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2.5.2 数列求和


课时训练 14 数列求和
一、分组求和
1.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+a10=( A.15 B.12 C.-12
n *

)

D.-15 )
(-1) n+1 +2 -1 2

2.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=a

n+n+2 (n∈N ),则 an 为( A.
(-1) n-1 +2 -1 2

B.

(-1) n +2 -1 2

C.

(+1) n+1 +2 -1 2

D.

3.已知数列{an}为等差数列,a5=5,d=1;数列{bn}为等比数列,b4=16,q=2. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

二、裂项相消法求和
4.数列{an}的通项公式 an=1+2+3+…+,则其前 n 项和 Sn=( A.
2 +1 1 1 1 1

)

B.

+1 2

C.

(+1) 2

D. .

2 ++2 +1

5.1×3 + 3×5 + 5×7+…+

1 = (2-1)(2+1)

6.等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn.等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,且 b2+S2=12,a3=b3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)求数列 的前 n 项和 Tn.
1

三、错位相减法求和
7.数列 ,
2 4 6 2 , ,…, ,…前 n 项的和为 2 22 23 2

.

8.设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.




(建议用时:30 分钟)
1.数列{an}的通项公式是 an= A.11 B.99
1 ,若前 n 项和为 10,则项数为( + +1

)

C.120

D.121 )

2.已知数列{an}的通项公式 an= A.13 A.1 006 B.10 B.2 012

2 -1 321 ,其前 n 项和 Sn= ,则项数 n 等于( 64 2

C.9 C.503
n

D.6 ) ) D.0

3.数列{an}的通项公式

π an=ncos 2 ,其前

n 项和为 Sn,则 S2 012 等于(

2 2 2 4.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -1,则1 + 2 +…+ 等于(

A.(2n-1)2
1 1 2 3

B. (2n-1)
2 1 3 4 2 4

1 3

C.4n-1
3 1 4 5 2 5 3 5 4 5

D. (4n-1)
1 +1

1 3

5.已知数列{an}: , + , + + , + + + ,…,那么数列{bn}= A.4 1- +1
1

前 n 项的和为(

)

B.4 2 - +1

1

1

C.1-+1

1

D.2 ? +1 .
1 +1

1

1

6.如果 lg x+lg x2+lg x10=110,那么 lg x+lg2x+…+lg10x=

7.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81.若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列 为 . .

的前 2 013 项的和

8.已知等比数列{an}的各项都为正数,且当 n≥3 时,a4· a2n-4=102n,则数列 lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg an 的前 n 项和 Sn 等于
2 9.正项数列{an}满足: -(2n-1)an-2n=0.

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn=(+1) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.


1

10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N*. (1)求 an,bn; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.

题组练: 1.A 2.B 3.解:(1) an=1+(n-1)×1=n. bn=2×2n-1=2n. (2)Tn=
2+1 2 + n+1 +2 -2. 2

4.A 5.

6 解:(1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q, + 3 + 3 + = 12, = 3, 又 q>0,∴ = 3, 2 = 3 + 2,

由已知可得

∴an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.
(2)由(1)知数列{an}中,a1=3,an=3n,
(3+3) 1 ,∴ 2 2 1 2 2 1 1

∴Sn=

= (3+3) = 3 - +1 ,
1 1 2 1 2

∴Tn=3 1- 2 + 2 - 3 + … + - +1 =3 1- +1 = 3(+1).
7.4+2 2
-1

1 1

8.解:(1)由题意有,

101 + 45 = 100, 1 = 2,
1

= 9 (2 + 79), 1 = 9, = 2-1, 2 + 9 = 20, = 1, 即 1 解得 1 或 故 或 2 1 = 2, = 2, 2 -1 = . = 2 -1 , 9 = 9· 9 . (2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn= 于是 Tn=1+ +
1 1 3 T= + 2 n 2 22 3 2 5 2
2

2-1 2-1

,

+
7 24 1

7 2
3

+
9 25

+…+ -1 , 24
2

9

2-1

① ②

+

5 23

+

+

+…+

2-1 . 2

①-②可得2Tn=2+2 +
限时达标练: 1.C 2.D

1

+…+ -2 22
2

1

1

?

2-1 2+3 =3- ,故 2 2

Tn=6-

2+3 2-1

.

答案:A 4.D 5.A 6.2 046

7.

2 013 2 014

8.1+(n-1)· 2n

2 9.解:(1)由 -(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.

由于{an}是正项数列,所以 an=2n. (2)由 an=2n,bn=(+1) ,


1

则 bn=2(+1) = 2 - +1 ,
1 1 1 1 1 1

1

1 1

1

Tn=2 1- 2 + 2 ? 3+…+ ? + ? +1 = 2 1- +1 = 2(+1). -1 10.解:(1)由 Sn=2n2+n,得当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1. 当 n=1 时,4×1-1=3.

1

1

1

1

所以 an=4n-1,n∈N*. 由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2n-1,n∈N*. (2)由(1)知 anbn=(4n-1)· 2n-1,n∈N*. 所以 Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)· 2n-1, 2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)· 2n-1+(4n-1)· 2n, 所以 2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5. 故 Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.


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