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江苏省泰州中学高三数学阶段自我测试卷

时间:2017-09-03


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江苏省泰州中学高三数学阶段自我测试卷
数学(Ⅰ)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

2012.3.10

1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ,

B ? {x | 2 ? 8} ,那么集合 ?CU A? ? B =___▲___.
x

2.我校高三(18)班共有 56 人,学生编号依次为 1,2,3,?,56,现用系统抽样的方法抽取 一个容量为 4 的样本,已知编号为 6,34,48 的同学在样本中,那么还有一位同学的编号应 为___▲___. 3.设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? a ? 2i ,若 则实数 a 的值为___▲___. 4.如图是一个算法的流程图,则最后输出的 S ? ___▲___. 5.将号码分别为 1,2,3,4 的四个小球放入一个袋中,这些小 球仅号码不同,其余完全相同,甲从袋中摸出一个小球,其 号码为 a,放回后,乙从此口袋中再摸出一个小球,其号码 为 b,则使不等式 a ? 2b ? 4 ? 0 成立的事件发生的概率等于___▲___. 6.设 ? , ? , ? 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命题: ①若 ? ? ? , l ? ? , 则l // ? ; ③若 l 上有两点到 ? 的距离相等,则 l// ? ; 其中正确命题的序号是___▲___. 7.在等比数列 {an } 中, a1 ? 4 ,公比为 q,前 n 项和为 S n ,若数列 {S n ? 2} 也是等比数列, 则 q =___▲___. 8.已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ②若 l ? ? ,l // ? , 则? ? ? ; ④若 ? ? ? , ? // ? , 则? ? ? . 开始

z2 的虚部是实部的 2 倍, z1

S ? 0, n ? 1

n ≤8
Y S ?S ?n

N 输出 S 结束

n?n?2
(第 4 题图)

?
6

) (? ? 0) 和 g ( x) ? 3cos(2 x ? ? ) 的图象完全相同,若

x ? [0, ] ,则 f ( x) 的取值范围是___▲___. 2
9.设 g ( x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 [3, 4] 上的值域为

?

[?2,5] ,则 f ( x) 在区间 [2,5] 上的值域为___▲___.
10.设 A 和 B 是抛物线 L 上的两个动点,在 A 和 B 处的抛物线切线相互垂直,已知由 A、B 及

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抛物线的顶点 P 所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线,记为 L1 .对 L1 重复以上过程,又得 一抛物线 L2 ,以此类推.设如此得到抛物线的序列为 L1 , L2 , ? , Ln ,若抛物线 L 的方程为

y 2 ? 6 x ,经专家计算得,
L1 : y 2 ? 2( x ? 1) ,

2 1 2 4 L2 : y 2 ? ( x ? 1 ? ) ? ( x ? ) , 3 3 3 3 2 1 1 2 13 L3 : y 2 ? ( x ? 1 ? ? ) ? ( x ? ) , 9 3 9 9 9 ?,
Ln : y 2 ? T 2 (x ? n ) . Sn Sn

则 2Tn ? 3Sn =___▲___. 11.已知 O 是△ABC 的外心, A(0, 0), B(2, 0), AC ? 1, ?BAC ? 若 则 ? ? ? ? ___▲___. 12.已知 A、B、C 是平面上任意三点,BC=a,CA=b,AB=c,则 y ? ▲___. 13.已知点 F 是椭圆

???? ??? ? ???? 2? , AO ? ? 且 AB ? ? AC , 3

c b ? 的最小值是___ a?b c

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,过原点的直线交椭圆于点 A、P,PF a 2 b2

垂直于 x 轴,直线 AF 交椭圆于点 B, PB ? PA ,则该椭圆的离心率 e =___▲___. 14.已知函数 f ( x) ? ? x ln x ? ax 在 (0, e) 上是增函数,函数 g ( x) ?| e ? a | ?
x

a2 .当 2

x ? [0, ln 3] 时,函数 g ( x) 的最大值 M 与最小值 m 的差为

3 ,则 a =___▲___. 2

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江苏省泰州中学高三数学阶段自我测试卷答卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1._____________ 2.____________ 3.____________ 4.____________

2012.3.10

5._____________

6._____________

7.____________

8.____________ 9.____________

10.____________

11.____________

12.____________

13.___________

14.____________

1 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. , 15.(本小题满分 14 分) 3 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, OA ⊥平面 ABCD , E 为 OA 的中 , 5 点, F 为 BC 的中点,求证: (Ⅰ)平面 BDO ⊥平面 ACO ; (Ⅱ) EF //平面 OCD .
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注意:请在给出的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效. 15.
O

E

A

D
C

B

F

16.(本小题满分 14 分) 如图,单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原点,单位圆与 y 轴的正半轴交与点 A ,

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y

? 角终边
B

A

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与钝角 ? 的终边 OB 交于点 B?x B , y B ? ,设 ?BAO ? ? . (Ⅰ)用 ? 表示 ? ; (Ⅱ)如果 sin ? ?

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4 ,求点 B?x B , y B ? 的坐标; 5

(Ⅲ)求 x B ? y B 的最小值.

注意:请在给出的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效. 16.

17.(本小题满分 14 分) 某工厂统计资料显示, 一种产品次品率 p 与日产量 x x ? N ,80 ? x ? 100 件之间的关系
*

?

?

如下表所示: 日产量 x 80 81 82 …

x



98

99

100

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次品率 p

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1 1 1 1 1 1 P( x ) … … 28 27 26 10 9 8 1 k 其中 p?x ? ? ( a 为常数) .已知生产一件正品盈利 k 元, 生产一件次品损失 元 k ( a?x 3 为给定常数).(Ⅰ)求出 a ,并将该厂的日盈利额 y (元)表示为日生产量 x (件)的函数;
(Ⅱ)为了获得最大盈利,该厂的日生产量应该定为多少件? 注意:请在给出的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效. 17.

18.(本小题满分 16 分)

3 ) 已 知 点 ( 2 , 2 在 双 曲 线 M:

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 上 , 圆 m2 n2

C :

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (a ? 0, b ? R, r ? 0) 与双曲线 M 的一条渐近线相切于点(1,2) ,且圆
C 被 x 轴截得的弦长为 4.(Ⅰ)求双曲线 M 的方程; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)过圆 C 内一 定点 Q(s,t) (不同于点 C)任作一条直线与圆 C 相交于点 A、B,以 A、B 为切点分别作圆

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C 的切线 PA、PB,求证:点 P 在定直线 l 上,并求出直线 l 的方程.

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注意:请在给出的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效. 18.

19.(本小题满分 16 分)

1 ? ln x 1 .(Ⅰ)若函数在区间 (a, a ? ) 上存在极值,其中 a ? 0 ,求实 x 2 k 数 a 的取值范围; (Ⅱ)如果当 x ? 1时,不等式 f ( x) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1
已知函数 f ( x) ? (Ⅲ)求证: 1? 22 ? 32 ????? n2 (n ? 1) ? en ?2 (n ? N *) . 注意:请在给出的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效. 19.

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20.(本小题满分 16 分) 已知数列 {a n } , {bn } 满足 bn ? a n ?1 ? a n ,其中 n ? 1, 2,3,? .(Ⅰ)若 a1 ? 1, bn ? n , 求 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 ; Ⅱ ) 若 bn ?1bn ?1 ? bn (n ? 2) , 且 b1 ? 1, b2 ? 2 . ( ⅰ ) 记 (

a cn ? a6 n?1 (n ? 1) ,求证:数列 {c n } 为等差数列; (ⅱ)若数列 { n } 中任意一项的值均未在该 n
数列中重复出现无数次. 求首项 a1 应满足的条件. 注意:请在给出的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效. 20.

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数学(Ⅱ)
21.B.选修 4-2 矩阵与变换 已知 a, b ? R ,若 M ? ?

? ?1 ?b

a? 所对应的变换 TM 把直线 3? ?

L : 2 x ? y ? 3 变换为自身,求实数 a, b ,并求 M 的逆矩阵.
21.B

C. 选修 4-4

坐标系与参数方程

1 ? ?x ? 2 t 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ? 2 3 ?y ? ? t ? 2 2 ?

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若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点, Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系, 得曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ? ) . 4 (Ⅰ)求直线 l 的倾斜角; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 | AB | . 21.C

22.某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为 P1 ?

2 ,乙的命中率为 P2 ,在射击比武活 3

动中每人射击两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一 发,则称该射击小组为“先进和谐组”.(Ⅰ)若 P2 ?

1 ,求该小组在一次检测中荣获“先进 2

和谐组”的概率; (Ⅱ)计划在 2011 年每月进行 1 次检测,设这 12 次检测中该小组获得“先进 和谐组”的次数为 ? , 如果 E? ? 5 ,求 P2 的取值范围. 22.

23.已知多项式 f (n) ? n5 ? n4 ? n3 ?

1 5

1 2

1 3

1 (Ⅱ)试探求对 n .(Ⅰ)求 f (?1) 及 f (2) 的值; 30

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一切整数 n, f (n) 是否一定是整数?并证明你的结论. 23.

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江苏省泰州中学高三数学阶段自我测试卷答案
数学(Ⅰ)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. [?2,3) 8. [ ? 2.20 3.6 4.16 5.

2012.3.10

1 4

6.②④

7.3

3 ,3] 2

9. [?3,6]

10.-1

11.

13 6

12. 2 ?

1 2

13.

2 2

14.

5 2

1 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. , 15. (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)∵ OA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 OA ? BD , 3 ∵ ABCD 是菱形,∴ AC ? BD ,又 OA ? AC ? A ,∴ BD ? 平面 OAC , , 5 又∵ BD ? 平面 OBD ,∴平面 BDO ? 平面 ACO . ????????6 分 ⑵取 OD 中点 M ,连接 EM ,CM ,则 ME‖ AD, ME ? ∵ ABCD 是菱形,∴ AD // BC, AD ? BC , ∵ F 为 BC 的中点,∴ CF‖ AD, CF ?
1 AD , 2 1 AD , 2
O

E

M

A
C

D

∴ ME‖ CF , ME ? CF .∴四边形 EFCM 是平行四边形,∴ EF // CM , 又∵ EF ? 平面 OCD , CM ? 平面 OCD .∴ EF‖ 平面 OCD .?14 分
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B

F

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16. (Ⅰ)如图 ?AOB ? ? ? ? ? ? ? 2? ,?? ? 3? ? 2? . 2 2 (Ⅱ)由 sin ? ?

3? yB ,又 r ? 1,得 yB ? sin ? ? sin( ? 2? ) ? ? cos 2? ? 2 sin 2 ? ? 1 ? 2 ? ( 4 )2 ? 1 ? 7 . r 2 5 25

由钝角 ? ,知 xB ? cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 24 , ? B(? 24 , 7 ) . 25 25 25 (Ⅲ) 【法一】 xB ? yB ? cos ? ? sin ? ? 2 cos(? ?

? ), 4

又 ? ? ( ? , ? ), ? ? ? ? ( 3? , 5? ) , cos ( ? ? ) ? ? ? 1,? 2 ? ,? xB ? yB 的最小值为 ? 2 . ? ? ? 2 4 4 4 4 2 ? ? ? 【法二】 ? 为钝角,? xB ? 0, yB ? 0, xB ? yB ? 1 , xB ? yB ? ?(? xB ? yB ) ,
2 2

(? xB ? yB ) 2 ? 2( xB ? yB ) ? 2 ,? xB ? yB ? ? 2 ,? xB ? yB 的最小值为 ? 2 .
2 2

17.

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18. (Ⅰ) x ?
2

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y2 2 2 (Ⅱ)( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 5 , (Ⅲ)(s ? 3) x ? (t ? 1) y ? 3s ? t ? 5 ? 0 ? 1, 4

19.解: (Ⅰ)因为

f ( x) ?

1 ? ln x ln x , x >0,则 f ?( x) ? ? 2 , x x

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增;在 (1, ??) 上单调递减,所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大 值. 因为函数 f ( x) 在区间 (a, a ? ) (其中 a ? 0 )上存在极值,

1 2

? a ? 1, 1 ? 所以 ? 解得 ? a ? 1 . 1 2 ? a ? 2 ? 1, ?
(Ⅱ)不等式 f ( x) ?

k ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) , 即为 ? k , 记 g ( x) ? , x ?1 x x
2

所以 g ?( x) ?

?( x ? 1)(1 ? ln x)?? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x)
x
1 , x

?

x ? ln x x2
? h?( x) ? 0,

令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x) ? 1 ?

? x ?1,

? h( x) 在 ?1, ??) 上单调递增,

?? h( x)?m i n ? h(1)? 1 ,从而 g ?( x) ? 0 , ? 0
所以 ? g ( x) ?min ? g (1) ? 2 ,所以 k ? 2 .

故 g ( x) 在 ?1, ??) 上也单调递增, (3)由(2)知: f ( x) ?

2 , 恒成立,即 ln x ? x ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 , x ?1 x ?1 x ?1 x
2 , n(n ? 1)

令 x ? n(n ? 1) ,则 ln ? n(n ? 1)? ? 1 ? 所以 ln(1? 2) ? 1 ?

2 , 1? 2

ln(2 ? 3) ? 1 ?
ln(3 ? 4) ? 1 ?

2 , 2?3

2 , 3? 4

?

?

ln ?n?n ? 1?? ? 1 ?

2 , n?n ? 1?

叠加得: ln ?1? 22 ? 33 ????? n 2 (n ? 1) ? ? n ? 2 ? ? ?

? 1 1 1 ? ? ? ??? ? n(n ? 1) ? ?1? 2 2 ? 3 ?

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=n-2(1则 1? 22 ? 32 ????? n2 (n ? 1) ? en ?2 20. (Ⅰ)当 n ? 2 时,有

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1 2 )>n-2+ >n-2 . n ?1 n ?1

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? a1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn?1

? 1?

(n ? 1) ? n n 2 n ? ? ?1. 2 2 2

n2 n 又因为 a1 ? 1 也满足上式,所以数列 {a n } 的通项为 an ? ? ?1. 2 2 b b 1 (Ⅱ) (ⅰ)因为对任意的 n ? N* 有 bn ? 6 ? n ?5 ? ? n ?1 ? bn , bn ? 4 bn ?3 bn ? 2 所以 cn ?1 ? cn ? a6 n ?5 ? a6 n ?1 ? b6 n ?1 ? b6 n ? b6 n ?1 ? b6 n ? 2 ? b6 n ?3 ? b6 n ? 4 1 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? ? 7 (n ? 1) , 2 2 所以数列 {c n } 为等差数列. ??????7 分
(ⅱ)设 c n ? a6 n ?i (n ? 0) , (其中 i 为常数且 i ? {1,2,3,4,5,6} ) ,所以

cn?1 ? cn ? a6 n?6?i ? a6 n?i ? b6 n?i ? b6 n?i ?1 ? b6 n?i ? 2 ? b6 n?i ?3 ? b6 n?i ? 4 ? b6 n?i ?5 ? 7(n ? 0)
所以数列 {a6 n ?i } 均为以 7 为公差的等差数列. ??????9 分

7 7i 7i (i ? 6k ) ? ai ? ai ? a a ? 7k 6 6 ?7? 6 , 设 f k ? 6 k ?i ? i ? 6 k ? i i ? 6k i ? 6k 6 i ? 6k (其中 n ? 6k ? i (k ? 0) , i 为 {1,2,3,4,5,6} 中的一个常数) , a 7i 7 当 ai ? 时,对任意的 n ? 6k ? i 有 n ? ; ??????10 分 n 6 6 7i 当 ai ? 时, 6 7i 7i ai ? ai ? 1 1 6 ? 6 ? (a ? 7i )( f k ?1 ? f k ? ? ) i 6(k ? 1) ? i 6k ? i 6 6(k ? 1) ? i 6k ? i 7i ?6 ? (ai ? )( ) 6 [6(k ? 1) ? i](6k ? i) a 7i ①若 ai ? ,则对任意的 k ?N 有 f k ?1 ? f k ,所以数列 { 6 k ?i } 为单调减数列; 6k ? i 6 a 7i ②若 ai ? ,则对任意的 k ?N 有 f k ?1 ? f k ,所以数列 { 6 k ?i } 为单调增数列; 6k ? i 6 7 4 1 1 1 1 7 4 1 1 1 综上:设集合 B ? { } ? { } ? { } ? {? } ? {? } ? { } ? { , , , ? , ? } , 6 3 2 3 6 2 6 3 2 3 6 an 当 a1 ? B 时,数列 { } 中必有某数重复出现无数次. n

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当 a1 ? B 时,{

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a 6 k ?i } (i ? 1,2,3,4,5,6) 均为单调数列,任意一个数在这 6 个数列中最多出现 6k ? i an } 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. n

一次,所以数列 {

21.B. ?

?b ? ?4 ?3 ?1 ,M ? ? ?a ? 1 ?4

?1 ? ?1? ?

C. (Ⅰ) 60? (Ⅱ) l 的直角坐标方程为 y ?

3x ?

2 , 2
2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1, 2 2

? ? 2 cos(? ?

?
4

) 的直角坐标方程为 ( x ?

所以圆心 (

6 2 2 10 ,?| AB |? , ) 到直线 l 的距离 d ? 4 2 2 2

1 22.解(Ⅰ) P ? (C 2 ?

2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 ? )(C 2 ? ? ) ? ( ? )( ? ) ? ;??????4 分 3 3 2 2 3 3 2 2 3

(Ⅱ)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率

2 2 2 8 4 2 1 2 1 1 P ? (C 2 ? ? )[C 2 ? P2 ? (1 ? P2 )] ? ( ? ) P2 ? P2 ? P2 3 3 3 3 9 9
而 ? ~ B(12, P) ,所以 E? ? 12 P 由 E? ? 5 知 ( P2 ?

8 9

4 2 3 P2 ) ? 12 ? 5 解得: ? P2 ? 1 9 4

?????10 分

23. (Ⅰ)先用数学归纳法证明:对一切正整数 n, f (n) 是整数. ①当 n=1 时, f (1) ? 1 ,结论成立. ②假设当 n=k (k≥1, k∈N) 时, 结论成立, f (k ) ? k 5 ? k 4 ? k 3 ? 即 时, f (k ? 1) ? (k ? 1)5 ? (k ? 1) 4 ? (k ? 1)3 ?

1 5

1 2

1 3

1 则当 n=k+1 k 是整数, 30

1 1 1 1 (k ? 1) 5 2 3 30 1 2 3 4 5 0 1 2 1 4 C 0 k 5 ? C5 k 4 ? C5 k 3 ? C5 k 2 ? C5 k ? C5 C4 k 4 ? C4 k 3 ? C4 k 2 ? C4 k ? C4 ? 5 ? 5 2 0 1 3 C3 k 3 ? C3 k 2 ? C32 k ? C3 1 ? ? (k ? 1) = f (k ) ? k 4 ? 4k 3 ? 6k 2 ? 4k ? 1 3 30

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根据假设 f (k ) 是整数,而 k 4 ? 4k 3 ? 6k 2 ? 4k ? 1显然是整数.

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∴ f (k ? 1) 是整数,从而当当 n=k+1 时,结论也成立. 由①、②可知对对一切正整数 n, f (n) 是整数. ?????????????????7 分 (Ⅱ)当 n=0 时, f (0) ? 0 是整数.???????????????????????8 分 (Ⅲ)当 n 为负整数时,令 n= -m,则 m 是正整数,由(1) f (m) 是整数, 所以 f (n) ? f (?m) ? (?m)5 ? (?m) 4 ? (?m)3 ?

1 5

1 2

1 3

1 (?m) 30

1 1 1 1 ? ? m5 ? m4 ? m3 ? m = ? f (m) ? m4 是整数. 5 2 3 30
综上,对一切整数 n, f (n) 一定是整数.????????????????????10 分

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