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湖北省黄冈中学2010-2011学年秋季高一期中考试(数学)


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湖北省黄冈中学 2010-2011 学年秋季高一期中考试(数学)

数 学 试 题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列各组函数是同一函数的是 ( ) ① f ( x)

?

?2 x3 与 g ( x) ? x ?2x ; x2 ;
1 ; x0

② f ( x ) ? x 与 g ( x) ? ③ f ( x) ? x 与 g ( x ) ?
0

④ f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1与 g (t ) ? t 2 ? 2t ? 1 A.① ② B.① ③ C.③ ④ D.① ④

2.设集合 A={1,2}, B={0,1},定义运算 A※B={z|z= x , x ? A, y ? B} ,则集合 A※B 的

y

子集个数为 A.1

( B.2 C.3 D.4 (



3.已知 m ? 0.95.1 , n ? 5.10.9 , p ? log 0.9 5.1 ,则 m、n、p 的大小关系 A. m ? n ? p C. p ? m ? n B. m ? p ? n D. p ? n ? m



4.下列函数中,在 (0,1) 上为单调递减的偶函数是 A. y ? x
?2


1 2



B. y ? x

4

C. y ? x

D. y ? ? x

1 3

5.如果奇函数 f ( x) 在 [3,7] 上是增函数且最小值是 5,那么 f ( x) 在 [?7,?3] 上是( A.减函数且最小值是 ? 5 C.增函数且最小值是 ? 5 B.减函数且最大值是 ? 5 D.增函数且最大值是 ? 5 .



6.已知集合 M ? { y | y ? x ?1, x ? R} , N ? {x ? R | y ? 3 ? x 2 } ,则 M
2

N ?(



A. {(? 2 ,1), ( 2 ,1)} C. [0, 3 ] 7.若 f ( x) ? ? x ? 2ax 与 g ( x) ? (a ? 1)
2 1? x

B. [?1, 3] D. ?

(a ? ?1 且 a ? 0) 在区间 [1,2] 上都是减函数,
( )

则 a 的取值范围是
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A. (?1,0) C. (0,1) 8 .若 A ? x ? Z 2 ? 2 ( ) A.0

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B. (0,1] D. (?1,0)

(0,1)

?

2? x

? 8 , B ? x ? R log 2 x ? 1 ,则 A (?R B) 的元素个数为
C.2 D.3

?

?

?

B.1

x 9.函数 f ( x ) 与的图像与 g ( x) ? ( ) 图像关于直线 y ? x 对称,则的 f (4 ? x2 ) 的单调增区

1 2

间是 A. (??, 0] B. [0, ??) C. (?2, 0] D. [0, 2)





10.已知函数 f ( x) ? loga (2x ? b ? 1)(a ? 0 ,a ? 1) 的图象如图所示,则 a, b 满足的关系 是 ( A. 0 ? a
?1



? b ?1
?1

y O x

B. 0 ? b ? a C. 0 ? b
?1

?1

? a ?1 ? b?1 ? 1

?1

D. 0 ? a

?1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.计算 (
1 ( lg 9 ? lg 2) 16 ? 1 ) 2 ? 100 2 ? ln 4 e3 ? log 9 8 log 4 3 3 =_______. 9

12.已知集合 M ? ?1,

? a ? , b ? , N ? ?0, a ? b, b 2 ? , M ? N ,则 a 2010 ? b2011 ? _______. ? b ? 2 的图象恒过定点 P , P 在幂函数 f ? x ? 的图象上,则 2

13 .函数 y ? loga ? 2x ? 3 ??

f ?9? ? __________.
? 1 ?x ? , x ? A ? 1? ?1 ? 14 . 设 集 合 A= ?0, ? , B= ? ,1? , 函 数 f ( x ) = ? 若 x0 ? A , 且 2 ? 2? ?2 ? ?2 ?1 ? x ? , x ? B, ?
f [ f ( x0 )] ?A,则 x0 的取值范围是__________.
3 15.已知偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x ? 8?x ? 0? ,则 f ( x ? 2) ? 0 的解集为__________.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3x ? 1 .

3 ?1

(1)证明 f(x)为奇函数; (2)判断 f(x)的单调性,并用定义加以证明;

17. (本小题满分 12 分)已知全集 U ? R ,A={x | | x ? 1 |≥1} ,B为函数 f ( x) ? 的定义域,C 为 g ( x) ? lg[( x ? a ? 1)(2a ? x)] ( a ? 1 )的定义域; (1) A

2?

x?3 x ?1

B ;? B) ; U (A

(2)若 C ? B ,求实数 a 的取值范围;

18. (本小题满分 12 分)已知二次函数 f ( x ) 满足条件 f (0) ? 1 ,及 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)在区间[-1,1]上, y ? f ( x) 的图像恒在 y ? 2 x ? m 的图像上方,试确定实数 m

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的取值范围;

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19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a, b ? R 且 a ? 2 , 定 义 在 区 间 ? ?b, b ? 内 的 函 数

f ( x) ? lg

1 ? ax 是奇函数. 1 ? 2x

(1)求函数 f ( x ) 的解析式及 b 的取值范围; (2)讨论 f ( x ) 的单调性;

20 . (本小题满分 13 分)设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,对任意实数 m 、 n ,都有

f ( m) f ( n)? f ( m ? n),且当 x <0 时, f (x ) >1.
(1)证明:① f (0) = 1 ; ②当 x >0 时,0< f ( x ) <1; ③ f ( x ) 是 R 上的减函数; (2)设 a ? R ,试解关于 x 的不等式 f ( x ? 3ax ? 1) f (?3x ? 6a ? 1) ? 1 ;
2

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21. (本小题满分 14 分)已知 y ? f ( x) ( x ? D , D 为此函数的定义域)同时满足下列两 个条件:①函数 f ( x ) 在 D 内单调递增或单调递减;②如果存在区间 [a, b] ? D ,使函 数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的值域为 [ a, b] ,那么称 y ? f ( x) , x ? D 为闭函数; 请解答以下问题: (1) 求闭函数 y ? ? x 符合条件②的区间 [ a, b] ;
3

(2) 判断函数 f ( x) ? (3)若 y ? k ?

3 1 x ? ( x ? (0, ??)) 是否为闭函数?并说明理由; 4 x

x (k ? 0) 是闭函数,求实数 k 的取值范围;

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参考答案
一、选择题 1、C 2、D 3、C 4、A 5、D 二、填空题 11、4 12、-1 解析:由 M ? N , M ? ?1, 所以只能

6、B

7、B 8、C 9、D 10、A

? a ? , b? 知 b ? 0 , ? b ?

a ? 0 ,所以 a ? 0 , b

此时 M ? 1,0, b? , N ? 0, b, b

?

?

2

?,

2 2 所以 b ? 1 ,又 b ? b ,所以 b ? ?1 ;代入即可得;

13、

1 3

解析:令 x ? 2, y ?

2 2 ,即 P(2, ); 2 2
?

设 f ( x) ? x ,则 2 ?
1 2

?

1 2 ,? ? ? ; 2 2 1 3

所以 f ( x) ? x

?

, f ?9? ?

14、 ?

?1 1? , ? ?4 2?
1 , 2

解析: x0 ? A , 即 0 ? x0 ? 所以 f ( x0 ) ? x0 ? 即

1 1 1 , ? x0 ? ? 1, 2 2 2

1 ? f ( x0 ) ? 1, 即 f ( x0 ) ? B , 2

所以 f [ f ( x0 )] ? 2[1 ? f ( x0 )] ? 1 ? 2 x0 ? A , 即 0 ? 1 ? 2 x0 ? 解得:

1 , 2

1 1 ? x0 ? 1, 又由 0 ? x0 ? , , 4 2

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所以

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1 1 ? x0 ? . 4 2

15、 (??,0)

(4, ??)

解析:因为 f ( x ) 为偶函数, 且当 x ? 0 时 f ( x) ? x 3 ? 8 为增函数, 则 x ? 0 时, f ( x) 为减函数; f ( x ? 2) ? 0 ? f (2) , 所以可得: x ? 2 ? 2 , 解得: x ? 0, 或 x ? 4 . 16、解: (1)证明略; (2)在定义域上是单调增函数; 17、解: (1)解| x ? 1 |≥1 得: x ? 0 或 x ? 2

? A ? ? x x ? 0, 或 x ? 2? ;
∵函数 f ( x ) 的自变量 x 应满足 2 ? 即?

x?3 ? 0, x ?1

?( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ?x ? 1 ? 0

∴ x ? ?1 或 x ? 1 ? B ? x x ? ?1, 或 x ? 1 ?;

?

A A

B ? ? x x ? ?1, 或 x ? 2? , B ? ? x x ? 0, 或 x ? 1? , CU ( A ? B) ? ? x 0 ? x ? 1?

(2)∵函数 g ( x) 的自变量 x 应满足不等式 ( x ? a ? 1)(2a ? x) ? 0 . 又由 a ? 1 ,

? 2a ? x ? a ? 1

? C ? ? x 2a ? x ? a ? 1

?

C?B ? a ? 1 ? ?1 或 2a ? 1 1 ? a ? ?2 或 a ? ,又 a ? 1 2 1 ? a 的取值范围为 a ? ?2 或 ? a ? 1 2

? f (1) ? f (0) ? 1, 18、解: (1)令 x ? 0,则f (1) ? f (0) ? 0,
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∴二次函数图像的对称轴为 x ?

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1 . 2

1 2 ) ? h. 2 3 由 f (0) ? 1,又可知 f (?1) ? 3得a ? 1,h ? , 4 1 2 3 2 ∴二次函数的解析式为 y ? f ( x) ? ( x ? ) ? ? x ? x ? 1 2 4
∴可令二次函数的解析式为 y ? a ( x ? (2)

x 2 ? x ? 1 ? 2 x ? m 在 ?? ? 1,1? 上恒成立

? x 2 ? 3x ? 1 ? m 在 ?? ? 1,1? 上恒成立
令 g ( x) ? x ? 3x ? 1,则 g ( x) 在 ?? ? 1,1? 上单调递减
2

∴ g ( x)min ? g (1) ? ?1, ? m ? ?1 . 19、解: (1) f ( x ) ? lg

1 ? ax , x ? ? ?b, b ? 是奇函数, 1 ? 2x

? f (? x) ? ? f ( x) (1) ? 等价于对于任意 ?b ? x ? b 都有 ?1 ? ax 成立, (1) ? 0 (2) ? ?1 ? 2 x
1 ? ax 1 ? ax 1 ? 2x ? ? lg ? lg . 1 ? 2x 1 ? 2x 1 ? ax 1 ? ax 1 ? 2 x 2 2 2 ? ? ,即 a x ? 4 x , 1 ? 2 x 1 ? ax
式即为 lg 此式对于任意 x ? ? ?b, b ? 都成立等价于 a ? 4 ,
2

因为 a ? 2 ,所以 a ? ?2 ,所以 f ( x ) ? lg 代入(2)式得: 即?

1 ? 2x ? 0, 1 ? 2x

1 ? 2x ; 1 ? 2x

1 1 ? x ? 对于任意 x ? ? ?b, b ? 都成立, 2 2
1 1 ? 1? ? ?b ? b ? ,从而 b 的取值范围为 ? 0, ? ; 2 2 ? 2?

相当于 ?

(2)对于任意 x1 , x2 ? (?b, b) ,且 x1 ? x2 ,由 b ? ? 0, ? , 2

? ?

1? ?

得?

1 1 ? ?b ? b ? ,所以 0 ? 1 ? 2 x2 ? 1 ? 2 x1 , 2 2

0 ? 1 ? 2x1 ? 1 ? 2 x2 ,
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从而 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? lg

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1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 ? lg 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1

= lg

(1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ) ? lg1 ? 0 , (1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 )

因此 f ( x ) 在 ? ?b, b ? 是减函数; 20、解: (I)证明: (1)在 f (m) f (n) ? f (m ? n) 中, 令m ? n ? 0 得 f (0) f (0) ? f (0 ? 0) 即 f (0) = f (0)gf (0). ∴ f (0) = 0 或 f (0) = 1, 若 f (0) = 0 ,则当 x <0 时,

f (0) = 0 , 有 f (x ) = f (x + 0) = f (x )g
与题设矛盾, ∴ f (0) = 1. (2)当 x >0 时, - x <0,由已知得 f (- x ) >1, 又 f (0) = f [ x + (- x)] = f ( x)gf (- x) = 1 , f [(- x)] > 1 , 0< f ( x ) =



f (0) <1, 即 x >0 时,0< f ( x ) <1. f (- x )

(3)任取 x 1 < x 2 ,则 f (x 1 ) = f (x 1 - x 2 + x 2 ) = f (x 1 - x 2 )g f (x 2 ) , ∵ x 1 - x 2 <0, ∴ f (x 1 - x 2 ) >1,又由(1)(2)及已知条件知 f (x 2 ) >0, ∴ f (x 1 ) > f ( x 2 ) , ∴ y = f (x ) 在定义域 R 上为减函数. (II) f (x - 3ax + 1)g f (- 3x + 6a + 1) = f (x - 3ax + 1- 3x + 6a + 1)
2 2

= f [x 2 - 3(a + 1)x + 2(3a + 1)]
又 f (0) = 1, f ( x ) 在 R 上单调递减.
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∴原不等式等价于 x 2 - 3(a + 1)x + 2(3a + 1) ≤0 不等式可化为 (x - 2)[x - (3a + 1)] ≤0 当 2< 3a + 1 ,即 a > 当 2= 3a + 1 ,即 a =

1 时,不等式的解集为 {x | 2 ≤ x ≤ 3a + 1 } ; 3

1 时, (x - 2)2 ≤0,不等式的解集为 {2} ; 3 1 当 2> 3a + 1 ,即 a < 时,不等式的解集为 {x | 3a + 1 ≤ x ≤2 } . 3
21、解:(1) 先证 y ? ? x 符合条件①:对于任意 x1 , x2 ? R ,
3

且 x1 ? x2 ,有 y1 ? y2 ? x23 ? x13 ?

( x2 ? x1 )( x2 2 ? x1 x2 ? x12 )
? ( x2 ? x1 )[( x2 ? 1 2 3 2 x1 ) ? x1 ] ? 0 , 2 4

? y1 ? y2 ,故 y ? ? x3 是 R 上的减函数.
由题可得: ?

?b ? ?a 3 ? 3 3 则 (a ? b) ? ?(a ? b ) , 3 ? ?a ? ?b


2 2 ? ( a ? b) ? ? a ? ab ? b ? 1? ??0

b 3 a 2 ? ab ? b 2 ? 1 ? (a ? ) 2 ? b 2 ? 1 ? 0 , 2 4

? a ? b ? 0 ,又 b ? a , ? a ? ?1, b ? 1 所求区间为 ??1,1?
(2) 当 x ? 0, f ( x) ?

3 1 2 3 2 3 x? 在 (0, (证 ] 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增; 4 x 3 3

明略)所以,函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数,从而该函数不是闭函数 (3)易知 y ? k ? 为 ? a, b? ,则? ? 故 a, b 是 x ? k ?

x 是 (0, ??) 上的增函数,符合条件①;设函数符合条件②的区间


? ?a ? k ? a ?b ? k ? b ?

x 的两个不等根,即方程组为:

? x 2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 0 ? 有两个不等非负实根; ?x ? 0 ?x ? k ?
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设 x1 , x2 为方程 x2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 0 的二根,

? ? ? (2k ? 1) 2 ? 4k 2 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 2k ? 1 ? 0 则? ? 2 ? x1 x2 ? k ? 0 ? ?k ? 0
解得: ?



1 ?k ?0 4

1 ? k 的取值范围 (? , 0) . 4

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