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函数零点易错点分析

时间:2010-02-09


让函数零点的错误不再现
山东省定陶县第一中学 (274100) 曹广朋 函数的零点是函数图象的一个重要的特征,同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法 等内容,在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用,因此要重视对函数零点的学 习.下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析,希望对大家有所帮助. 1. 因"望文生义"而致误 例1.函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 的零点是 A. ?1,0? B. ?2,0? C. ?1,0? , ?2,0? ( ) D.1,2

错解:C 错解剖析: 错误的原因是没有理解零点的概念, "望文生义", 认为零点就是一个点. 而 函数的零点是一个实数, 即使 f ?x ? ? 0 成立的实数 x , 也是函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴 交点的横坐标. 正解:由 f ?x? ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 得, x =1和2,所以选D. 点拨:求函数的零点有两个方法,⑴代数法:求方程 f ?x ? ? 0 的实数根,⑵几何法:由 公式不能直接求得, 可以将它与函数的图象联系起来, 函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 即使所求. 2. 因函数的图象不连续而致误 例2.函数 f ? x ? ? x ? A.0 B.1

1 的零点个数为 x
C.2 D.3





错解:因为 f (?1) ? ?2 , f ?1? ? 2 ,所以 f ?? 1? f ?1? ? 0 ,函数 y ? f ?x ? 有一个零点, 选B. 错解剖析:分析函数的有关问题首先考虑定义域,其次考虑函数 f ? x ? ? x ? 不是连续的,这里的函数图像是不连续的,所以不能用零点判定定理. 正解: 函数的定义域为 ?? ?,0? ? ?0,??? , x ? 0 时, f ?x ? ? 0 , x ? 0 时, f ?x ? ? 0 当 当 所以函数没有零点.也可由 x ?

1 的图象是 x

1 ? 0 得 x 2 ? 1 ? 0 方程无实数解. x

点拨:对函数零点个数的判定,可以利用零点存在性定理来判定,涉及多个零点的往往 借助于函数的单调性.若函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续曲线,并且在区间 端点的函数值符号相反,即 f ?a ? f ?b? ? 0 ,则在区间 ?a, b ? 内,函数 f ?x ? 至少有一个零 点,即相应的方程 f ?x ? ? 0 在区间 ?a, b ? 至少有一个实数解.然而对于函数的 f ?x ? ,若 满足 f ?a ? f ?b? ? 0 ,则 f ?x ? 在区间 ?a, b? 内不一定有零点;反之, f ?x ? 在区间 ?a, b? 内

有零点也不一定有 f ?a ? f ?b? ? 0 .前者是因为图象不连续,后者是因为方程有重根.如 下图所示:
y x a O b
-1

y O
1

x

3. 因函数值同号而致误 例3.判定函数 f ?x? ? 2 x ? 3 在区间 ?? 1,1? 内是否有零点. 错解: 因为 f ?? 1? ? f ?1? ? ?1 , 所以 f ?? 1? f ?1? ? 0 , 函数 f ?x? ? 2 x ? 3 在区间 ?? 1,1? k 内没有零点. 错解剖析:上述做法错误地用了函数零点判定定理,因为函数 f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的函 数图像是连续曲线,且 f ?a ? f ?b? ? 0 ,也可能在 ?a, b? 内有零点.如函数 g ?x? ? 2x ? 1 在区间 ?? 1,1?上有 g ?? 1?g ?1? ? 0 ,但在 ?? 1,1? 内有零点 x ? ?

1 . 2

正解:当 x ? ?? 1,1? 时, f ?x? ? 2x ? 3 ? ?1 ,函数 y ? f ?x ? 在 ?? 1,1? 上的图象与 x 轴 没有交点,即函数 f ?x? ? 2 x ? 3 在区间 ?? 1,1?内没有零点. 法二:由 2x ? 3 ? 0 得 x ? ?

3 ? ?? 1,1?,故函数 f ?x? ? 2x ? 3 在区间 ?? 1,1?内 2

没有零点. 点拨:对有些函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不一定变 号.如函数 y ? ( x ? 1) 有零点1, (如上图)但函数值没变号.对函数零点的判定一定
2

要抓住两点:①函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续曲线,②在区间端点的函数 值符号相反,即 f ?a ? f ?b? ? 0 . 4. 因忽略区间端点而致误 例4. 已知二次函数 f ?x? ? x ? (m ? 1) x ? 2m 在 ?0,1? 上有且只有一个零点, 求实数
2

m

的取值范围. 错解:由函数的零点的性质得 f ?0? f ?1? ? 0 ,即 2m?m ? 2? ? 0 ,解得 ? 2 ? m ? 0 . 所以实数

m 的取值范围为 ?? 2,0? .

错解剖析:错解的原因是只注意到函数零点的应用,而忽略问题的其它形式:①在 ?0,1? 上有二重根;②终点的函数值可能为0.

正 解 : ⑴ 当 方 程 x 2 ? (m ? 1) x ? 2m ? 0 在 ?0,1? 上 有 两 个 相 等 实 根 时 ,

? ? ?m ? 1? ? 8m ? 0 且 0 ?
2

m ?1 ? 1 ,此时无解. 2

⑵当方程 x 2 ? (m ? 1) x ? 2m ? 0 有两个不相等的实根时, ① 有且只有一根在 ?0,1? 上时,有 f ?0? f ?1? ? 0 ,即 2m?m ? 2? ? 0 ,解得 ? 2 ? m ? 0 ②当 f ?0? ? 0 时,

m =0, f ?x? ? x 2 ? x ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ? ?1 ,合题意.
2

③当 f ?1? ? 0 时, m ? ?2 ,方程可化为 x ? 3x ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ?4 合题意. 综上所述,实数

m 的取值范围为 ?? 2,0?.

点拨:在求参数时,要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合,进行分类 讨论使复杂的问题简单化. 本文已在《学苑新报》上发表


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