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导数应用中的恒成立问题论文:例探导数应用中的恒成立问题 0000用

时间:2013-05-02


导数应用中的恒成立问题论文:例探导数应用中的恒成立问题
摘要:利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题有着非常重要的作用,为 我们解决函数问题提供了有力的工具。用导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,还可以在知识的 网络交汇处设计问题,在高考中占有很重要的地位。因此,在教学中,要突出导数的应用。 关键词:导数;应用;函数;恒成立 导数是近代数学的

重要基础,是联系初、高等数学的纽带,它的引入为解决中学数学问题提供了新的 视野,是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值、最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的 有力工具,对于应用导数解决实践问题,关键是建立恰当的数学模型。本文拟就导数在解决函数应用中的 恒成立问题,谈一点个人的感悟和体会。 解题规律一:要使得f(x)≥c(或 f(x)≤c) (c为常数)在某个区间[a,b]恒成立,先求 出f(x)在该区间上的最小值f(x)min(或最大值f(x)max)并且令f(x)min≥c(或 f(x)max ≤c)即可解决问题, 【例 1】已知函数 f(x)=ax3+bx2-c(其中 a,b,c 均为常数,xε r).当 x=1 时,函数 f(x)的极植为 -3-c. (1)试确定 a,b 的值; (2)若对于任意 x>0,不等式 f(x)≥-2c2 恒成立,求 c 的取值范围. 解: (1)由 f(x)=ax3+bx2-c,得 f′(x)=3ax2+2bx, ∴■得,∴■,∴f(x)=6x3-9x2-c. (2)∵f(x)=6x3-9x2-c,∴f′(x)=18x2-18x=19x(x-1), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=1.当 x1 时,f(x)单调递增;当 00 恒成立,∴-6x3-9x2-c≥-2c2 对任意 x>0 恒成立,∴-3-c≥-2c2∴c≤-1 或 c≥■.∴c 的取值范围是(-∞,-1]∪[■,+∞). 【例 2】已知函数 f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是 r 上的奇函数,当 x=1 时 f(x)取得极值-2. (1)求 f(x)的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1,x2ε (-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|0,故 f(x)在单调区间(-∞,-1)上是增函 数. 当 xε (-1,1)时,f′(x)0,故 f(x)在单调区间(1,+∞)上是增函数. 所以,f(x)在 x=-1 处取得极大值,极大值为 f(-1)=2. (2)由(1)知,f(x)=x3-3x(xε [-1,1])是减函数,且 f(x)在[-1,1]上的最大值为 m=f(-1)=2,最小值为 m=f(1)=-2. 所以, 对任意 x1, x2ε (-1, 恒有|f(x1)-f(x2)|1 时, 1), g′(x)=1-a+lnx>1-a≥0, g(x)在(1, 故 +∞) 上为增函数,所以,x≥1 时,g(x)≥g(1)=1-a≥0,即 f(x)≥ax-1 ②若 a>1,方程 g′(x)=0 的根为 x0=ea-1,此时,若 xε (1,x0),则 g′(x) 综上,满足条件的 a 的取值范围是(-∞,1]. 解法二:依题意得f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,即a≤lnx+■对于xε [1,+∞) 恒成立。 (x) 令g =lnx+■, 则g′ (x) =■-■=■ (1-■) x>1 时, .当 因为 g′(x)=■ (1-■) >0, 故 g(x)是(1,+∞)上的增函数,所以 g(x)的最小值是 g(x)=1,所以 a 的取值范围是(-∞,1]. 【例 4】设函数f(x)=alnx,若不等式f(x)≥m+x对所有的aε [0,■] ,xε (1,e2] 都成立,求实数 m 的取值范围。 解:若不等式f(x)≥m+x对所有的aε [0,■] ,xε (1,e2]都成立,则alnx≥m +x对所有的aε [0,■] ,xε (1,e2]都成立,即m≤alnx-x,对所有的aε [0,■] , xε (1,e2]都成立,令h(a)=alnx-x,则h(a)为一次函数,m≤h(a)min, ∵xε (1,e2] ,∴lnx>0,∴h(a)在aε [0,■]上单调递增,∴h(a)min=h (0)=-x,∴m≤-x对所有的xε (1,e2]都成立,∵1<x<e2,∴-e2≤-x<-1,∴ m≤g(-x)min=-e2

解题规律三:解决形如:f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)在某个区间恒成立时,求参数a 的取值范围时可以把问题转化为f(x)min≥g(x)max(或f(x)max≤g(x)min) , 从而解决问题。 【例 5】若f(x)=■x2-6x+5lnx,设函数g(x)=x+■,对于任意 x≠0和 x1,x2ε (1,5] ,有|λ g(x)|-5ln5≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数 λ 的取值范围。 解:∵f(x)=■x2-6x+5lnx,∴f′(x)=x-6+■=■=■ . 则x,f(x) ,f′(x)的变化情况如下: 则f(x)极大值=f(1)=-■,f(x)极小值=f(5)=-■+5ln5. ∴|f(x1)-f(x2)|≤-■-(-■+5ln5)=12-5ln5. ∴|λ g(x)|-5ln5≥|f(x1)-f(x2)|恒成立|λ g(x)|≥12 恒成立. ∵|g(x)|=|x+■|=|x|+■≥2,当且仅当 x=±1 时取等号, ∴|λ g(x)|min=|2λ |≥12|λ |≥6λ ≤-6或 λ ≥6. 在高中数学学习以及历届高考试题中, 我们很容易发现导数可以解决函数中的最值问题, 不等式问题, 还可以在知识的网络交汇处设计问题,在高考中占有很重要的地位。因此,在教学中,要突出导数的应用, 特别是对于恒成立问题的探讨。