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上海市2016届高考数学一轮复习 专题突破训练 统计与概率 理

时间:2015-10-13


上海市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 统计与概率
一、填空、选择题 1、 (2015 年上海高考)赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有 1,2,3,4,5 的卡 片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元) ;随后放回该卡片,再随机摸取两张, 将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金(单位:元) .若随机变量 ξ 1 和 ξ 2 分别表 示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则 Eξ 1﹣Eξ 2= 0.2 (元) . 2、(2014 年上海高考)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏 散演练,则 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 (结果用最简分数表示).

3、(2014 年上海高考)某游戏的得分为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,随机变量 ? 表示小白玩该游戏的得分. 若

E (? ) ? 4.2 ,则小白得 5 分的概率至少为

.

4、(2013 年上海高考)盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出 两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示) 5、(静安、青浦、宝山区 2015 届高三二模)射击比赛每人射 2 次,约定全部不中得 0 分,只中一 弹得 10 分,中两弹得 15 分,某人每次射击的命中率均为

4 ,则他得分的数学期望是 5

分.

6 、(闵行区 2015 届高三二模) m 是从集合 ??1, 0,1, 2, 3 ? 中随机抽取的一个元素 , 记随机变量

? ? ? cos( m ? ) ,则 ? 的数学期望 E? ? 3
7、(浦东新区 2015 届高三二模)已知随机变量 ? 分别取 1、2 和 3,其中概率 p(? ? 1) 与 p(? ? 3) 相等,且方差 D? ?

1 ,则概率 p(? ? 2) 的值为 3

2 3

.

8、(普陀区 2015 届高三二模)一个袋子中有 7 个除颜色外完全相同的小球,其中 5 个红色,2 个 6 黑色.从袋中随机地取出 3 个小球.其中取到黑球的个数为 ? ,则 E? ? (结果用最简分 7 数作答). 9、 (徐汇、松江、金山区 2015 届高三二模)某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体 800 名 学 生 中 抽 取 50 名 学 生 进 行 体 能 测 试 . 现 将 800 名 学 生 从 1 到 800 进 行 编 号 , 求 得 间 隔 数

k?

800 ? 16 .若从 1 ~ 16 中随机抽取 1 个数的结果是抽到了 7 ,则在编号为 33 ~ 48 的这 16 个学 50

生中抽取的一名学生其编号应该是 10、(徐汇、松江、金山区 2015 届高三二模)甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概 率分别是 0.6 和 0.7,且射击结果相互独立,则甲、乙至多一人击中目标的概率为 . 11、(长宁、嘉定区 2015 届高三二模)随机变量 ? 的分布律如下表所示,其中 a , b , c 成等差数 列,若 E? ?

1 ,则 D? 的值是___________. 3
1

x
P (? ? x)

?1

0 b

1

a

c

12、(奉贤区 2015 届高三上期末)某工厂生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的产品,产品数量之比依 次为 2 : 3 : 5 ,现用分层抽样的方法抽出一个容量为 n 的样本,其中 A 种型号产品有 16 件,那么此样 本的容量 n ? 13、(奉贤区 2015 届高三上期末)盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字 1 、 2 、 3 、 4 的 四个小球,从盒子里随机摸出两个小球,那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为 5 ”的概率是 14、(嘉定区 2015 届高三上期末)为了解 300 名学生的视力情况,采用系统抽样的方法从中抽取容 量为 20 的样本,则分段的间隔为_____________ 15、(静安区 2015 届高三上期末)两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛,每两 名参赛选手之间都比赛一次,胜者得 1 分,和棋各得 0.5 分,输者得 0 分,即每场比赛双方的得分 之和是 1 分.两名高一年级的学生共得 8 分, 且每名高二年级的学生都得相同分数, 则有 名 高二年级的学生参加比赛.(结果用数值作答) 16、 (上海市八校 2015 届高三 3 月联考)某县共有 300 个村,按人均年可支配金额的多少分为三类, 其中一类村有 60 个,二类村有 100 个。为了调查农民的生活状况,要抽出部分村作为样本。现用分 层抽样的方法在一类村中抽出 3 个,则二类村、三类村共抽取的村数为 ; 17、(上海市十三校2015届高三第二次(3月)联考)设口袋中有黑球、白球共7 个,从中任取两个 球,令取到白球的个数为 ,且 的数学期望 ,则口袋中白球的个数为__________.

18、(黄浦区 2015 届高三 4 月模拟考试(二模)数)一个不透明的袋子里装有外形和质地完全一样 的 5 个白球,3 个红球,2 个黄球,将它们充分混合后,摸得一个白球计 2 分,摸得一个红球记 3 分, 摸得一个黄球计 4 分,若用随机变量 ? 表示随机摸一个球的得分,则随机变量 ? 的数学期望 E? 的 值是 分. 19、(嘉定区 2015 届高三上期末)甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益 活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是_________ 20、 (金山区 2015 届高三上期末) 从一堆苹果中任取 5 只, 称得它们的质量分别是: (单位: 克)125, 124,121,123,127,则该样本的标准差是 ▲ 克.

2

二、解答题 1、(徐汇、松江、金山区 2015 届高三二模)一个随机变量 ? 的概率分布律如下:

? P

x1
cos2A

x2
sin(B+C)

其中 A, B, C 为锐角三角形 .....ABC 的三个内角. (1)求 A 的值; (2)若 x1 ? cos B , x2 ? sin C ,求数学期望 E? 的取值范围.

2、一位网民在网上光顾某淘宝小店,经过一番浏览后,对该店铺中的 A, B, C , D, E 五种商品有购买 意向.已知该网民购买 A, B 两种商品的概率均为 品的概率为

3 2 ,购买 C , D 两种商品的概率均为 ,购买 E 种商 4 3

1 .假设该网民是否购买这五种商品相互独立. 2

(1)求该网民至少购买 4 种商品的概率; (2)用随机变量 h 表示该网民购买商品的种数,求 h 的概率分布和数学期望.

3、某校现有 8 门选修课程,其中 4 门人文社会类课程,4 门自然科学类课程,学校要求学生在高中 3 年内从中任选 3 门课程选修,假设学生选修每门课程的机会均等. (1)求某同学至少选修 1 门自然科学类课程的概率; (2)已知某同学所选修的 3 门课程中有 1 门人文社会类课程,2 门自然科学类课程,若该同学通 过人文社会类课程的概率都是

4 3 , 自然科学类课程的概率都是 , 且各门课程通过与否相互 5 4

独立. 用 ? 表示该同学所选的 3 门课程通过的门数, 求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望.

4、某公司有 10 万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一年后可能获利 10%, 可能损失 10%,可能不陪不赚,这三种情况发生的概率分别为 , , ;如果投资乙项目,一年后可 能获利 20%,可能损失 20%,这两种情况发生的概率分别为α 和β (α +β =1). (1)如果把 10 万元投资甲项目,用 X 表示投资收益(收益=回收资金-投资资金),求 X 的概率分 布列及数学期望 E(X). (2)若 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求α 的取值范围.

1 1 1 2 4 4

3

5、某校为了响应《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精神,落实“生命 —和谐”教育理念和阳光体育行动的现代健康理念,学校特组织“踢毽球”大赛,某班为了选出一 人参加比赛,对班上甲乙两位同学进行了 8 次测试,且每次测试之间是相互独立.成绩如下: (单位: 个/分钟) 甲 乙 80 82 81 93 93 70 72 84 88 77 75 87 83 78 84 85

(1)用茎叶图表示这两组数据 (2)从统计学的角度考虑,你认为选派那位学生参加比赛合适,请说明理由? (3)若将频率视为概率,对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测,记这三次成绩高于 79 个/ 分钟的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? . (参考数据: 2 ? 1 ? 11 ? 10 ? 6 ? 7 ? 1 ? 2 ? 316 , 0 ? 11 ? 12 ? 2 ? 5 ? 5 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

42 ? 32 ? 344 )

参考答案 一、填空、选择题 1、 解:赌金的分布列为 1 P

2

3

4

5

所以 Eξ 1= (1+2+3+4+5)=3, 奖金的分布列为 1.4 P = 2.8 = 4.2 = 5.6 =

所以 Eξ 2=1.4×( ×1+

×2+ ×3+

×4)=2.8,

则 Eξ 1﹣Eξ 2=3﹣2.8=0.2 元. 故答案为:0.2 2、【解析】: P ?

8 1 ? 3 C10 15

3、【解析】:设得 i 分的概率为 pi ,∴ p1 ? 2 p2 ? 3 p3 ? 4 p4 ? 5 p5 ? 4.2 , 且 p1 ? p2 ? p3 ? p4 ? p5 ? 1 ,∴ 4 p1 ? 4 p2 ? 4 p3 ? 4 p4 ? 4 p5 ? 4 ,与前式相减得:

?3 p1 ? 2 p2 ? p3 ? p5 ? 0.2 ,∵ pi ? 0 ,∴ ?3 p1 ? 2 p2 ? p3 ? p5 ? p5 ,即 p5 ? 0.2

4

4、【解答】9 个数 5 个奇数,4 个偶数,根据题意所求概率为 1 ?

C52 13 ? C92 18
11、

5、 12.8

6、

1 10

7、

2 3

8、

6 7

9、39

10、 0.58

5 9

12、80 16、12

13、 17、3

1 3

14、15 18、27 19、

2 15、 nk ? 8 ? Cn ? 2 .7 或者 14;

3 4

20、2

二、解答题

1、解:(1)由题 cos 2 A ? sin ? B ? C ? ? 1,??????..2’
2 则 1 ? 2sin A ? sin A ? 1 ? sin A ?

1 ? sin A ? 0舍 ? ??????..4’ 2

又 A 为锐角,得 A ? (2)由 A ? 得B?C ?

?
6

??????..6’

?
6

5? 1 1 ,则 cos 2 A= sin ? B ? C ? ? ,即 P ?? ? x1 ? ? P ?? ? x2 ? ? ????..8’ 6 2 2

1 1 ? E? ? cos B ? sin C ??????..9’ 2 2 1 3 3 ? 5? ? 1 ? cos ? ? C ? ? sin C ? sin C ? cos C 2 4 4 ? 6 ? 2
3 ? ?? sin ? C ? ? , ??????..11’ 2 6? ? ? ? ?? C ? ? 0, ? ? ? ?? ? ? ? ? 2? ?? ? ? 由 ?ABC 为锐角三角形,得 ? ? C ?? , ? ? C ? ?? , ? 6 ?6 3? ?3 2? ? B ? 5? ? C ? ? 0, ? ? ? ? ? 6 ? 2? ? ?
则 sin ? C ? 得 E? ? ?

? ?

? ? ?1

3? , ?, ??? ? 6? ?2 2 ? ?

? 3 3? ? 4 ,4? ? ??????..14’ ? ?

3 3 2 2 1 1 2、解:(1)记“该网民购买 i 种商品”为事件 Ai , i ? 4,5 ,则: P( A5 ) ? ? ? ? ? ? , 4 4 3 3 2 8

5

3 3 2 2 1 3 2 2 1 2 3 3 1 1 1 3 1 2 P( A4 ) ? ? ? ? ? (1 ? ) ? C2 ? (1 ? ) ? ? ? ? C2 ? (1 ? ) ? ? ? ? ,?????2 分 4 4 3 3 2 4 4 3 3 2 3 3 4 4 2 3 1 1 11 所以该网民至少购买 4 种商品的概率为 P( A5 ) ? P( A4 ) ? ? ? . 8 3 24

11 . 24 (2)随机变量 h 的可能取值为 0,1, 2,3, 4,5 ,
答:该网民至少购买 4 种商品的概率为

?????????3 分

3 3 2 2 1 1 , P(h ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 288 3 2 2 1 2 3 3 1 1 3 1 2 P(h ? 1) ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 3 3 4 4 2 1 3 3 2 2 11 , ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 4 3 3 288 3 3 2 2 1 2 2 3 3 1 P(h ? 2) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 3 3 4 4 2 2 2 3 3 1 3 2 2 1 1 1 3 C2 (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3 4 4 2 4 4 3 3 2 3 2 1 47 1 3 1 2 , ?C2 ? (1 ? ) ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 288 P(h ? 3) ? 1 ? P(h ? 0,1,2,4,5) ? 1 ? 1 P(h ? 4) ? P( A4 ) ? , 3 1 P(h ? 5) ? P( A5 ) ? . 8 所以:随机变量 h 的概率分布为:
?????????8 分

1 11 47 1 1 97 , ? ? ? ? ? 288 288 288 3 8 288

h
P
故 Eh ? 0 ?

0

1 288

1 11 288

2

47 288

3 97 288

4 1 3

5 1 8

1 11 47 97 1 1 10 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? .?????????10 分 288 288 288 288 3 8 3 3、(1) 记“某同学至少选修 1 门自然科学课程”为事件 A,
3 C4 1 13 则 P(A)=1 ? 3 ? 1 ? ? ,?????????????????????2 分 C8 14 14

所以该同学至少选修 1 门自然科学课程的概率为

13 .???????????3 分 14

(2)随机变量 ? 的所有可能取值有 0,1, 2,3 .?????????????????4 分 因为 P(? =0)= ? ? ? =

1 ?1? 5 ?4?

2

1 4 ?1? 1 1 3 1 1 , P(? =1)= ? ? ? + ? C2 ? ? ? , 80 5 ?4? 5 4 4 8

2

6

4 1 3 1 ? 3 ? 33 4 ? 3? 9 1 ,????8 分 P(? =2)= ? C2 ? ? + ? ? ? = , P(? =3)= ? ? ? ? 5 4 4 5 ? 4 ? 80 5 ? 4 ? 20
所以 ? 的分布列为

2

2

?
P

0

1
1 8

2

3

33 9 80 20 1 10 33 36 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 2.3 .????????????10 分 所以 E (? )=0 ? 80 80 80 80
4、

1 80

5、

7

8


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