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第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算

时间:2015-08-21


2010~2014 年高考真题备选题库 第 2 章 函数、导数及其应用 第 10 节 变化率与导数、导数的计算
)

1.(2014 陕西,5 分)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相 切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为(

A.

1 1 y= x3-

x2-x 2 2

1 1 B.y= x3+ x2-3x 2 2 1 1 D. y= x3+ x2-2x 4 2

1 C.y= x3-x 4

解析:法一:由题意可知,该三次函数满足以下条件:过点(0,0),(2,0),在(0,0)处的切 1 线方程为 y=-x,在(2,0)处的切线方程为 y=3x-6,以此对选项进行检验.A 选项,y= x3 2 1 3 - x2-x,显然过两个定点,又 y′= x2-x-1,则 y′|x=0=-1,y′|x=2=3,故条件都满 2 2 足,又 B,C,D 选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线 y=-x,y=3x-6 相切,故选 A. 法二:设该三次函数为 f(x)=ax3+bx2+cx+d,则 f′(x)=3ax2+2bx+c, f?0?=0?d=0, ? ?f?2?=0?8a+4b+2c+d=0, 由题设有? f′?0?=-1?c=-1, ? ?f′?2?=3?12a+4b+c=3, 1 1 解得 a= ,b=- ,c=-1,d=0. 2 2 1 1 故该函数的解析式为 y= x3- x2-x,选 A. 2 2 答案:A 2.(2014 广东,5 分)曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2) 处的切线方程为________. 解析:由 y=-5ex+3 得,y′=-5ex,所以切线的斜率 k=y′|x=0=-5,所以切线方 程为 y+2=-5(x-0),即 5x+y+2=0. 答案:5x+y+2=0

b 3. (2014 江苏, 5 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 若曲线 y=ax2+ (a, b 为常数)过点 P(2, x -5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是________. b b 解析:y=ax2+ 的导数为 y′=2ax- 2, x x 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . 2

?4a+2=-5, 由题意得? b 7 ?4a-4=-2,
? ?a=-1, 解得? 则 a+b=-3. ?b=-2, ?

b

答案:-3 4.(2014 安徽,5 分)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (ⅰ) 直线 l 在点 P(x0,y0) 处与曲线 C 相切; (ⅱ)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①直线 l:y=0 在点 P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=x3 ②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1)2 ③直线 l:y=x 在点 P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=sin x ④直线 l:y=x 在点 P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=tan x ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x 解析:对于①,y′=3x2,y′| x=0=0,所以 l:y=0 是曲线 C:y=x3 在点 P(0,0)处的 切线,画图可知曲线 C:y=x3 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧,①正确; 对于②,因为 y′=2(x+1),y′| x=-1=0,所以 l:x=-1 不是曲线 C:y=(x+1)2 在 点 P(-1,0)处的切线, ②错误; 对于③,y′=cos x,y′| x=0=1,在点 P(0,0)处的切线为 l:y=x,画图可知曲线 C:y =sin x 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧,③正确; 1 1 对于④,y′= 2 ,y′| x=0= 2 =1,在点 P(0,0)处的切线为 l:y=x,画图可知曲 cos x cos 0 线 C:y=tan x 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧,④正确; 1 对于⑤, y′= , y′| x=1=1, 在点 P(1,0)处的切线为 l: y=x-1, 令 h(x)=x-1-ln x(x>0), x 1 x-1 可得 h′(x)=1- = ,所以 h(x)min=h(1)=0,故 x-1≥ln x,可知曲线 C:y=ln x 在点 x x P(1,0)附近位于直线 l 的下侧,⑤错误.

答案:①③④ 5.(2014 江西, 5 分)若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标是________. 1 解析:由题意得 y′=ln x+x·=1+ln x,直线 2x-y+1=0 的斜率为 2.设 P(m,n), x 则 1+ln m=2,解得 m=e,所以 n=eln e=e,即点 P 的坐标为(e,e). 答案:(e,e) 6. (2013 广东, 5 分) 若曲线 y=kx+ln x 在点(1, k)处的切线平行于 x 轴, 则 k=________. 解析:本题主要考查导数的几何意义,考查考生的运算能力.y′|x=1=0,即当 x=1 时, 1 k+ =k+1=0,解得 k=-1. x 答案:-1 7. (2013 江西,5 分)若曲线 y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α= ________. 解析:本题主要考查直线与导数的几何意义.由题意 y′=αxα 1,在点(1,2)处的切线的


2-0 斜率为 k=α,又切线过坐标原点,所以 α= =2. 1-0 答案:2 8. (2013 北京,13 分)已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围. 解: 本题主要考查导数的几何意义和函数的零点等问题, 意在考查考生的运算求解能力、 转化与化归能力. 由 f(x)=x2+xsin x+cos x,得 f′(x)=x(2+cos x). (1)因为曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切, 所以 f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a). 解得 a=0,b=f(0)=1. (2)令 f′(x)=0,得 x=0. f(x)与 f′(x)的情况如下: x f′(x) f(x) (-∞,0) - 0 0 1 (0,+∞) +

所以函数 f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,f(0)=1 是 f(x) 的最小值. 当 b≤1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=b 最多只有一个交点;

当 b>1 时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b, f(0)=1<b, 所以存在 x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得 f(x1)=f(x2)=b. 由于函数 f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当 b>1 时曲线 y=f(x)与直线 y =b 有且仅有两个不同交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范围是(1,+ ∞). 7. (2012 新课标全国,5 分)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________. 解析:y′=3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为 4,所以切线方程为 y-1 =4(x-1),即 y=4x-3. 答案:y=4x-3 9. (2011 山东, 5 分) 曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A.-9 C.9
2

)

B.-3 D.15

解析:y′=3x ,故曲线在点 P(1,12)处的切线斜率是 3,故切线方程是 y-12=3(x-1), 令 x=0 得 y=9. 答案:C sinx 1 π 10. (2011 湖南,5 分)曲线 y= - 在点 M( ,0)处的切线的斜率为( 4 sinx+cosx 2 1 A.- 2 C.- 2 2 1 B. 2 D. 2 2 )

cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx? 1 π 1 解析:y′= = ,把 x= 代入得导数值为 . 4 2 ?sinx+cosx?2 1+sin2x 答案:B 4 11. (2010 辽宁,5 分)已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜 e +1 角,则 α 的取值范围是( π A.[0, ) 4 π 3π C.( , ] 2 4 ) π π B.[ , ) 4 2 3π D.[ ,π) 4

解析:设曲线在点 P 处的切线斜率为 k, -4ex -4 则 k=y′= , x 2= 1 ?1+e ? ex+ x+2 e

因为 ex>0, 所以由均值不等式得 k≥ 2 ,又 k<0, 1 e × x+2 e
x

-4

3π ∴-1≤k<0,即-1≤tanα<0,所以 ≤α<π. 4 答案:D 12. (2010 江苏,5 分)函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2 k )处的切线与 x 轴的交点的横 坐标为 ak+1,其中 k∈N*.若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________.
2 解析:∵y′=2x,∴在点(ak,ak )处的切线方程为 y-a2 k =2ak(x-ak),又该切线与 x 轴

1 1 的交点为(ak+1,0),所以 ak+1= ak,即数列{ak}是等比数列,首项 a1=16,其公比 q= ,∴ 2 2 a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 答案:21


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