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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章 第8节 n次独立重复试验与二项分布


第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

第八节

n次独立重复试验与二项分 布(理)

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分(理) 概率 (文)

[主干知识梳理] 一、条件概率及其性质 1.条件概率的定义 P?AB? 设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A

)= 为在 P?A? 事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率.

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2.条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式,还可以借助古典概率 n?AB? 公式,即 P(B|A)= n?A?

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3.条件概率的性质 (1)条件概率具有概率的性质,

即0≤P(B|A)≤1.
(2)如果B和C是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A) .

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二、事件的相互独立性 1.设 A,B 为两个事件,若 P(AB)= P(A)P(B) A 与事件 B 相互独立. 2.如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也 都相互独立. .则称事件

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三、二项分布 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试
k n -k 验中事件 A 发生的概率为 p,则 P(X=k)=Ck p (1 - p ) , n

k=0,1,2,?,n. 此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称 p 为 成功概率.

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[基础自测自评] 4 1.(教材习题改编)某一批棉花种子,如果每一粒发芽的概率为 , 5 那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 ( 12 A. 125 48 C. 125 C
?4?2 ?1?1 2 [P=C3×? ? ×? ? = ?5? ?5? ? ? ? ?

)

16 B. 125 96 D. 125 48 .] 125

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2.(教材习题改编)某人射击,一次击中目标的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率为( 81 A. 125 36 C. 125 54 B. 125 27 D. 125
2 P1=C2 × 0.6 ×(1-0.6)= 3

)

A [两次击中的概率

54 , 125

27 三次击中的概率 P2=0.6 = , 125
3

81 故 P=P1+P2= .] 125

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3. 把一枚硬币连续抛两次, 记“第一次出现正面”为事件 A, “第 二次出现正面”为事件 B,则 P(B|A)等于 ( 1 A. 2 1 C. 6 1 B. 4 1 D. 8 )

1 P?AB? 4 1 A [P(B|A)= = = .] P?A? 1 2 2

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4.一个箱子里装有 4 个白球和 3 个黑球,一次摸出 2 个球,在已 知它们的颜色相同的条件下,该颜色是白色的概率为 ________. 解析 设颜色相同为事件 A,颜色都是白色为事件 B, n?AB? C2 4 则 P(A|B)= = 2 n?A? C4+C2 3 2 = . 3 2 答案 3

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5.设袋中有大小相同的 4 个红球与 2 个白球,若从中有放回地依 次取出一个球, 记 6 次取球中取出 2 个红球的概率为________. 解析 由题意得红球个数 X 服从二项分布, 即
? 2? ? X~B?6,3? ?, ? ? ? ? ? ? ?3? ?3?

2?2?2 ?1?4 ∴P(X=2)=C6? ? · ? ?

20 = . 243 20 答案 243

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[关键要点点拨] P?AB? 1. 由条件概率 P(B|A)= .当 P(B|A)=P(B), 即 P(AB)=P(A)P(B) P?A? 时,事件 B 与事件 A 独立.

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2.“相互独立”与“事件互斥”的区别: 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两事件相互独立是 指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响.两事件 相互独立不一定互斥. 3.在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=
k n -k k)=Ck p (1 - p ) ,k=0,1,2?n,其中 p 是一次试验中该事件发 n k n-k 生的概率,实际上 Ck 正好是二项式[(1-p)+p]n 的展 np (1-p)

开式中的第 k+1 项.

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条件概率 [典题导入]

(2014·河南模拟)如图,EFGH是
以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形, 将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示 事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示 事 件 “ 豆 子 落 在 扇 形 OHE( 阴 影 部 分 ) 内 ” , 则 P(B|A) =

________.

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2× 2 2 [听课记录] 依题意得,P(A)= = , π π 1 × 1× 1 2 1 P(AB)= = , π 2π PAB 1 则由条件概率的意义可知,P(B|A)= = . PA 4 1 答案 4

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2× 2 2 [听课记录] 依题意得,P(A)= = , π π 1 × 1× 1 2 1 P(AB)= = , π 2π PAB 1 则由条件概率的意义可知,P(B|A)= = . PA 4 1 答案 4

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[规律方法] 条件概率的求法可用如下两种方法: P?AB? (1)利用定义,分别求 P(A)和 P(AB),利用公式 P(B|A)= ,这 P?A? 是常用的方法. (2)求出事件 A 包含的基本事件数 n(A), 再求出事件 A 与事件 B 的 n?AB? 交事件中包含的基本事件数 n(AB),利用 P(B|A)= 可求得. n?A?

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[跟踪训练]

1 . (2014·潍坊模拟 ) 市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70% ,
乙厂占30% ,甲厂产品的合格率是 95% ,乙厂产品的合 格率是80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯 泡的概率是 ( )

A.0.665
C.0.24

B.0.56
D.0.285

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A [记A=“甲厂产品”,B=“合格产品”, 则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,

故P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.7×0.95=0.665.]

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相互独立事件的概率 [典题导入]

(2012·新课标全国卷)某一部件由三个电子元件按如
图所示方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正 常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位: 小时) 均服从正态分布 N(1 000,502) ,且各个元件能否正常工 作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 ________.

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[听课记录] 设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A,B,C, 1 显然 P(A)=P(B)=P(C)= , 2 因此该部件的使用寿命超过 1 000 小时 的事件为(A B + A B+AB)C,

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故该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率
?1 1 1 1 1 1 ? 1 3 ? × + × + × P=? = . ?2 2 2 2 2 2 ?× ? ? 2 8

3 答案 8

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[规律方法] 1.对于复杂的相互独立事件概率的求法,尤其是含有“恰 好”“至少”“至多”型问题要恰当分类,若分类较多时,可利 用其对立事件求概率.

2.若事件 A,B 相互独立,则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都相互 独立.

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[跟踪训练] 1 1 2.甲射击命中目标的概率是 ,乙命中目标的概率是 ,丙命中目 2 3 1 标的概率是 .现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为 4 ( 3 A. 4 4 C. 5 2 B. 3 7 D. 10 )

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A [设甲命中目标为事件 A,乙命中目标为事件 B,丙命中目标 为事件 C,则击中目标表示事件 A、B、C 中至少有一个发生. 又 P( A B C )=P( A )· P( B )· P( C ) =[1-P(A)]· [1-P(B)]· [1-P(C)]
? ? ? 1? 1? 1? ? ? ? ? ? ? 1 =?1-2?×?1-3?×?1-4?= . ? ? ? ? ? ? 4

故目标被击中的概率为 1-P( A · B· C) 1 3 =1- = .] 4 4

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独立重复试验与二项分布 [典题导入]
(2013· 福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了 2 甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖可以获得 2 分; 3 2 方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分.每人 5 有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束 后凭分数兑换奖品.

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(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的 累计得分为X,求X≤3的概率;

(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,
问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?

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2 [听课记录] 解法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中 3 2 奖的概率为 ,且两人中奖与否互不影响. 5 记“这两人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 的对立事件为“X=5”, 2 2 4 因为 P(X=5)= × = , 3 5 15 11 所以 P(A)=1-P(X=5)= , 15 11 即这两人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15

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(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙 抽奖中奖次数为 X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期 望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2).
? ? 2? 2? ? ? ? 由已知可得,X1~B?2,3?,X2~B?2,5? ?, ? ? ? ?

2 4 2 4 所以 E(X1)=2× = ,E(X2)=2× = , 3 3 5 5 8 12 从而 E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= . 3 5 因为 E(2X1)>E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

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2 2 解法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 , 3 5 且两人中奖与否互不影响. 记“这两人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 包含有“X=0”,“X=2”,“X=3”三个两两互斥的 事件, 因为
? ? 2? 2? ? ? ? ? 1 P(X=0)=?1-3?×?1-5?= , ? ? ? ? 5

2? 2 ? ? ? 2 P(X=2)= ×?1-5?= , 3 ? ? 5
? 2? 2 ? ? 2 P(X=3)=?1-3?× = , ? ? 5 15

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11 所以 P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)= . 15 11 即这两人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15

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(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1,都选 择方案乙所获得的累计得分为X2,则X1,X2的分布列如下:
X1 P 0 1 9 2 4 9 4 4 9

X2 P

0 9 25

3 12 25

6 4 25

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1 4 4 8 9 12 4 所以 E(X1)=0× +2× +4× = , E(X2)=0× +3× +6× 9 9 9 3 25 25 25 12 = . 5 因为 E(X1)>E(X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.

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[规律方法]

1.判断某事件发生是否是独立重复试验,关键有两点:
(1)在同样的条件下重复,相互独立进行. (2)试验结果要么发生,要么不发生. 2.判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点: (1)是否为n次独立重复试验.

(2) 随机变量是否为在这 n次独立重复试验中某事件发生的次
数.

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[跟踪训练]

3 . (2014· 乌鲁木齐三诊 ) 某高校组织自主招生考试,共有 2
000名学生报名参加了笔试,成绩均介于195分到275分之 间,从中随机抽取 50 名同学的成绩进行统计,将统计结 果 按 如 下 方 式 分 成 八 组 : 第 一 组 [195,205) , 第 二 组 [205,215),?,第八组[265,275).如图是按上述分组方法

得到的频率分布直方图,已知笔试成绩在 260 分以上 ( 含
260分)的同学取得面试资格.

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(1)估计所有参加笔试的 2 000 名学生中,取得面试资格的学生人 数; (2)面试时, 每位考生抽取三个问题(每人在回答三个问题时对每一 1 个问题正确回答的概率均为 ).若三个问题全答错,则不能取得 2 该校的自主招生资格;若三个问题均回答正确且笔试成绩在 270 分以上,则获 A 类资格(不参加高考,直接录取);其他情况下获 B 类资格(参加高考,降分录取),试估计获得 A 类资格和 B 类资格 的人数.

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解析 (1)设第 i(i=1,2,3,?,8)组的频率为 fi,由频率分布图知 f7 = 1 - (0.004 + 0.01 + 0.01 + 0.02 + 0.02 + 0.016 + 0.008)×10 = 0.12. f7 所以成绩在 260 分以上的同学的概率 P≈ +f8 2 =0.14, 故这 2 000 名同学中,取得面试资格的约为 280 人.

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f8 (2)成绩在 270 分以上的同学的人数约为 ×2 000 2 =80(人). 设 80 人中三题都答对的人数为 X,则 1 E(X)= ×80=10, 8 所以,获得 A 类资格的人数约为 10 人; 设 280 人中三题都答错的人数为 Y,则
? 1? ? Y~B?280,8? ?, ? ? ? 1? ? X~B?80,8? ?, ? ?

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1 E(Y)= ×280=35, 8 所以,获得 B 类资格的人数约为 280-10-35=235(人).

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【创新探究】 独立事件概率求法中的易误点 2 (2014· 珠海模拟)某射手每次射击击中目标的概率是 , 3 且各次射击的结果互不影响. (1)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概率;

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(3)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未 击中目标得0分,在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1

次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分,记ξ
为射手射击3次后的总的分数,求ξ的分布列. 【思路导析】 (1)为独立重复试验;(2)将复杂的事件分解为 彼此互斥事件的和,再分解为相互独立事件的积;(3)按照求 分布列的一般步骤进行求解.

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【解析】

? 2? ? (1)设 X 为射手在 5 次射击中目标的次数, 则 X~B?5,3? ?. ? ?

在 5 次射击中,恰有 2 次击中目标的概率为 2?3 ?2?2 ? 2 P(X=2)=C5×? ? ×?1- ? =
?3? ? ? ? ? ?

3?

40 . 243

(2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i=1,2,3,4,5);“射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A, 则 P(A)=P(A1A2A3 A 4 A 5)+P( A 1A2A3A4 A 5)+P( A 1 A 2A3A4A5)
?2? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 ? ?3 ?1?2 1 ?2?3 1 ?1?2 ?2?3 =?3? ×?3? + ×?3? × +?3? ×?3? = . 3 ? ? 3 ? ? ? ? 81 ? ? ? ?

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(3)由题意可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6,
?1? 1 ? ?3 P(ξ=0)=P( A 1 A 2 A 3)=?3? = ; 27 ? ?

P(ξ=1)=P(A1 A 2
? 1 ? ?1?2 2 2 × +?3? × = . 3 ? ? 3 9

? 2 ? ?1? 2 1 2 A 3)+P( A 1A2 A 3)+ P( A 1 A 2A3)= ×?3? + × 3 ? ? 3 3

2 1 2 4 P(ξ=2)=P(A1 A 2A3)= × × = , 3 3 3 27
?2? ? ? 8 ? ?2 1 1 ?2?2 P(ξ=3)=P(A1A2 A 3)+P( A 1A2A3)=?3? × + ×?3? = , 3 3 ? ? 27 ? ?

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?2? 8 ? ?2 P(ξ=6)=P(A1A2A3)=?3? = , 27 ? ?

所以 ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3 6 P 1 2 4 8 8 27 9 27 27 27

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【高手支招】

1.本题第(2)问因不明独立事件与独立重复试验的
?1?2 3?2?3 P=C5? ? ×? ? ?3? ?3? ? ? ? ?

区别,误认为是 n 次独立重复试验,可导致求得 80 = 这一错误结果. 243

2. 本题第(2)问中因忽视连续三次击中目标, 另外两次未击中导致 分类不准确. 3. 正确区分相互独立事件与 n 次独立重复试验是解决这类问题的 关键.

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[体验高考]

(2013· 山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获 1 得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外, 2 2 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 . 假设各局比赛结果相互独 3 立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分; 若比赛结果为 3∶2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列及数学期望.

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解析

(1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1, “甲队以 3∶1 胜利”

为事件 A2,“甲队以 3∶2 胜利”为事件 A3, 由题意知,各局比赛结果相互独立, 故
?2? 8 ? ?3 P(A1)=?3? = , 27 ? ? ? ? ? ?3? ? ? ? ? ?3? ? ?

2? 2 2?2?2? P(A2)=C3? ? ?1- ?× = 3?
?

8 , 3 27 4 . 2 27

2?2 1 2?2?2? P(A3)=C4? ? ?1- ? × = 3?

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8 所以,甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为 ,以 3∶2 胜 27 4 利的概率为 . 27

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(2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4, 由题意知,各局比赛结果相互独立, 所以 2?2?2?2 ? 1? 2? P(A4)=C4?1- ? ? ? ×?1- ?=
? ? ? ? ? ? ? ?

3? ?3?

2?

4 . 27

由题意知,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3, 根据事件的互斥性得 16 P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)= , 27 4 4 又 P(X=1)=P(A3)= ,P(X=2)=P(A4)= , 27 27

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3 P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)= , 27 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 16 4 4 3 27 27 27 27

16 4 4 3 7 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 27 27 27 27 9

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课时作业


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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第8章 第8节 曲线与方程

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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第10章 第5节 古典概型

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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第10章 第2节 排列与组合

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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第8章 第5节 椭圆

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