流 强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin?ω t+ ? 6? ? 1 (A>0,ω ≠0)的图象如图所示,则当 t= 时,电流强度是( 50 A.-5 安 C.5 3安 解析:由题图知 A=10,T=2×? ∴ B.5 安 D.10 安 )

? 4 - 1 ?= 1 , ? ?300 300? 50

π? 2π 1 ? = ,∴ω =100π ,∴I=10 sin?100π t+ ?, 6? ω 50 ?

1 π? 1 ? 当 t= 时,I=10 sin ?100π × + ?=5(安). 50 6 ? 50 ? 答案:B 3.弹簧上 挂的小球做上下振动,它在时间 t(秒)时离开平衡位置的距离 s(厘米)满足函

? π? 数关系式 s=2sin?t+ ?,有如下三种说法:①小球开始在平衡位置上方 2 cm 处;②小球 4? ?
下降到最低点时离开平衡位置向下 2 cm 处;③经过 2π 秒小球重复振动一次,其中正确的说 法是( )
-3-

A.①② C.①③

B.②③ D.①②③

? π? 解析:当 t=0 时,s=2sin?0+ ?= 2,故①正确;smin=-2,故②正确;T=2π ,故 4? ?
③正确. 答案:D 4.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆 时针方向旋转一周,点 P 所旋转过的弧 函数 d=f(l)的图象大致是( ) 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则

解析:令 AP 所对圆心角为 θ ,由|OA|=1, θ d 得 l=θ ,sin = , 2 2 θ l ∴d=2sin =2sin , 2 2 即 d=f(l)=2sin (0≤l≤2π ),它的图象为 C. 2 答案:C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 5.如图是一弹簧振子做简谐运动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移, 则这个振子振动的函数解析式是________. 解析:设函数解析式为 y=Asin(ω t+φ )(A>0,ω >0), 1 则 A=2,由图象知 T=2×(0.8-0.3)= ×2=1, 2 2π 2π ∴ω = =2π .∴2π ×0.3+φ =π ,∴φ = . T 5 2π ? ? ∴函数解析式为 y=2sin?2π t+ ?. 5 ? ? 2π ? ? 答案:y=2sin ?2π t+ ? 5

l

?

?

3 6 .振动量 y = 2sin(ω x + φ )(ω >0) 的初相和频率分别是- π 和 ,则它的相位是 2 ________.

-4-

3 1 2 解析:由题意知:φ =-π ,f= ,则 T= = 2 f 3 2π 2π 2π 又 T= ,则 ω = = =3π .所以相位是 3π x-π . ω T 2 3 答案:3π x-π 7.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin (ω x π? ? +φ )+B?A>0,ω >0,|φ |< ?的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,7 月 2? ? 份价格最低为 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为________________.
?A+B=9, ? 解析:由条件可知? ? ?-A+B=5,

∴B=7,A=2.

π π π 又 T=2(7-3)=8,∴ω = ,令 3× +φ = , 4 4 2 π? π ?π ∴φ =- ,∴f(x)=2sin? x- ?+7. 4? 4 ?4 π? ?π 答案:f(x)=2sin? x- ?+7 4? ?4 三、解答题 8. (10 分)已知某地一天从 4~16 时的温度变化曲线近似满足函数 y=10sin? 20,x∈[4,16]. (1)求该地区这一段时间内温度的最大温差; (2)若有一种细菌在 15°C 到 25°C 之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生 存多长时间? 解:(1)由函数易知,当 x=14 时函数取最大值,此时最高温度为 30°C,当 x=6 时函数 取最小值,此时最低温度为 10°C,所以最大温差为 30°C-10°C=20°C. 5π ? 5π ? 1 26 ?π ?π (2)令 10sin? x- ?+20=15, 可得 sin? x- ?=- , 而 x∈[4,16], 所以 x= . 8 4 8 4 2 3 ? ? ? ? 5π ? 5π ? 1 34 ?π ?π 令 10sin? x- ?+20=25,可得 sin? x- ?= ,而 x∈[4,16],所以 x= . 8 4 8 4 2 3 ? ? ? ? 34 26 8 故该细菌能存活的最长时间为 - = (小时). 3 3 3 9.(12 分)如图所示,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前 一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ω x(A>0,ω >0),x∈[0,4]的图象,且图 象的最高点为 S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠

?π x-5π ?+ ? 4 ? ?8

MNP=120°.求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离.
-5-

解:依题意,有 A=2 3, =3, 4 2π π 又 T= ,∴ω = . ω 6 π ∴y=2 3sin x,x∈[0,4]. 6 2π ∴当 x=4 时, y=2 3sin =3. 3 ∴M(4,3).又 P(8,0), ∴MP= -
2

T





2

= 4 +3 =5(km).

2

2

即 M、P 两点间的距离为 5 k m.

10.(10 分)下图是某简谐运动的图象.

(1)求出这个简谐运动的函数解析式; (2)写出这个简谐运动的振幅、周期、频率和初相; (3)说明它可由正弦曲线经过怎样的变换得到. 解:(1)设这个简谐运动的函数解析式为 y=Asin(ω x+φ ),x∈[0,+∞).由图可知,

A=3,
14 2 周期 T= - =4, 3 3 2π π 从而 ω = = . T 2

?π ? ∴y=3sin? x+φ ?. ?2 ? ?2 ? ∵图象经过点? ,3?, ?3 ?
π? π ?π ? ?π ∴sin? +φ ?=1,取 φ = ,得这个简谐运动的函数表示式是 y=3sin? x+ ?,x 3 2 6? 6 ? ? ?

-6-

∈[0,+∞). 1 π (2)这个简谐运动的振幅是 3 cm,周期是 4 s,频率是 Hz,初相是 . 4 6 π ?π ? (3)先将正弦曲线在区间? ,+∞?上的部分图象向左平移 个单位长度,得到函数 y1= 6 6 ? ? 2 ? π ? x∈[0, sin?x+ ?, +∞)的图象; 再把图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 6 π ? ? π? ?π 得到函数 y2=sin? x+ ?,x∈[0,+∞)的图象;然后把函数 y2 的图象上各点的纵坐标伸 6? ?2 长到原来的 3 倍(横坐标不变),就得到函数 y=3sin?

?π x+π ?,x∈[0,+∞)的图象. ? 6? ?2

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