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2016届二轮 点、直线、平面之间的位置关系 专题检测(全国通用)


高效演练
1.(考向一)(2015·东营模拟)下列命题中错误的是( ) A.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α 不垂直于平面β , 那么平面α 内一定不存在直线垂直于 平面β C.如果平面α ⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ ,α ∩β =l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内所有直线都垂直于平面β 【

解析】选 D.由题意可知:A、结合实物:教室的门面与地面垂直, 门面的上棱对应的直线就与地面平行,故此命题成立;B、假若平面 α内存在直线垂直于平面β, 根据面面垂直的判定定理可知两平面垂 直.故此命题成立;C、结合面面垂直的性质可以分别在α,β内作异 于 l 的直线垂直于交线,再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平 行,进而得到线面平行,再由线面平行的性质可知所作的直线与 l 平 行,又因为两条平行线中的一条垂直于平面,那么另一条也垂直于平 面,故命题成立;D、举反例:教室内侧墙面与地面垂直,而侧墙面 内有很多直线是不垂直于地面的.故此命题不成立. 2.(考向二)已知直线 l,平面α ,β ,γ ,则下列能推出α ∥β 的条 件是( ) B.l∥α ,l∥β D.α ∥γ ,γ ∥β

A.l⊥α ,l∥β C.α ⊥γ ,γ ⊥β

【解析】选 D.能推出α∥β的条件是α∥γ,γ∥β.
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3.(考向二)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是 AA1,CC1 的中 点,点 P 是 CC1 上的动点(包括端点),过点 E,D,P 作正方体的截面, 若截面为四边形,则点 P 的轨迹是( A.线段 C1F C.线段 CF 和一点 C1 )

B.线段 CF D.线段 C1F 和一点 C

【解析】选 C.如图,DE∥平面 BB1C1C,所以平面 DEP 与平面 BB1C1C 的 交线 PM∥ED,连接 EM,易证 MP=ED,则 M 到达 B1 时,仍可构成四边 形,即 P 到 F,而 P 在 C1F 之间,不满足要求.注意点 P 到点 C1 仍可构 成四边形.

4.(考向三)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,平面 PAD⊥平面 ABCD.若∠BPC=90°,PB= 体积最大值为 . ,PC=2,则四棱锥 P-ABCD 的

【解析】如图所示,作 PO⊥AD,垂足为点 O,作 OG⊥BC,垂足为点 G, 连接 GP. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,
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所以 PO⊥平面 ABCD. 在△BPC 中,因为∠BPC=90°,PB= 所以 BC= = .所以 PG= = × x, = ,当且仅当 x= 时取等号. ,PC=2, = . ,

设 AB=x,则 OG=x,PO= 所以 VP-ABCD= PO·SABCD= 所以 V2= 所以 VP-ABCD≤ . x2≤

答案: 5.(考向二、三)(2015·威海一模)如图,在底面为平行四边形的四棱 锥 P-ABCD 中, AB⊥AC, PA⊥平面 ABCD, 且 PA=AB, 点 E 是 PD 的中点.

(1)求证:AC⊥PB. (2)求证:PB∥平面 AEC. (3)若 PA=4,求点 E 到平面 ABCD 的距离.
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【解析】(1)由 PA⊥平面 ABCD 可得 PA⊥AC,又 AB⊥AC,PA∩AB=A, 所以 AC⊥平面 PAB,所以 AC⊥PB. (2)连 BD 交 AC 于点 O,连接 EO,则 EO 是△PDB 的中位线,所以 EO ∥PB.又因为 PB?平面 AEC,EO? 平面 AEC,所以 PB∥平面 AEC. (3)取 AD 中点 F,连接 EF.因为点 E 是 PD 的中点,所以 EF PA.

又因为 PA⊥平面 ABCD, 所以 EF⊥平面 ABCD.所以线段 EF 的长度就是 点 E 到平面 ABCD 的距离. 又因为 PA=4,所以 EF=2.所以点 E 到平面 ABCD 的距离为 2.

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