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2015-2016学年高中数学 2.2.3椭圆的简单几何性质(一)练习 新人教A版选修2-1


2.2.3
基 础 梳 理

椭圆的简单几何性质(一)

图形

标准方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2
2a>2c,a =b +c ,a>0,b>0,c>0 |x|≤____,|y|≤____ 曲线关于___________

_对称
2 2 2

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

条件 范围 对称性

|x|≤____,|y|≤____

顶点 焦点 长短轴 的长度 焦距

长轴顶点________, 短轴顶点________ ________ 长轴长 2a,短轴长 2b |F1F2|=2c(c =a -b )
2 2 2

长轴顶点________, 短轴顶点________ ________

离心率

c e= ∈______, e 越大,椭圆越扁,e a
越小,椭圆越圆

想一想: 1.通过对椭圆几何性质的研究, 你能判断椭圆的焦点是在长轴上还是在短轴上 吗?

2.椭圆的离心率 e 能否用 a,b 表示? 基础梳理

a b b a 原点、x 轴、y 轴 (±a,0) (0,±b) (0,±a)
1

(±b,0) (±c,0) (0,±c) (0,1) 想一想:1.椭圆的焦点在长轴上. 2.可以,因为 e= ,又 c= a -b , 所以 e=

c a

2

2

a2-b2 = a

1- 2.

b2 a

自 测 自 评 1.椭圆 6x +y =6 的长轴的端点坐标是( A.(-1,0)、(1,0) B.(0,-1)、(0,1 ) C.(- 6,0)、( 6,0) D.(0,- 6)、(0, 6) 2.椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为 10,两个焦点与短轴的两个顶点构成的菱形的 面积为 5,则椭圆的离心率为( A. 2 2 B. 3 2 1 C. 2 D. 6 3 )
2 2

)

3.(2014·潍坊二中调研)如果方程 2+ 的取值范围是( A.(3,+∞) B.(-∞,-2) C.(3,+∞)∪(-∞,-2) D.(3,+∞ )∪(-6,-2) 自测自评 1.D )

x2 y2 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a a a+6

c 1 2 .解析:依题意有 2ab=10,2bc=5,所以 e= = . a 2
答案:C
?a >a+6, ? ?(a+2)(a-3)>0, ? 3. 解析: 由于椭圆的焦点在 x 轴上, 所以? 即? 解得 a>3 ?a+6>0, ? ?a>-6. ?
2

或- 6<a<-2,故选 D. 答案:D

2

基 础 巩 固 1.椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率 e 为( A. C. 1 1 B. 2 3 1 2 D. 4 2 )

c 1 1.解析:由题意,得 a=2c,∴e= = . a 2
答案:A 2.椭圆 2+ 2=1 和 2+ 2=k(k>0) 具有相同的( A.顶点 C.长轴 B.离心率 D.短轴

x2 y2 a b

x2 y2 a b

)

x2 y 2 2. 解析: 椭圆 2+ 2=1 的离心率 e1= a b


c2 1 = a2 1

b2 x2 y2 1- 2, 椭圆 2+ 2=k 的离心率 e2= a a b

c2 2 a2 2

b2k 1- 2 = ak
答案:B

b2 1- 2=e1.故选 B. a

3.椭圆以两条 坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦 点坐标为( )

A.(±13,0) B.(0,±10) C.(0,±13) D.(0,± 69) 3.解析:由条件知,椭圆的焦点在 y 轴上,且 a=13,b=10,所以 c =a -b =169- 100=69,所以焦点坐标为(0,± 69). 答案:D 4.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该 椭圆的标 准方程是______________.
2 2 2

?a=2b, ? ?b =4, x y 4.解析:已知?c=2 3,? ? ? + =1. 16 4 ?a =16 ?a -b =c ?
2 2 2 2 2 2 2

答案: + =1 16 4

x2

y2

能 力 提 升

3

x y 4 5.(2014·吉林高二检测)椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( 9 4+k 5
A.-21 B.21 19 D. 或 21 25
2 2

2

2

)

19 C.- 或 21 25

5.解析:当椭圆的焦点在 x 轴上时,a =9,b =4+k, 得 c =5-k.由 =
2

c a

5-k 4 19 = ,得 k=- ; 3 5 25
2 2 2

当焦点在 y 轴上时,a =4+k,b =9,得 c =k-5.由 = 答案:C

c a

k-5 4 = ,得 k=21. 4+k 5

6.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点 A 距地面 m 千米, 远地点 B 距离地面 n 千米,地球半径为 k 千米,则飞船运行轨道 的短轴长为( A.2 (m+k)(n+k) B. (m+k)(n+k) C.mn D.2mn 6. 解析: 由题意可得 a-c=m+k, a+c=n+k, 故(a-c)·(a+c)= (m+k)(n+k). 即 )

a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以 b= (m+k)(n+k),
所以椭圆的短轴长为 2 (m+k)(n+k),故选 A. 答案:A 7. 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的四个顶点顺次连接构成一个菱形, 该菱形的面积为 2 10, 又椭圆的离 心率为 15 ,则椭圆的标准方程是____________________________. 5

x2 y2 a b

7.解析:由题意,得 2ab=2 10,即 ab= 10.① 又 e = 2=
2

c2 a2-b2 15 3 2 2 = = ,即 2a =5b .② a a2 25 5
2 2

解① ②得 a =5,b =2,所以所求椭圆方程为 + =1. 5 2 答案: + =1 5 2

x2 y2

x2 y2

y2 8.(2014·安徽卷)若 F1,F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点 F1 的 b
2

直线交椭圆 E 于 A、 B 两点. 若|AF1|=3|F1B|, AF2⊥x 轴, 则椭圆 E 的方程为________________. 8.解析:根据题意,求出点 B 的坐标代入椭圆方程求解.
4

设点 B 的坐标为(x0,y0).∵x + 2=1, ∴F1(- 1-b ,0),F2( 1-b ,0). ∵AF2⊥x 轴,∴A( 1-b ,b ). → → ∵|AF1|=3|F1B|,∴AF1=3F1B, ∴(- 2 1-b ,-b )=3(x0+ 1-b ,y0). 5 b 2 ∴x0=- 1-b ,y0=- . 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2

2

y2 b

b? y2 2 2 ? 5 2 2 将 B?- 1-b ,- ?代入 x + 2=1,得 b = . 3 3 b 3 ? ?
3 2 2 ∴椭圆 E 的方程为 x + y =1. 2 3 2 2 答案:x + y =1 2

2

x y → → 9.已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,若PF1·PF2=0,tan ∠ a b PF1F2= ,求椭圆的离心率.
→ → 9.解析:∵PF1·PF2=0,∴PF1⊥PF2, |PF2| 1 在 Rt△PF1F2 中,tan ∠PF1F2= = , |PF1| 2 设|PF2|=x,则|PF1|=2x, 2a 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,∴x= , 3 ∵|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,∴x +4x =4c , ∴ 20 2 c 5 a =4c2,∴e= = . 9 a 3
2 2 2 2 2 2

2

2

1 2

10.设椭圆

x2

m+1

+y =1 的两个焦点是 F1(-c,0)与 F2(c,0),且椭圆上存在点 P,使

2

得直线 PF1 与直线 PF2 垂直,求实数 m 的取值范围. 10. 解析: (1)由题设有 m>0, c= m , 设点 P 的坐标为(x0, y0), 由 PF1⊥PF2 得 =-1, 化简得 x0+y0=m.① 将①与
2 2

y0

x0+c x0-c

·

y0

x2 0

m+1

+y0=1 联立,

2

5

解得 x0=

2

m2-1 2 1 ,y0= . m m
2

由 m>0,x0=

m2-1 ≥0,得 m≥1. m

∴实数 m 的取值范围是[1,+∞).

6


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