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【步步高 浙江专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题二 第1讲

时间:2014-01-21


第1讲

三角函数的图象与性质

【高考考情解读】 1.对三角函数的图象和性质的考查中,以图象的变换,函数的单调性、 奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容,并且往往与三角变换公式相互联系,有时 也与平面向量, 解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、 填空题来呈现, 如果设置解答题一般与三角变换、 解三角形、 平面向

量等知识进行综合考查, 题目难度为中、 低档.

1. 三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin α=y,cos α=x, y tan α= .各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. x sin α (2)同角关系:sin2α+cos2α=1, =tan α. cos α kπ (3)诱导公式:在 +α,k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”. 2 2. 三角函数的图象及常用性质 函数 图象 π π + 2kπ , + 2 2 y=sin x y=cos x y=tan x

在[- 单调性

2kπ](k∈Z) 上单调递增; π 3π 在 [ + 2kπ , + 2 2 2kπ](k∈Z)上单调递减 对称中心: (kπ, 0)(k∈Z);

在 [ - π+ 2kπ , 2kπ](k∈Z) 上单 调递增; 在[2kπ, π+2kπ](k∈Z) 上单调递减

π π 在 ( - + kπ , + 2 2 kπ)(k∈Z) 上 单 调 递增 kπ , 2

对称性

π 对称轴:x= +kπ(k∈Z) 2

π 对称中心:( +kπ,0)(k∈Z); 2 对称轴:x=kπ(k∈Z)

对称中心: ( 0)(k∈Z)

3. 三角函数的两种常见变换

考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题 例1 (1)如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐 标系,设秒针针尖位置 P(x,y).若初始位置为 P0? 针 从 P0(此时 t=0)正常开始走时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函 数关系为 π π? A.y=sin? ?30t+6? π π? C.y=sin? ?-30t+6? π π? B.y=sin? ?-60t-6? π π? D.y=sin? ?-30t-3? ( ) ( ) 3 1? ,当秒 ? 2 ,2?

3π 3π? (2)已知点 P? ?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为 π A. 4 3π B. 4 5π C. 4 7π D. 4

弄清三角函数的概念是解答本题的关键.

答案 解析

(1)C (2)D π (1)由三角函数的定义可知, 初始位置点 P0 的弧度为 , 由于秒针每秒转过的弧度 6

π 为- ,针尖位置 P 到坐标原点的距离为 1,故点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系可 30 π π? 能为 y=sin? ?-30t+6?. 3 π cos π -cos 4 4 (2)tan θ= = =-1, 3 π sin π sin 4 4 又 sin 3π 3π >0,cos <0, 4 4

7π 所以 θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π),所以 θ= . 4 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助 三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的 位置无关. (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化 简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等. 3 1 ? (1)已知 α∈(-π,0),tan(3π+α)= ,则 cos? ?2π+α?的值为 3 A. 10 10 B.- 10 10 ( )

3 10 C. 10 答案 B

3 10 D.- 10

1 解析 由 tan(3π+α)= , 3 3 1 ? ?π ? 得 tan α= ,cos? ?2π+α?=cos?2-α?=sin α. 3 ∵α∈(-π,0),∴sin α=- 10 . 10

(2)如图,以 Ox 为始边作角 α(0<α<π),终边与单位圆相交于点 P, 3 4? 已知点 P 的坐标为? ?-5,5?. 求 解 sin 2α+cos 2α+1 的值. 1+tan α 由三角函数定义,

3 4 得 cos α=- ,sin α= , 5 5

2sin αcos α+2cos2α 2cos α?sin α+cos α? ∴原式= = sin α sin α+cos α 1+ cos α cos α 3?2 18 =2cos2α=2×? ?-5? =25. 考点二 三角函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及解析式 例2 π 函数 f(x)=sin(ωx+φ)(其中|φ|< )的图象如图所示,为了得到 2 g(x)=sin ωx 的图象,则只要将 f(x)的图象 π A.向右平移 个单位 6 π B.向右平移 个单位 12 π C.向左平移 个单位 6 π D.向左平移 个单位 12 答案 A T 7π π π 解析 由图象可知, = - = , 4 12 3 4 2π π ∴T=π,∴ω= =2,再由 2× +φ=π, π 3 π? π 得 φ= ,所以 f(x)=sin? ?2x+3?. 3 π π x+ ?向右平移 个单位, 故只需将 f(x)=sin 2? 6 ? ? 6 就可得到 g(x)=sin 2x. (1)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数 法,由图中的最高点、最低点或特殊点求 A;由函数的周期确定 ω;确定 φ 常根据“五 点法”中的五个点求解, 其中一般把第一个零点作为突破口, 可以从图象的升降找准第 一个零点的位置. (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中 的自变量 x 而言的,如果 x 的系数不是 1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长 度和方向. π π (1)(2013· 四川)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的部 2 2 分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是 π A.2,- 3 π B.2,- 6 ( ) ( )

π C.4,- 6 答案 A

π D.4, 3

π 3 5π - ?,T=π,∴ω=2, 解析 ∵ T= -? 4 12 ? 3? 5π π π 又 2× +φ=2kπ+ ,k∈Z,∴φ=2kπ- , 12 2 3 π π? π 又 φ∈? ?-2,2?,∴φ=-3,选 A. (2)(2012· 浙江)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

答案 A 解析 利用三角函数的图象与变换求解. y=cos 2x+1 y=cos x+1
横坐标伸长2倍 纵坐标不变

― ― →

向左平移1个单位长度

― ― →

y=cos(x+1)+1 y=cos(x+1).

向下平移1个单位长度

― ― →

结合选项可知应选 A. (3)已知函数 f(x)= 3sin 2x-2sin2x+2,x∈R. ①求函数 f(x)的最大值及对应的 x 的取值集合; ②画出函数 y=f(x)在[0,π]上的图象.



π? ①f(x)= 3sin 2x+cos 2x+1=2sin? ?2x+6?+1,

π π 当 2x+ =2kπ+ (k∈Z)时,f(x)取最大值 3, 6 2 π 此时 x 的取值集合为{x|x=kπ+ ,k∈Z}. 6 ②列表如下: x π 2x+ 6 y 图象如下: 0 π 6 2 π 6 π 2 3 5π 12 π 1 2π 3 3π 2 -1 11π 12 2π 1 π 13π 6 2

考点三 三角函数的性质 例3 ?sin x-cos x?sin 2x (2012· 北京)已知函数 f(x)= . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 先化简函数解析式,再求函数的性质. 解 (1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z),

故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 π 2x- ?-1, = 2sin? 4? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 (2)函数 y=sin x 的单调递增区间为

?2kπ-π,2kπ+π?(k∈Z). 2 2? ?

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 π 3π? ? ? 所以 f(x)的单调递增区间为? ?kπ-8,kπ?和?kπ,kπ+ 8 ?(k∈Z). 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式; 第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y=Asin(ωx+φ)+B 的单调 性及奇偶性、最值、对称性等问题. (1)已知函数 f(x)=sin x+cos x,g(x)=sin x-cos x,有下列四个命题: π ①将 f(x)的图象向右平移 个单位可得到 g(x)的图象; 2 ②y=f(x)g(x)是偶函数; π π? ③f(x)与 g(x)均在区间? ?-4,4?上单调递增; f?x? ④y= 的最小正周期为 2π. g?x? 其中真命题的个数是 A.1 答案 C 解析 π f(x)= 2sin(x+ ), 4 B.2 C.3 D.4 ( )

π g(x)=sin x-cos x= 2sin(x- ),显然①正确; 4 函数 y=f(x)g(x)=sin2x-cos2x=-cos 2x, 其为偶函数,故②正确; π π π π π π 由 0≤x+ ≤ 及- ≤x- ≤0 都可得- ≤x≤ , 4 2 2 4 4 4 π π π π 所以由图象可判断函数 f(x)= 2sin(x+ )和函数 g(x)= 2sin(x- )在[- , ]上都为增 4 4 4 4 函数,故③正确; f?x? sin x+cos x 1+tan x π 函数 y= = = =-tan(x+ ),由周期性定义可判断其周期为 π, 4 g?x? sin x-cos x tan x-1 故④不正确. π? (2)(2013· 安徽)已知函数 f(x)=4cos ωx· sin? ?ωx+4?(ω>0)的最小正周期为 π. ①求 ω 的值;

π? ②讨论 f(x)在区间? ?0,2?上的单调性. 解 π? ①f(x)=4cos ωx· sin? ?ωx+4?

=2 2sin ωx· cos ωx+2 2cos2ωx = 2(sin 2ωx+cos 2ωx)+ 2 π? =2sin? ?2ωx+4?+ 2. 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0. 从而有 2π =π,故 ω=1. 2ω

π? ②由①知,f(x)=2sin? ?2x+4?+ 2. π 若 0≤x≤ , 2 π π 5π 则 ≤2x+ ≤ . 4 4 4 π π π 当 ≤2x+ ≤ , 4 4 2 π 即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 8 π π 5π 当 ≤2x+ ≤ , 2 4 4 π π 即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 8 2 π? 综上可知,f(x)在区间? ?0,8?上单调递增, π π? 在区间? ?8,2?上单调递减.

1.求函数 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ),或 y=Atan(ωx+φ))的单调区间 (1)将 ω 化为正. (2)将 ωx+φ 看成一个整体,由三角函数的单调性求解. 2. 已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式 ymax-ymin ymax+ymin (1)A= ,B= . 2 2 2π (2)由函数的周期 T 求 ω,ω= . T (3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求 φ.

3. 函数 y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点. 4. 求三角函数式最值的方法 (1)将三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,进而结合三角函数的性质求解. (2)将三角函数式化为关于 sin x,cos x 的二次函数的形式,进而借助二次函数的性质求 解. 5. 特别提醒: 进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.

1. 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成函数”.给出 下列函数: ①f(x)=sin x-cos x;②f(x)= 2(sin x+cos x); ③f(x)= 2sin x+2;④f(x)=sin x. 则其中属于“互为生成函数”的是 A.①② 答案 B 2. 已知函数 f(x)=sin ωx· cos ωx+ 3cos2ωx- π 任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为 . 4 (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来 8 的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间[0, π ]上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 2 解 1+cos 2ωx 1 3 (1)f(x)= sin 2ωx+ 3× - 2 2 2 3 (ω>0),直线 x=x1,x=x2 是 y=f(x)图象的 2 B.①③ C.③④ D.②④ ( )

1 3 π = sin 2ωx+ cos 2ωx=sin(2ωx+ ), 2 2 3 π π 由题意知,最小正周期 T=2× = , 4 2 2π π π T= = = ,所以 ω=2, 2ω ω 2 π? ∴f(x)=sin? ?4x+3?.

π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位后, 8 π 得到 y=sin(4x- )的图象, 6 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, π 纵坐标不变,得到 y=sin(2x- )的图象. 6 π 所以 g(x)=sin(2x- ). 6 π π π 5π 令 2x- =t,∵0≤x≤ ,∴- ≤t≤ . 6 2 6 6 π g(x)+k=0 在区间[0, ]上有且只有一个实数解, 2 π 5π 即函数 g(t)=sin t 与 y=-k 在区间[- , ]上有且只有一个交点. 6 6 如图,

1 1 由正弦函数的图象可知- ≤-k< 或-k=1. 2 2 1 1 ∴- <k≤ 或 k=-1. 2 2

(推荐时间:60 分钟) 一、选择题 2π 1. 点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标 3 为 1 3 A.?- , ? ? 2 2? 1 3 C.?- ,- ? 2? ? 2 答案 A 解析 记 α=∠POQ,由三角函数的定义可知, B.?- ( )

?

3 1? ,- 2 2? 3 1? , 2 2?

D.?-

?

Q 点的坐标(x,y)满足 x=cos α=cos y=sin α=sin 2π 3 = . 3 2

2π 1 =- , 3 2

2. 已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- 5 3 B.- 5 9

3 ,则 cos 2α 等于 3 5 9 D. 5 3

(

)

C.

答案 A 解析 因为 sin α+cos α= 3 , 3

1 2 两边平方得 1+2sin αcos α= ,所以 sin 2α=- . 3 3 π? 3 由于 sin α+cos α= 2sin? ?α+4?= 3 >0, 且 α 为第二象限角, π 3π 所以 2kπ+ <α<2kπ+ ,k∈Z, 2 4 3π 所以 4kπ+π<2α<4kπ+ ,k∈Z, 2 所以 cos 2α=- 1-sin22α=- 4 5 1- =- . 9 3

π? π 3. 将函数 y=cos? 再向左平移 ?x-3?的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 6 个单位,所得函数图象的一条对称轴是 π π A.x= B.x= 4 6 π C.x=π D.x= 2 答案 D π? 横坐标伸长到原来的2倍 解析 y=cos? ― ― ― ― ― ― ― ― → 纵坐标不变 ?x-3?― 1 π? y=cos? ?2x-3? π? π? 1 ?1 π? y=cos?2? ?x+6?-3 ,即 y=cos?2x-4?. ( )

?

?

1 π π? π 因为当 x= 时,y=cos? ?2×2-4?=1, 2 π 所以对称轴可以是 x= . 2

π 4. 若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象如图所 2 → → 示,M,N 分别是这段图象的最高点与最低点,且OM· ON=0,则 A· ω 等于 π A. 6 答案 C T π π 解析 由题中图象知 = - , 4 3 12 所以 T=π,所以 ω=2. π ? ?7π ? 则 M? ?12,A?,N?12,-A? 7π2 → → 由OM· ON=0,得 2=A2, 12 所以 A= 7π 7π ,所以 A· ω= . 12 6 B. 7π 12 C. 7π 6 D. 7π 3 ( )

π? π 5. 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0)的图象关于直线 x= 对称,且 f? ?12?=0,则 ω 的最小 3 值为 A.2 答案 A π? π ?π ? 解析 由 f? ?12?=0 知?12,0?是 f(x)图象的一个对称中心,又 x=3是一条对称轴,所以 ω>0 ? ? 应有?2π ?π π ? , ? ? ω ≤4?3-12? 解得 ω≥2,即 ω 的最小值为 2,故选 A. 6. (2013· 江西)如图,已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t =0 时与 l2 相切于点 A,圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动,圆 被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x, 令 y=cos x, 则 y 与时间 t(0≤t≤1, 单位:s)的函数 y=f(t)的图象大致为 ( ) B.4 C.6 D.8 ( )

答案 B 解析 方法一 (排除法)

当 t=0 时,y=cos 0=1,否定 A、D. 1 2 当 t= 时,l2 上方弧长为 π. 2 3 2 1 y=cos π=- . 3 2 ∴否定 C,只能选 B. 方法二 (直接法) 由题意知∠AOB=x,OH=1-t, x OH cos∠AOH=cos = =1-t, 2 OA x ∴y=cos x=2cos2 -1 2 =2(1-t)2-1(0≤t≤1). ∴选 B. 二、填空题 7. 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 2 5 sin θ=- ,则 y=________. 5 答案 -8 解析 因为 sin θ= y 2 5 2=- 5 , 4 +y
2

所以 y<0,且 y2=64,所以 y=-8. 8. 函数 f(x)=sin πx+cos πx+|sin πx-cos πx|对任意的 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则 |x2-x1|的最小值为________. 答案 3 4

解析 依题意得,当 sin πx-cos πx≥0, 即 sin πx≥cos πx 时,f(x)=2sin πx; 当 sin πx-cos πx<0,

即 sin πx<cos πx 时,f(x)=2cos πx. 令 f(x1)、f(x2)分别是函数 f(x)的最小值与最大值, 3 结合函数 y=f(x)的图象可知,|x2-x1|的最小值是 . 4 π? π 9 . 已知 f(x)= 2sin? ?2x-6? - m 在 x∈[0 ,2 ]上有两个不同的零点,则 m 的取值范围为 ________. 答案 [1,2)

π π 2x- ?-m 在 x∈[0, ]上有两个不同的零 解析 函数 f(x)=2sin? 6 ? ? 2 π π 2x- ?在区间[0, ]上有两解. 点,等价于方程 m=2sin? 6? ? 2 π ? 作出如图的图象,由于右端点的坐标是? ?2,1?,由图可知, m∈[1,2). 10.关于函数 f(x)=sin 2x-cos 2x 有下列命题: π ? π ①y=f(x)的周期为 π;②x= 是 y=f(x)的一条对称轴;③? ?8,0?是 y=f(x)的一个对称中 4 π 心;④将 y=f(x)的图象向左平移 个单位,可得到 y= 2sin 2x 的图象,其中正确命题 4 的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上). 答案 ①③ π? 解析 由 f(x)=sin 2x-cos 2x= 2sin? ?2x-4?, 2π 得 T= =π,故①对; 2 π? π f? ?4?= 2sin 4≠± 2,故②错; π? f? ?8?= 2sin 0=0,故③对; π y=f(x)的图象向左平移 个单位, 4 π π π? ? x+ ? ? 得 y= 2sin?2? ? ? 4?-4?= 2sin?2x+4?, 故④错.故填①③. 三、解答题 11.(2013· 山东)设函数 f(x)= 3 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且 y=f(x)图象的一个对称 2

π 中心到最近的对称轴的距离为 . 4

(1)求 ω 的值; 3π? (2)求 f(x)在区间? ?π, 2 ?上的最大值和最小值. 解 = = (1)f(x)= 3 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx 2

1-cos 2ωx 1 3 - 3× - sin 2ωx 2 2 2 3 1 cos 2ωx- sin 2ωx 2 2

π 2ωx- ?. =-sin? 3? ? 2π π 依题意知 =4× ,ω>0,所以 ω=1. 2ω 4 π? (2)由(1)知 f(x)=-sin? ?2x-3?. 3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 所以- π? 3 ≤sin? ?2x-3?≤1. 2 3 . 2

所以-1≤f(x)≤

3π? 3 故 f(x)在区间? ?π, 2 ?上的最大值和最小值分别为 2 ,-1. π? 12.(2012· 湖南)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?x∈R,ω>0,0<φ<2?的部分图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; π π x- ?-f?x+ ?的单调递增区间. (2)求函数 g(x)=f? 12 12 ? ? ? ? 解 11π 5π? (1)由题设图象知,周期 T=2? ? 12 -12?=π,

2π 所以 ω= =2. T 5π ? 因为点? ?12,0?在函数图象上, 5π 2× +φ?=0, 所以 Asin? ? 12 ?

5π ? 即 sin? ? 6 +φ?=0. π 5π 5π 4π 又因为 0<φ< ,所以 < +φ< . 2 6 6 3 5π π 从而 +φ=π,即 φ= . 6 6 π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin =1,解得 A=2. 6 π? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin? ?2x+6?. π π ? ?x+ π ? π? x- ? ? (2)g(x)=2sin?2? ? ? 12?+6?-2sin?2? 12?+6? π? =2sin 2x-2sin? ?2x+3? 1 3 =2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2x? 2 2 ? ? π 2x- ?. =sin 2x- 3cos 2x=2sin? 3? ? π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π 5π? 所以函数 g(x)的单调递增区间是? ?kπ-12,kπ+12?,k∈Z.


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